湖北省天门、仙桃、潜江三市2025年数学高二第一学期期末经典模拟试题含解析

湖北省天门、仙桃、潜江三市2025年数学高二第一学期期末经典模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为（）A. B.C. D.2．命题“若，则”的否命题是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则3．数学家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线方程是（）A. B.C. D.4．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（）A. B.C. D.5．已知为定义在R上的偶函数函数，且在单调递减.若关于的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.6．①直线在轴上的截距为；②直线的倾斜角为；③直线必过定点；④两条平行直线与间的距离为.以上四个命题中正确的命题个数为（）A. B.C. D.7．已知点是双曲线的左焦点，是双曲线右支上一动点，过点作轴垂线并延长交双曲线左支于点，当点向上移动时，的值（）A.增大 B.减小C.不变 D.无法确定8．中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中5块五仁月饼、6块枣泥月饼，现从盘中任取3块，在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是（）A B.C. D.9．若两个不同平面，的法向量分别为，，则（）A.，相交但不垂直 B.C. D.以上均不正确10．已知直线的方向向量为，则直线l的倾斜角为（）A.30° B.60°C.120° D.150°11．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是()A. B.(－∞，]∪[0，＋∞)C. D.12．实数m变化时，方程表示的曲线不可以是（）A.直线 B.圆C椭圆 D.双曲线二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若等比数列的前n项和为，且，则__________.14．已知数列是等差数列，若，则___________.15．已知直线与平行，则实数的值为_____________.16．已知正数满足，则的最小值是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线上，且.（1）求该抛物线的方程；（2）若点A在第一象限，且抛物线在点A处的切线交y轴于点M，求的面积.18．（12分）已知圆C经过，，三点，并且与y轴交于P，Q两点，求线段PQ的长度.19．（12分）设椭圆：（）的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4.（1）求椭圆的方程；（2）已知过的直线与椭圆交于、两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值.20．（12分）如图，四边形是正方形，平面，，（1）证明：平面平面；（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆C上，且满足（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线与椭圆C交于不同的两点M，N，且（O为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线l相切，并求该圆的方程22．（10分）已知数列为等差数列，公差，前项和为，，且成等比数列（1）求数列的通项公式（2）设，求数列的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】利用双曲线定义可得到，将的最小值变为的最小值问题，数形结合得解.【详解】由题意得，故，如图所示：到渐近线的距离,则，当且仅当，，三点共线时取等号，∴的最小值为.故选：D2、B【解析】根据原命题的否命题是条件结论都要否定【详解】解：因为原命题的否命题是条件结论都要否定所以命题“若，则”的否命题是若，则；故选：B3、B【解析】根据的三个顶点坐标，先求解出重心的坐标，然后再根据三个点坐标求解任意两条垂直平分线的方程，联立方程，即可算出外心的坐标，最后根据重心和外心的坐标使用点斜式写出直线方程.【详解】由题意可得的重心为．因为，，所以线段的垂直平分线的方程为．因为，，所以直线的斜率，线段的中点坐标为，则线段的垂直平分线的方程为．联立，解得，则的外心坐标为，故的欧拉线方程是，即故选：B.4、C【解析】取的中点，连接，易证平面，进一步得到线面角，再解三角形即可.【详解】如图，取的中点，连接，三棱柱为直三棱柱，则平面，又平面，所以，又由题意可知为等腰直角三角形，且为斜边的中点，从而，而平面，平面，且，所以平面，则为与平面所成的角.在直角中，.故选：C5、C【解析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得对恒成立，转化为且对恒成立．求得相应的最大值和最小值，从而求得的范围【详解】定义在上的函数为偶函数，且在上递减，在上单调递增，若不等式在上恒成立，即在上恒成立在上恒成立，即在上恒成立，即且在上恒成立令，则，，，，在上递增，上递减，令，当时，，在上递减，故可知，解得，所以实数m的取值范围是故选：C6、B【解析】由直线方程的性质依次判断各命题即可得出结果.