湖北省巴东一中2025年高二数学第一学期期末监测模拟试题含解析

湖北省巴东一中2025年高二数学第一学期期末监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（）A.椭圆 B.双曲线C.线段 D.不能确定2．方程化简的结果是（）A. B.C. D.3．已知数列中，，，是的前n项和，则（）A. B.C. D.4．在正方体的12条棱中任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为（）A. B.C. D.5．已知集合，从集合A中任取一点P，则点P满足约束条件的概率为（）A. B.C. D.6．若抛物线的焦点为，则其标准方程为（）A. B.C. D.7．在四面体OABC中，点M在线段OA上，且，N为BC中点，已知，，，则等于（）A. B.C. D.8．在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则AN与BM所成角的余弦值为（）A. B.C. D.9．关于的不等式的解集为（）A. B.C.或 D.10．圆关于直线l：对称的圆的方程为（）A. B.C. D.11．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则的长轴长与的实轴长之比为（）A. B.C. D.12．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（）A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知集合，，将中的所有元素按从大到小的顺序排列构成一个数列，则数列的前n项和的最大值为___________.14．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________.15．若等比数列满足，则的前n项和____________16．的展开式中的系数为_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）（1）解不等式；（2）若关于x的不等式解集为R，求实数k的取值范围.18．（12分）设数列的前项和为，为等比数列，且，（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和19．（12分）已知函数f（x）+alnx，实数a＞0（1）当a＝2时，求函数f（x）在x＝1处的切线方程；（2）讨论函数f（x）在区间（0，10）上的单调性和极值情况；（3）若存在x∈（0，+∞），使得关于x的不等式f（x）＜2+a2x成立，求实数a的取值范围20．（12分）已知函数（a为常数）（1）讨论函数的单调性；（2）不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.21．（12分）已知等比数列前3项和为（1）求的通项公式；（2）若对任意恒成立，求m的取值范围22．（10分）已知圆.（1）若不过原点的直线与圆相切，且直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（2）求与圆和直线都相切的最小圆的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据椭圆的定义，即可得答案.【详解】由题意可得，根据椭圆定义可得，P点的轨迹为椭圆，故选：A2、D【解析】由方程的几何意义得到是椭圆，进而得到焦点和长轴长求解.【详解】∵方程，表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹，∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆；∴；∴椭圆的方程是，即为化简的结果故选：D3、D【解析】由，得到为递增数列，又由，得到，化简，即可求解.【详解】解：由，得，又，所以，所以，即，所以数列为递增数列，所以，得，即，又由是的前项和，则.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查数列求和问题，关键在于由已知条件得出，运用裂项相消求和法.4、B【解析】根据正方体的性质确定3条棱两两互为异面直线的情况数，结合组合数及古典概率的求法，求任选3条其中任意2条所在的直线是异面直线的概率.【详解】如下图，正方体中如：中任意2条所在的直线都是异面直线，∴这样的3条直线共有8种情况，∴任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为.故选：B.5、C【解析】根据圆的性质，结合两条直线的位置关系、几何概型计算公式进行求解即可.【详解】，圆心坐标为，半径为，直线互相垂直，且交点为，由圆的性质可知：点P满足约束条件的概率为，故选：C6、D【解析】由题意设出抛物线的标准方程，再利用焦点为建立，解方程即可.【详解】由题意，设抛物线标准方程为，所以，解得，所以抛物线标准方程为.故选：D7、B【解析】根据空间向量基本定理结合已知条件求解【详解】因为N为BC中点，所以,因为M在线段OA上，且，所以，所以，故选：B8、D【解析】构建空间直角坐标系，根据已知条件求AN与BM对应的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求AN与BM所成角的余弦值.【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，∴，，，，∴，，∴，所以AN与BM所成角的余弦值为.故选：D9、C【解析】求出不等式对应方程的根，结合不等式和二次函数的关系，即可得到结果.【详解】不等式对应方程的两根为，因为，故可得，根据二次不等式以及二次函数的关系可得不等式的解集为或.故选：C.【点睛】本题考查含参二次不等式的求解，属基础题.10、A【解析】首先求出圆的圆心坐标与半径，再设圆心关于直线对称的点的坐标为，即可得到方程组，求出、，即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程；【详解】解：圆的圆心为，半径，设圆心关于直线对称的点的坐标为，则，解得，即圆关于直线对称的圆的圆心为，半径，所以对称圆的方程为；故选：A11、D【解析】在图①和图②中，利用椭圆和双曲线的定义，分别求得和的周长，再根据光速相同，且求解.