2025年高三数学高考考前两周保温模拟试题

2025年高三数学高考考前两周保温模拟试题一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合与简易逻辑已知集合(A={x|x^2-3x+2\leq0})，(B={x|\log_2(x-1)<1})，则(A\capB=)（）A.([1,2])B.((1,2])C.([2,3))D.((1,3))解析：解不等式(x^2-3x+2\leq0)得(A=[1,2])；解(\log_2(x-1)<1)得(1<x<3)，即(B=(1,3))。则(A\capB=(1,2])，选B。2.函数的概念与性质函数(f(x)=\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{4-x^2}})的定义域是（）A.((-1,2))B.([-1,2))C.((-1,2])D.([-1,2])解析：需满足(x+1>0)且(4-x^2>0)，解得(x>-1)且(-2<x<2)，即定义域为((-1,2))，选A。3.三角函数已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，则(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=)（）A.(-7)B.(-\frac{1}{7})C.(\frac{1}{7})D.(7)解析：由(\sin\alpha=\frac{3}{5})且(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，得(\cos\alpha=-\frac{4}{5})，(\tan\alpha=-\frac{3}{4})。则(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac{\tan\alpha+1}{1-\tan\alpha}=\frac{-\frac{3}{4}+1}{1-(-\frac{3}{4})}=\frac{1}{7})，选C。4.平面向量已知向量(\overrightarrow{a}=(2,m))，(\overrightarrow{b}=(1,-2))，若(\overrightarrow{a}\perp(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}))，则(m=)（）A.(\pm2)B.(2)C.(-2)D.(4)解析：(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=(0,m+4))，由(\overrightarrow{a}\perp(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}))得(2\times0+m(m+4)=0)，解得(m=0)或(m=-4)（无选项，修正计算：(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=(2-2×1,m-2×(-2))=(0,m+4))，内积为(2×0+m(m+4)=0)，(m=0)或(m=-4)，题目可能有误，按选项最接近选A）。5.数列等差数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(a_3+a_5=14)，(S_7=49)，则(a_7=)（）A.(11)B.(13)C.(15)D.(17)解析：设公差为(d)，则(2a_1+6d=14)，(7a_1+21d=49)，解得(a_1=1)，(d=2)，(a_7=1+6×2=13)，选B。6.立体几何某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A.(8\pi)B.(12\pi)C.(16\pi)D.(24\pi)（注：三视图为圆柱挖去一个同底等高圆锥，圆柱底面半径2，高3）解析：体积(V=V_{\text{圆柱}}-V_{\text{圆锥}}=\pi×2^2×3-\frac{1}{3}×\pi×2^2×3=12\pi-4\pi=8\pi)，选A。7.概率统计从(1,2,3,4,5)中随机抽取3个数，则这3个数的和为偶数的概率是（）A.(\frac{1}{5})B.(\frac{2}{5})C.(\frac{3}{5})D.(\frac{4}{5})解析：总情况数(C_5^3=10)。和为偶数分两类：3个偶数（0种）或1偶2奇（(C_2^1C_3^2=6)），概率(\frac{6}{10}=\frac{3}{5})，选C。8.解析几何双曲线(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的离心率为(\sqrt{3})，则渐近线方程为（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\frac{1}{2}x)解析：(e=\frac{c}{a}=\sqrt{3})，(c^2=a^2+b^2)，得(b^2=2a^2)，(\frac{b}{a}=\sqrt{2})，渐近线(y=\pm\sqrt{2}x)，选A。9.导数的应用函数(f(x)=x^3-3x^2+2)的极大值点是（）A.(x=0)B.(x=1)C.(x=2)D.(x=3)解析：(f'(x)=3x^2-6x)，令(f'(x)=0)得(x=0)或(x=2)。当(x<0)时(f'(x)>0)，(0<x<2)时(f'(x)<0)，故(x=0)为极大值点，选A。10.数学建模某公司生产某种产品，固定成本为2000元，每生产一件产品成本增加10元，售价为30元/件，则总利润(y)（元）与产量(x)（件）的函数关系是（）A.(y=20x-2000)B.(y=30x-2000)C.(y=20x+2000)D.(y=30x+2000)解析：总成本(C=2000+10x)，总收入(R=30x)，利润(y=R-C=20x-2000)，选A。二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.复数复数(z=\frac{2-i}{1+i})的共轭复数(\overline{z}=)________。解析：(z=\frac{(2-i)(1-i)}{2}=\frac{1-3i}{2})，(\overline{z}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i)。答案：(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i)12.不等式若(x,y)满足约束条件(\begin{cases}x+y\leq4\x-y\geq0\y\geq1\end{cases})，则(z=2x+y)的最大值为________。解析：可行域顶点为((1,1))，((2,2))，((3,1))，代入得(z=3,6,7)，最大值为7。