（人教A版）必修二高一数学下学期同步考点讲与练6.2.4 向量的数量积（解析版）

6.2.4向量的数量积重点：1、平面向量数量积的含义与意义；2、向量数量积的性质与运算律及其性质；难点：1、平面向量数量积的概念；2、利用平面向量数量积求解模长与夹角等.一、向量的数量积1、向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，则（）叫做向量与的夹角．（2）性质：当时，与同向；当时，与反向．（3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作．2、向量的数量积的定义（1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)；（2）记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0；3、向量在上的投影向量（1）设，是两个非零向量，，，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．（2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且．（3）注意：数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积3、向量数量积的物理背景如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角。二、平面向量数量积的性质与运算律1、平面向量数量积的性质设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则（1）；（2）；（3）当与同向时，；当与反向时，；特别地，或；（4）cosθ＝；（5）2、平面向量数量积满足的运算律（1）；（3）(λ为实数)；（3）；（4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线；两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线．（5）平面向量数量积运算的常用公式三、求平面向量数量积的方法（1）定义法：若已知向量的模及夹角，则直接利用公式，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件；（2）运算律转化法：由可得如下运算公式：；；；（3）利用向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解。题型一平面向量数量积的运算【例1】已知向量和向量的夹角为30°，，，则______．【答案】3【解析】向量和向量的夹角为，，，又，.【变式1-1】已知，，向量在方向上投影向量是，则为（）A．12B．8C．-8D．2【答案】A【解析】在方向上投影向量为，，.故选：A【变式1-2】已知是边长为2的等边三角形，点D为边的中点，则（）A．B．C．1D．2【答案】B【解析】因为是等边三角形，所以.所以是边长为2的等边三角形，点D为边的中点，所以.所以.故选：B【变式1-3】（多选）设是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（）A．B．不与垂直C．D．【答案】ACD【解析】对于A，由平面向量数量积的结合律，可知A正确；对于B，，所以与垂直，故B错误；对于C，因为不共线，所以组成三角形的三边，所以，故C正确；对于D，，故D正确.故选:ACD.【变式1-4】已知，，且向量与的夹角为120°，则______.【答案】-268【解析】.【变式1-5】已知向量，，满足，，，，，则_________.【答案】6【解析】由，得，两边平方，得，因为，所以，得.题型二平面向量模的相关运算【例2】已知，，，则（）A．B．2C．D．4【答案】B【解析】因为，，，所以，故选：B【变式2-1】已知，．若，则（）A．B．C．2D．4【答案】A【解析】因为，所以，所以，又.故选：A.【变式2-2】在中，，若D为BC中点，则为_________．【答案】【解析】，所以，故，，两式相减得，所以，所以＝.【变式2-3】已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________.【答案】【解析】由图知：，则，又，则.【变式2-4】已知平面向量满足，则的最大值是__.【答案】【解析】由，得，所以，当和共线时等号成立，所以，即，所以，又，当时取等号.所以的最大值是.题型三平面向量的夹角问题【例3】已知向量，满足，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为向量，满足，由，可得，即，即又由，可得，即，解得，即，又因为，因为，所以，即与的夹角为.故选：B.【变式3-1】已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知向量在向量上的投影向量为，则，即，而，故，故选：D【变式3-2】已知，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，所以，故选：A【变式3-3】已知分别是与轴、轴方向相同的单位向量，，，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】的夹角为锐角，且不同向，，解得：且，实数的取值范围为.故选：B.题型四平面向量的垂直问题【例4】已知平面向量，的夹角为120°，且.若，则______.【答案】11【解析】因为平面向量，的夹角为，且，所以，因为，所以，所以，解得.【变式4-1】若与都是非零向量，则“”是“”的（）A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【答案】C【解析】因为与都是非零向量，所以，故“”是“”的充要条件.故选：C.【变式4-2】设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】因为在方向上的投影向量为，所以，所以，因为与垂直，所以，即，解得.故选：B.【变式4-3】已知向量，对任意的，恒有，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可得，又，令则上式等价于，对任意的恒成立，故，解得，解得，即；对A：由，故不成立，A错误；对B：，不确定其结果，故不一定成立，B错误；对C：，故，C正确；对D：，不确定其结果，故不一定成立，D错误.