【详解】在图①中，由椭圆的定义得：，由双曲线的定义得，两式相减得，所以的周长为，在图②中，的周长为，因为光速相同，且，所以，即，所以，即的长轴长与的实轴长之比为，故选：D12、A【解析】由题意可知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为尺，公差为尺，利用等差数列的通项公式，求出，即可求出，从而得到答案【详解】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}，如冬至日的日影长为尺，设公差为尺.由题可知，所以，，，，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意设，，根据可得，从而，即可得出答案.【详解】设，由，得，由，得中的元素满足，即，可得所以，由,所以所以，要使得数列的前n项和的最大值，即求出数列中所以满足的项的和即可.即，得，则所以数列的前n项和的最大值为故答案为：147214、6【解析】由椭圆方程得到F，O的坐标，设P(x，y)(－2≤x≤2)，利用数量积的坐标运算将·转化为二次函数最值求解.【详解】由椭圆＋＝1，可得F(－1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，当x＝2时，·取得最大值6.故答案为：6【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及应用以及椭圆的几何性质和二次函数求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15、##【解析】由已知及等比数列的通项公式得到首项和公比，再利用前n项和公式计算即可.【详解】设等比数列的公比为，由已知，得，解得，所以.故答案为：16、4【解析】将代数式变形为，写出展开式的通项，令的指数为，求得参数的值，代入通项即可求解.【详解】由展开式的通项为，令，得展开式中的系数为.由展开式的通项为，令，得展开式中的系数为.所以的展开式中的系数为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）直接求解不含参数的一元二次不等式即可；（2）分与两种情况进行讨论即可求出结果.【详解】（1）不等式可化为，解集为（2）若的解集为R，当时，的解集为，不合题意；当时，则解得综上，实数k的取值范围是18、（1），；（2）【解析】（1）由已知利用递推公式，可得，代入分别可求数列的首项，公比，从而可求.（2）由（1）可得，利用乘“公比”错位相减法求和【详解】解：(1)当时，，当时，满足上式，故的通项式为设的公比为，由已知条件知，，，所以，，即(2)，两式相减得：【点睛】本题考查等差数列、等比数列的求法，错位相减法求数列通项，属于中档题.19、（1）4x﹣y+2＝0（2）答案见解析（3）（0，2）∪（2，+∞）【解析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程；（2）求得f（x）的导数，分a、0＜a两种情况讨论求出答案即可；（3）由题意可得存在x∈（0，+∞），使得不等式成立，令，x＞0，求得其最小值，再把最小值看成关于的函数，结合其单调性和极值可得答案【小问1详解】函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a＝2时，，导数为4，可得f（x）在x＝1处的切线的斜率为4，又f（1）＝6，所以f（x）在x＝1处的切线的方程为y﹣6＝4（x﹣1），即4x﹣y+2＝0；【小问2详解】f（x）的导数为f′（x）a2，x＞0，令f′（x）＝0，可得x（舍去），①当010，即a时，当0＜x时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜10时，f′（x）＞0，f（x）递增所以f（x）在（0，）上递减，在（，10）上递增，f（x）在x处取得极小值，无极大值；②当10即0＜a时，f′（x）＜0，f（x）在（0，10）上递减，无极值综上可得，当a时，f（x）在（0，）单调递减，在（，10）上单调递增，f（x）在x时取得极小值，无极大值当0＜a时，f（x）在区间（0，10）上递减，无极值；【小问3详解】存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）＜2+a2x成立等价为存在x∈（0，+∞），使得不等式alnx﹣2＜0成立令，x＞0，g′（x），因为a＞0，可得当0＜x时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x时，g′（x）＞0，g（x）递增，所以当x时，g（x）取得极小值，且为最小值，由题意可得，令，，令h′（x）＝0，可得x＝2，当x∈（0，2）时，h′（x）＞0，h（x）递增；当x∈（2，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）递减所以当x＝2时，h（x）取得极大值，且为最大值h（2）＝0所以满足的实数a的取值范围是（0，2）∪（2，+∞）20、（1）当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解析】（1）求出的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即得解；（2）问题转化为，，，令，求出的最大值，从而求出的范围即得解【详解】解：（1）函数的定义域为，，①当时，，，，在定义域上单调递增②当时，若，则，在上单调递增；若，则，在上单调递减综上所述，当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）当时，，不等式在，上恒成立，，，，令，，，，在，上单调递增，（1），，的范围为，21、（1）（2）【解析】（1）由等比数列的基本量，列式，即可求得首项和公比，再求通项公式；（2）由题意转化为求数列的前项和的最大值，即可求参数的取值范围.【小问1详解】设等比数列的公比为，则，①，即，得，即，代入①得，解得：，所以；【小问2详解】由（1）可知，数列是首项为2，公比为的等比数列，，若对任意恒成立，即，数列，,单调递增,的最大值无限趋近于4，所以22、（1