答案：713.概率某射手射击命中率为0.8，独立射击3次，恰好命中2次的概率是________。解析：(C_3^2×0.8^2×0.2=3×0.64×0.2=0.384)。答案：0.38414.数列等比数列({a_n})中，(a_1=2)，(a_4=16)，则数列的前5项和(S_5=)________。解析：公比(q^3=8)，(q=2)，(S_5=2(2^5-1)=62)。答案：6215.立体几何在正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，异面直线(AB_1)与(BC_1)所成角的大小是________。解析：平移(BC_1)至(AD_1)，(\triangleAB_1D_1)为等边三角形，夹角为60°。答案：60°16.解析几何抛物线(y^2=4x)的焦点为(F)，过(F)的直线交抛物线于(A,B)两点，若(|AB|=8)，则线段(AB)的中点横坐标为________。解析：抛物线准线(x=-1)，设中点横坐标为(x_0)，则(|AB|=x_A+x_B+2=2x_0+2=8)，(x_0=3)。答案：3三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）三角函数与解三角形在(\triangleABC)中，角(A,B,C)的对边分别为(a,b,c)，已知(a=2\sqrt{3})，(b=2)，(A=\frac{\pi}{3})。（1）求角(B)；（2）求(\triangleABC)的面积。解析：（1）由正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB})，得(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2})，(B=\frac{\pi}{6})（(B<A)）。（2）(C=\pi-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2})，面积(S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=2\sqrt{3})。18.（12分）数列已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)。（1）证明：({a_n+1})是等比数列；（2）求数列({a_n})的前(n)项和(S_n)。解析：（1）(a_{n+1}+1=2(a_n+1))，且(a_1+1=2)，故({a_n+1})是首项2，公比2的等比数列。（2）(a_n+1=2^n)，(a_n=2^n-1)，(S_n=(2+2^2+...+2^n)-n=2^{n+1}-2-n)。19.（12分）立体几何如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90°)，(D)为(BC)中点。（1）求证：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求二面角(D-AC_1-C)的余弦值。解析：（1）连接(A_1C)交(AC_1)于(O)，则(O)为中点，(OD\parallelA_1B)，故(A_1B\parallel)平面(ADC_1)。（2）建立坐标系，(A(0,0,0))，(C(2,0,0))，(C_1(2,0,2))，(D(1,1,0))，平面(ADC_1)法向量(\overrightarrow{n_1}=(1,-1,-1))，平面(ACC_1)法向量(\overrightarrow{n_2}=(0,1,0))，余弦值(\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{n_1}·\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3})。20.（12分）概率统计某学校为了解学生数学成绩与物理成绩的相关性，随机抽取10名学生，数据如下：|数学成绩(x)|80|85|90|95|100|105|110|115|120|125||----------------|----|----|----|----|-----|-----|-----|-----|-----|-----||物理成绩(y)|75|80|85|90|95|100|105|110|115|120|（1）求(y)关于(x)的线性回归方程；（2）预测数学成绩130分时的物理成绩。（参考公式：(\hat{b}=\frac{\sum(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum(x_i-\overline{x})^2})，(\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x})）解析：（1）(\overline{x}=102.5)，(\overline{y}=97.5)，(\sum(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=2250)，(\sum(x_i-\overline{x})^2=2250)，(\hat{b}=1)，(\hat{a}=97.5-1×102.5=-5)，回归方程(\hat{y}=x-5)。（2）当(x=130)时，(\hat{y}=125)。21.（12分）解析几何已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))。（1）求椭圆(C)的方程；（2）过点(P(0,1))的直线(l)与椭圆交于(A,B)两点，求(|AB|)的最大值。解析：（1）(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，(a^2=4b^2)，代入((2,1))得(\frac{4}{4b^2}+\frac{1}{b^2}=1)，(b^2=2)，(a^2=8)，方程(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（2）设直线(l:y=kx+1)，联立椭圆得((1+4k^2)x^2+8kx-4=0)，(|AB|=\sqrt{1+k^2}×\frac{\sqrt{64k^2+16(1+4k^2)}}{1+4k^2}=\frac{4\sqrt{(1+k^2)(8k^2+1)}}{1+4k^2})，令(t=1+4k^2\geq1)，则(|AB|=\sqrt{-\frac{9}{t^2}+\frac{9}{t}+4}\leq\frac{3\sqrt{5}}{2})（当(t=2)时取等）。22.（12分）函数与导数已知函数(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\inR)）。（1）当(a=1)时，求函数(f(x))的单调区间；（2）若函数(f(x))在(x=1)处取得极大值，