2025-2026学年辽宁省部分重点中学数学高二上期末学业水平测试试题含解析

2025-2026学年辽宁省部分重点中学数学高二上期末学业水平测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A.2 B.6C.14 D.302．在平面直角坐标系中，线段的两端点，分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动，若圆上存在点是线段的中点，则线段长度的最小值为（）A.4 B.6C.8 D.103．在长方体中，，，则与平面所成的角的正弦值为（）A. B.C. D.4．抛物线的焦点到准线的距离（）A.4 B.C.2 D.5．现有60瓶饮料，编号从1到60，若用系统抽样的方法从中抽取6瓶进行检验，则所抽取的编号可能为（）A.3，13，23，33，43，53 B.2，14，26，38，40，52C.5，8，31，36，48，54 D.5，10，15，20，25，306．直线的倾斜角，则其斜率的取值范围为（）A. B.C. D.7．数列，则是这个数列的第（）A.项 B.项C.项 D.项8．已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，M，N两点分别在C的左、右两支上，若四边形OFMN为菱形，则C的离心率为（）A. B.C. D.9．（）A.-2 B.0C.2 D.310．准线方程为的抛物线的标准方程为（）A. B.C. D.11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为双曲线在第一象限上的点，直线，分别交双曲线的左，右支于另一点，，若，且，则双曲线的离心率为（）A. B.3C.2 D.12．若向量，，，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，且，则的值是_________.14．已知数列中，.若为等差数列，则______.15．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是______.16．函数在区间上的最小值为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设命题对于任意，不等式恒成立．命题实数a满足（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围18．（12分）已知动点M到定点和的距离之和为4（1）求动点轨迹的方程；（2）若直线交椭圆于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求的面积19．（12分）已知椭圆的离心率是，且过点.直线与椭圆相交于两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的面积的最大值；（Ⅲ）设直线，分别与轴交于点，.判断，大小关系，并加以证明.20．（12分）已知圆与直线（1）若，直线与圆相交与，求弦长（2）若直线与圆无公共点求的取值范围21．（12分）已知数列为等差数列，公差，前项和为，，且成等比数列（1）求数列的通项公式（2）设，求数列的前项和22．（10分）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角大小；（3）求点到平面的距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】模拟运行程序，直到得出输出的S的值.【详解】运行程序框图，，，；，，；，，；，输出.故选：C2、C【解析】首先求点的轨迹，将问题转化为两圆有交点，即根据两圆的位置关系，求参数的取值范围.【详解】设，，的中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，问题转化为圆与圆有交点，所以，，即，解得：，所以线段长度的最小值为.故选：C3、D【解析】过点作的垂线，垂足为，由线面垂直判定可知平面，则所求角即为，由长度关系求得即可.【详解】在平面内过点作的垂线，垂足为，连接.，，，平面，平面，的正弦值即为所求角的正弦值，，，.故选：D.4、A【解析】写出抛物线的标准方程，即可确定焦点到准线的距离.【详解】由题设，抛物线的标准方程为，则，∴焦点到准线的距离为4.故选：A.5、A【解析】求得组距，由此确定正确选项.【详解】，即组距为，A选项符合，其它选项不符合.故选：A6、B【解析】根据倾斜角和斜率的关系，确定正确选项.【详解】直线的倾斜角为，则斜率为，在上为增函数.由于直线的倾斜角，所以其斜率的取值范围为，即.故选：B【点睛】本小题主要考查倾斜角和斜率的关系，属于基础题.7、A【解析】根据数列的规律，求出通项公式，进而求出是这个数列的第几项【详解】数列为，故通项公式为，是这个数列的第项.故选：A.8、C【解析】由题意可得且，从而求出点的坐标，将其代入双曲线方程中，即可得出离心率.【详解】由题意，四边形为菱形，如图，则且，分别为的左，右支上的点，设点在第二象限，在第一象限.由双曲线的对称性，可得，过点作轴交轴于点，则，所以,则，所以，所以，则，即，解得，或，由双曲线的离心率，所以取，则故选：C9、C【解析】根据定积分公式直接计算即可求得结果【详解】由故选：C10、D【解析】的准线方程为.【详解】的准线方程为.故选：D.11、D【解析】由双曲线的定义可设，，由平面几何知识可得四边形为平行四边形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由离心率公式可得所求值【详解】由双曲线的定义可得，由，可得，，结合双曲线性质可以得到，而，结合四边形对角线平分，可得四边形为平行四边形，结合，故，对三角形，用余弦定理，得到，结合，可得，，，代入上式子中，得到，即，结合离心率满足，即可得出，故选：D【点睛】本题考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.12、A【解析】根据向量垂直得到方程，求出的值.【详解】由题意得：，解得：.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据空间向量可得，结合计算即可.【详解】由题意知，，所以，解得.故答案：314、【解析】利用等差中项求解即可【详解】由为等差数列，则，解得故答案为：15、【解析】化简椭圆的方程为标准形式，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，方程可化为，因为方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得，实数的取值范围是.故答案为：.16、【解析】先对函数求导判断其单调性，然后利用单调性求函数的最小值【详解】解：由，得，当且仅当时取等号，即取等号，因为，所以函数在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值0，故答案为：0三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】(1)由即可获解(2)p、q一真一假,分情况讨论即可【小问1详解】由命题为真,得任意,不等式恒成立所以即所以实数的取值范围为【小问2详解】由命题为真,得因为“或”为真,“且”为假,所以p、q一真一假若真假,则,即若假真,即所以实数的取值范围为18、（1）；（2）.【解析】（1）利用椭圆的定义即求；（2）由直线方程与椭圆方程联立，可解得点，再利用三角形面积公式即求.【小问1详解】∵动点M到定点和的距离之和为4，∴动点M的轨迹是以和为焦点的椭圆，可设方程为，则，故动点轨迹的方程为；【小问2详解】由可得，∴或，∴，又O是坐标原点，∴的面积为.19、（1）（2）（3）见解析【解析】(1)由题意求得，所以椭圆的方程为(2)联立直线与椭圆方程，由题意可得．三角形的高为．，面积表达式，当且仅当时，．即的面积的最大值是(3)结论为．利用题意有．所以试题解析：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为因为椭圆的离心率是，所以，即由解得所以椭圆的方程为（Ⅱ）将代入，消去整理得令，解得设则，所以点到直线的距离为所以的面积，当且仅当时，所以的面积的最大值是（Ⅲ）．证明如下：设直线，的斜率分别是，，则由（Ⅱ）得，所以直线，的倾斜角互补所以，所以所以20、（1）；（2）或.【解析】（1）求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长；（2）由圆心到直线的距离大于半径列式求解的范围【详解】解：（1）圆，圆心为，半径，圆心到直线的距离为，弦长（2）若直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径解得或21、（1）；（2）【解析】（1）根据成等比数列，有，即求解.（2）由（1）可得，，∴，再利用裂项相消法求和.【详解】（1）由成等比数列，得，即，整理得，∵，∴，∴，即（2）由（1）可得，，∴，故【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22、（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，以AP所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系，求出平面PCD的法向量为，平面的法向量为，即得证；（2）设直线与平面所成角为，利用向量法求解；（3）利用向量法求点到平面的距离.【小问1详解】证明：PA平面ABCD，ABCD为正方形，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，以AP所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系.由已知可得A