故选：C.题型五求平面向量的投影向量【例5】若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为故选：C【变式5-1】已知向量，且，则向量在上的投影向量是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题设，，则向量在上的投影向量.故选：D【变式5-2】已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设的中点为，则，所以，所以外心与中点重合，故为直角三角形.设，则，，，设为方向上的单位向量，则在上的投影向量为.故选：C.【变式5-3】已知，，函数，当时，f（x）有最小值，则在上的投影向量为（）A．B．C．－D．－【答案】C【解析】由题意得，,，当时，有最小值，即，则在上的投影向量为，故选：C题型六平面向量数量积的最值【例6】已知向量满足，，则的取值范围是_________．【答案】【解析】，可得可变形为，由可知，，解得【变式6-1】若非零向量与满足：，且，，则的最大值为______．【答案】【解析】由已知有，∴，得，∴，当且仅当时取等号.即的最大值为.【变式6-2】（多选）如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的值可能为（）A．B．C．3D．【答案】BC【解析】由题意：因为正六边形的边长为2，所以圆心到各边的距离为：，所以，所以，故选：BC．【变式6-3】若是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，M为线段AG上任意一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为为等边三角形，是边的中点，故,,又是线段上任意一点，故设，因为，所以.故,又,故.故选：C.6.2.4向量的数量积【题型1平面向量数量积的运算】1、若，且和的夹角为，则_______【答案】【解析】因为，的夹角为，所以.2、已知是边长为的等边三角形，则________．【答案】【解析】.3、已知菱形的边长为a，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知，在中，，，又，所以.故选：D.4、在边长为2的等边三角形中，，，则______．【答案】【解析】因为，所以为的中点即，∵，∴，∴.5、已知两个单位向量、的夹角为，若向量，则__.【答案】【解析】由题意得，所以.【题型2平面向量模的相关运算】1、已知非零向量满足，且，则__________．【答案】【解析】由两边平方得，，.所以.2、设向量、满足，则_______．【答案】2【解析】，故.3、已知向量，满足，，，则（）A．3B．C．D．4【答案】D【解析】∵向量满足，，，，，，，故选：D4、已知，若向量在向量上的投影向量为，则______.【答案】2【解析】设，的夹角为，则，因为向量在向量上的投影向量为，所以，所以.5、平面上的向量与满足，且，若点满足，则的最小值为______．【答案】【解析】因为，所以，因为，，所以，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.【题型3平面向量的夹角问题】1、已知，均为单位向量，，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴．∵，均为单位向量，可得．∴，解得．设与的夹角为，则，结合，可得．故选：A．2、已知单位向量的夹角为，向量，则的夹角等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由单位向量的夹角为，得，，，，于是得，而，即，所以的夹角等于.故选：C3、已知非零向量满足，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，所以，由得，所以，设向量与的夹角为，则，又，所以．故选：B.4、平面上不共线的向量，，，其夹角两两相等，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为平面上不共线的向量，，，其夹角两两相等，所以向量，，间的夹角均为，不妨设所以，，所以，因为，所以，即与的夹角为.故选：A5、已知向量､的夹角为，且，设，.（1）求；（2）试用来表示的值；（3）若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）.（2）.（3）由于与的夹角为钝角，于是且与不平行.其中，而，于是实数的取值范围是.【题型4平面向量的垂直问题】1、已知，，若，，则______．【答案】【解析】因为，所以即，所以.2、已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】因为、为非零向量，且，，因此，“”是“”的充要条件.故选：C.3、已知满足，则的形状一定是___．【答案】直角三角形.【解析】由，得，所以，所以，所以，，即，是直角三角形.4、已知向量，满足，，，则______．【答案】3【解析】∵，∴，∴所以.5、已知，．（1）若，求；（2）若，求；（3）若与垂直，求当k为何值时，？【答案】（1）；（2）；（3）3【解析】（1）由可知，两向量的夹角为或，当夹角为时，；当夹角为时，；所以，.（2）由题意可知，若，则，所以.（3）由与垂直可得，即；若，则，即，得，所以.当时，.【题型5求平面向量的投影向量】1、已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为______．【答案】【解析】在方向上的投影向量为，2、已知，，，则向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知，，又，，代入可得，，则，其中为与的夹角，解得.则向量在向量上的投影向量为.故选：A3、已知，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，是两个互相垂直的单位向量，所以，且，所以，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B4、己知为的外接圆圆心，若，则向量在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意三角形的外接圆圆心为，，即，所以是的中点，即是圆的直径，且，又，，所以，所以，∴