2025-2026学年北京市海淀区高三上学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page99页，共=sectionpages99页2025-2026学年北京市海淀区高三上学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，共50分。1.设全集U=R，A=-2,-1,1，B=xx2-x≤0，则图中阴影部分表示的集合为(

)A.-2,-1 B.-1,1 C.-2,1 D.-2,-1,12.在复平面内，复数z对应的点的坐标是1,3，则z⋅zA.2-23i B.-2i C.-43.已知向量AB，CD在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则AB+CD=(

)

A.5 B.6 C.7 D.84.设a,b,c∈R，且a>b>0>c，则(

)A.a+c>b-c B.ac>bc C.ca<c5.函数fx=4A.有最大值，也有最小值 B.没有最大值，有最小值

C.有最大值，没有最小值 D.没有最大值，也没有最小值6.将函数fx=cosx的图象向左平移π2个单位长度，得到函数A.gx是偶函数 B.gx=f'x C.g'7.函数fx=kx2A.B.C.D.8.已知角α，β是象限角，则“存在k∈Z，使得α+β=kπ”是“tanα+tanβ=0”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积术”.如果把这种方法写成公式，就是S=12c2a2-c2+a2-A.当ac=1时，S≤34 B.当ac=2时，S≤154

C.当ac=1时，S≥10.已知数列an满足a1=1，an+1an∈2,-2n=1,2,⋅⋅⋅，SnA.存在an，使得S4=3成立

B.存在an，使得S2k+1>S2k且S2k+1>S2k+2对任意k∈N*成立

C.对任意k∈N*二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.函数fx=1-log2x12.已知等差数列an中，a3=5，且2a1+a5=1113.若向量a=2,1，b=-3,1，则a⋅b=

14.设函数fx=bx,x<0,x2-bx+14,x≥0若存在点Aa,a在函数fx15.某社区内有一扇形草坪如图．，扇形的半径OA为60米，∠AOB=2π3.甲从圆心O出发，沿OA以每秒1米的速度向A慢走，同时乙从A出发，沿AB⌢以每秒2π3米的速度向B慢跑．若经过t0≤t≤60秒，甲和乙所在位置分别为M和N

①当t=30时，MN⊥OA；②函数y=ft在区间30,45③方程ft=60在区间④若函数ft在t=t0其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.已知函数fx=2(1)求函数fx(2)若α,β∈0,π2，且α是函数fx的一个零点，直线x=β是曲线y=f17.已知数列an的前n项和为Sn，且2(1)求a1(2)求an(3)若an的各项都为正数，记Tn=a18.已知函数fx=lnx+ax-1x-2，再从条件①、条件(1)曲线y=fx在点1,f(2)函数fx条件①：f1条件②：f4条件③：f'3注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．19.某城市公园计划将园内三角形区域ABC(如图).建造为多功能区，其中AB=140米，AC=150米，cosA=3(1)求BC的长度；(2)公园拟在AB边上设置休息点D与A，B不重合．，同时将AD，CD，BD修建为三种不同功能的AI智慧步道，其每米造价分别为0.1万元，0.2万元，0.3万元．记∠ADC=θ，三段AI智慧步道的造价总和记为S(单位：万元)．①将S表示为θ的函数；②若S不超过48万元，求θ的最大值．只需写出结论．20.已知函数fx=x3+ax有两个极值点x1(1)若点A在直线y=-2x上，求a的值；(2)若函数gx=e-ax的图象上存在点P，使得▵PAB是以P21.给定正整数nn≥3，已知A=a11a12⋯a1na21a22⋯a①对任意i∈1,2,⋅⋅⋅,n，有a②对任意i,j∈1,2,⋅⋅⋅,n，且i≠j，有a③对任意j∈1,2,⋅⋅⋅,n，有a(1)判断数表0011(2)若数表A具有性质P，求n的最小值；(3)若数表A具有性质P，记M=xx=a1j+a2j+⋅⋅⋅+anj,j∈1,2,⋅⋅⋅,n，求maxM+M参考答案1.A

2.D

3.A

4.D

5.B

6.B

7.C

8.C

9.B

10.D

11.0,2

12.2

13.-5

；3π14.1

；

0

15.①②④

16.(1)因为fx所以fx令2x-π解得x∈-(2)因为α是函数fx所以2sin(2α-π4可得2α-π4=0因为直线x=β是曲线y=fx所以2β-π4=因为β∈0,π2，所以令k=0故α+β=π

17.(1)对于2Sn+a1可得2a1+a1(2)当a1=0时，Sn则an当a1=3时，则2S得到Sn-1=3则an=3可得an是以3为首项，3故an(3)因为an的各项都为正数，所以a则Tn

18.(1)选择条件①，可得f1此时无法使得fx选择条件②，可得ln4+a4-1选择条件③，因为fx=ln可得13-a故选择条件②或条件③可使得fx唯一确定，且f故fx=lnx+x-1而f1=0，f'1(2)由已知得fx=ln令f'x<0，x∈(1,2)∪(2,4)，令f'x则fx在(1,2),(2,4)上单调递减，在(0,1),(4,+∞)综上，单调递增区间为(0,1),(4,+∞)，单调递减区间为(1,2),(2,4)．

19.(1)在三角形▵ABC中，由余弦定理BC代入，得到BC解得BC=130m．(2)①cosB=因为A∈0,π所以sinA=在三角形▵ACD中，由正弦定理ADsin所以AD=150sin(A+θ)又BD=AB-AD=140-150所以S=0.1AD+0.2CD+0.3BD=42+30sinAsin②若S≤48，即241+1-cosθ因为sinθ>0，因此只需1-cosθ-则sinθ+π4≥则θ+π4再考虑到θ∈B,π-A，其中A∈0,π,故θ的最大值为π2

20.(1)fx=x令f'(x)=0，即3x∵函数fx=∴方程3x2+a=0∴解方程得x1因为点A在直线y=-2x上，所以f(x即(-解得a=-3．(2)由(1)可知x1=-则f(xf(x所以A(--a设Px,e-ax，因为▵PAB是以P则(x+展开并化简可得：x+2a即所求问题转化为：当a<0时，x+2a3e令h(x)=x+2a3e令h'(x)=1-2a23e当x<-1aln32当x>-1aln32因此，当x=-1aln且h(-1当x→-∞时，-ax→-∞，e-ax→0，2a3当x→+∞时，-ax→+∞，e-ax→+∞，2a3要使x+2a3e因为a<0，所以1-ln32因此，a的取值范围是-

21.(1)数表不具有性质P，因为取j=1，则有a11+a(2)由①②知数表中的元素总和为1×(1+2+⋯+n-1)+n×0=n(n-1)设sj又由③，有n(n-1)2=j=1又当n=5时，可构造数表A=具有性质P，所以n的最小值为5．(3)当n=5时，由(2)知sj所以maxM+|M|的最大值为2+1=3．当n≥6时，因为sj∈{2,3,4,⋯,n-1}，所以若|M|=n-2，则n所以|M|≤n-3．所以maxM+|M|≤n-1+n-3=2n-4．当n=6时，若maxM+|M|=2n-4=8，则maxM=n-1=5,|M|=n-3=3，此时j=1n所以maxM+|M|≤7．又可构造数表A6=具有性质P，且maxM+|M|=7，所以maxM+|M|的最大值为7．当n≥7时，maxM≤n-1,mi