【详解】对于①，直线，令，则，直线在轴上的截距为-，则①错误；对于②，直线的斜率为，倾斜角为，则②正确；对于③直线，由点斜式方程可知直线必过定点，则③正确；对于④，两条平行直线与间的距离为，则④错误.故选：B.7、C【解析】令双曲线右焦点为，由对称性可知，，结合双曲线的定义即可得出结果.【详解】令双曲线右焦点为，由对称性可知，，则，为常数，故选：C.8、C【解析】分别求出取到3块月饼都是同种月饼和取到3块月饼都是五仁月饼的种数，再根据概率公式即可得解.【详解】解：由题意可得，取到3块月饼都是同种月饼有种情况，取到3块月饼都是五仁月饼有种情况，所以在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是.故选：C.9、B【解析】由向量数量积为0可求.【详解】∵，，∴，∴，∴，故选：B.10、B【解析】利用直线的方向向量求出其斜率，进而求出倾斜角作答.【详解】因直线的方向向量为，则直线l的斜率，直线l的倾斜角，于是得，解得，所以直线l的倾斜角为.故选：B11、A【解析】圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为，解不等式得k的取值范围考点：直线与圆相交的弦长问题12、B【解析】根据的取值分类讨论说明【详解】时方程化为，为直线，时，方程化为，为椭圆，时，方程化为，为双曲线，而，因此曲线不可能是圆故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解析】根据题意和等比数列的求和公式，求得，结合求和公式，即可求解.【详解】因为，若时，可得，故，所以，化简得，整理得，解得或，因为，解得，所以.故答案为：.14、8【解析】利用计算可得答案.【详解】设等差数列的公差为，故答案为：8.15、或【解析】根据平行线的性质进行求解即可.【详解】因为直线与平行，所以有：或，故答案为：或16、8【解析】利用“1”代换，结合基本不等式求解.【详解】因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最小值8.故答案为：8.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）;（2）10.【解析】（1）由根据抛物线的定义求出可得抛物线方程；（2）求出抛物线过点A的切线，得出点M的坐标即可求三角形面积.【小问1详解】由抛物线的定义可知，即，抛物线的方程为.【小问2详解】，且A在第一象限，，即A(4,4)，显然切线的斜率存在，故可设其方程为，由，消去得，即，令，解得，切线方程为.令x=0，得，即,又，，.18、【解析】设圆的方程为，代入点的坐标，求出，，，令，即可得出结论【详解】解：设圆的方程为，则，，，，，即,令，可得，解得、，所以、，或、，，19、（1）；（2）6.【解析】（1）本小题根据题意先求，，，再求椭圆的标准方程；（2）本小题先设过的直线的方程，再根据题意表示出四边形的面积，最后求最值即可.【详解】解：（1）∵椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4，∴即，∵，∴，又∵，∴.∴椭圆的标准方程为；（2）设点、的坐标为，，因为直线过点，所以可设直线方程为，联立方程，消去可得：，化简整理得，其中，所以，，因为，所以四边形是平行四边形，设平面四边形的面积为，则，设，则（），所以，因为，所以，，所以四边形面积的最大值为6.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，相交弦等问题，是偏难题.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接与交于点O，易得平面，取的中点M，易得为平行四边形，即，得到平面，然后利用面面垂直的判定定理证明；（2）以A为坐标原点，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，根据与平面所成角为，由，解得，然后分别求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，由求解.【详解】（1）如图所示：连接与交于点O，因为为正方形，故，又平面，故，由，故平面，取的中点M，连接，注意到为的中位线，故，且，因此，且，故为平行四边形，即，因此平面，而平面，故平面平面（2）以A坐标原点，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，则，由（1）可知平面，因此平面的一个法向量为，而，由与平面所成角为，得，即，解得；则，设平面的一个法向量为，则得令，则，故设平面的一个法向量，则得令，则，，故所以，注意到二面角为钝二面角，故二面角的余弦值为21、（1）；（2）理由见解析，圆的方程为.【解析】(1)根据给定条件可得，结合勾股定理、椭圆定义求出a，b得解.(2)联立直线l与椭圆C的方程，利用给定条件求出k，m的关系，再求出原点O到直线l的距离即可推理作答.【小问1详解】因，则，点在椭圆C上，则椭圆C的半焦距,，，因此，，解得，，所以椭圆C的标准方程是：.【小问2详解】由消去y并整理得：，依题意，，设，，因，则，于是得，此时，，则原点O到直线l的距离，所以，存在以原点O为圆心，为半径的圆与直线