吉林省四平市铁东区四校2025~2026学年上学期期中测试九年级数学试卷（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页吉林省四平市铁东区四校2025~2026学年上学期期中测试九年级数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（

）A．且 B． C．且 D．2．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（

）．A． B．C． D．3．抛物线上y＝(m－4)x2有两点A(－3，y1)、B(2，y2)，且y1＞y2，则m的取值范围是（

）A．m＞4 B．m＜4 C．m≥4 D．m≠44．某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时，每天可售出300件．经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若商场每天要获得3750元利润，则每件玩具应涨多少元？这道应用题如果设每件玩具应涨x元，则下列说法错误的是（）A．涨价后每件玩具的售价是元; B．涨价后每天少售出玩具的数量是件 C．涨价后每天销售玩具的数量是件 D．可列方程为：5．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是（

）A．y=(x-2)2+1 B．y=(x+2)2+1C．y=(x-2)2-3 D．y=(x+2)2-36．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0二、填空题7．若函数是二次函数，则m的值为．8．方程的根为．9．定义，则．10．若关于x的方程根的判别式的值为8，则m的值是．11．方程的解是12．点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F分别是AB边上的点，且EF＝AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝BC；若S1,S2分别表示∆EOF和∆GOH的面积，则S1,S2之间的等量关系是13．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为．

14．二次函数的图象如图所示，给出以下四个结论：（1）（2），（3），（4），其中正确的是（填序号）．

三、解答题15．解方程：．16．解方程：．17．解方程：．18．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合力定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．（1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；（2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．20．抛物线的顶点坐标是，且经过点，求这条抛物线的解析式．21．关于x的函数y=（m2-1）x2-（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．22．如图，它是一个8×10的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上．（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1．（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．（3）△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请画出对称轴．△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形（填“是”或“不是”）轴对称图形．23．阅读理解并解答：(1)【方法呈现】把一个多项式进行配方，可以解决代数式值的最小（或最大）问题．例如：，∵，∴．则代数式的最小值是______，这时相应的x的值是______；(2)【尝试应用】求代数式的最大值，并写出相应的x的值．24．神韵随州，一见钟情．为迎接全市文旅产业发展大会，某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图．(1)直接写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)当销售单价为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？(3)“文旅大会”结束后，物价部门规定该纪念品销售单价不能超过m元，在日销售量y（件）与销售单价x（元/件）保持（1）中函数关系不变的情况下，若要求该纪念品的日销售最大利润是1200元，求m的值．25．如图所示，中，．(1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是？(2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；(3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？26．已知抛物线．(1)无论m取何值，该抛物线总经过一定点，定点坐标为______．(2)抛物线与直线y＝x＋1交于两点，，且，若，求m的值．(3)点P是抛物线上第四象限内一动点，在（2）的条件下，求△PAB面积的最大值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《吉林省四平市铁东区四校2025~2026学年上学期期中测试九年级数学试卷》参考答案题号123456答案AAADCD1．A【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+2≠0且△≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴△≥0且a+2≠0，∴（-3）2-4（a+2）×1≥0且a+2≠0，解得：a≤且a≠-2，故选：A．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．2．A【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案．【详解】解：，移项得，二次项系数化1的，配方得，即，故选：A．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．3．A【分析】把A、B两点的坐标分别代入抛物线解析式可用m分别表示出y1和y2，利用条件可得到m的不等式，可求得m的取值范围．【详解】解：∵A（−3，y1）、B（2，y2）在抛物线上，∴y1＝9（m−4），y2＝4（m−4），∵y1＞y2，∴9（m−4）＞4（m−4），∴m＞4，故选：A．【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．4．D【详解】A.涨价后每件玩具的售价是元，正确；B.涨价后每天少售出玩具的数量是件，正确；C.涨价后每天销售玩具的数量是件，正确；D.可列方程为：，错误，应为(30+x-20)(300-10x)=3750，故选D.5．C【分析】先根据对称轴为直线x=2排除B、D，再将点（0，1）代入A、C两个抛物线解析式检验即可．【详解】解：∵抛物线对称轴为直线x=2，∴B、D选项不符合题意，将点（0，1）代入A中，得（x-2）2+1=（0-2）2+1=5，故A选项错误，代入C中，得（x-2）2-3=（0-2）2-3=1，故C选项正确．故选∶C．【点睛】本题考查学生对二次函数顶点式的掌握，难度较小，二次函数的顶点式解析式为，顶点坐标为，对称轴为6．D【分析】根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可.【详解】∵抛物线与x轴有两个交点，∴，即，所以A选项错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误；∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴，∴，所以C选项错误；∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴，所以D选项正确；故选D．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解答本题的关键．7．3【分析】本题考查了二次函数的定义，根据是二次函数，得，再解得m的值，即可作答．【详解】解：∵函数是二次函数，∴，解得，故答案为：38．【详解】解：x（x－3）=0，解得：x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3．9．167【分析】本题考查了定义新运算，有理数的乘方运算，理解题意，掌握乘方运算是关键．根据定义新运算的法则展开，运用乘方计算即可求解．【详解】解：∵定义，∴，∴，故答案为：167．10．【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据关于x的方程根的判别式的值为8，列式，进行计算，解得m的值，即可作答．【详解】解：∵关于x的方程根的判别式的值为8，∴，∴，∴，故答案为：．11．【分析】利用直接开平方法解一元二次方程即可.【详解】解：故答案为【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键.12．2S1＝3S2【分析】过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，根据点O是平行四边形ABCD的对称中心以及平行四边形的面积公式可得AB•ON=BC•OM，再根据S1=EF•ON，S2=GH•OM，EF＝AB，GH＝BC，则可得到答案．【详解】过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，∴S平行四边形ABCD=AB•2ON，S平行四边形ABCD=BC•2OM，∴AB•ON=BC•OM，∵S1=EF•ON，S2=GH•OM，EF＝AB，GH＝BC，∴S1=AB•ON，S2=BC•OM，∴2S1＝3S2，故答案为2S1＝3S2．【点睛】本题考查了平行四边形的面积，中心对称的性质，正确添加辅助线、准确表示出图形面积是解题的关键．13．4．【分析】根据关系式，令h=0求得t的值，即小球从飞出到落地所用的时间.【详解】解：依题意，令得：∴得：解得：（舍去）或∴即小球从飞出到落地所用的时间为故答案为4．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单.14．（1）（3）（4）【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与y轴的交点问题，根据二次函数的图象判断式子符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察函数图象，得函数图象开口向下，得，故，函数与轴的交点在坐标原点，把代入，得，把代入，得，运用数形结合思想，即可作答．【详解】解：观察二次函数的图象，得函数图象开口向下，即，则对称轴为直线，即，整理得，∵，∴，函数与轴的交点在坐标原点，∴，∴故（1）符合题意；把代入，得，观察函数图象，得，故（2）不符合题意；∵，且，，∴，故（3）符合题意；把代入，得，∵，∴观察函数图象，得，故（4）符合题意；故答案为：（1）（3）（4）15．【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握直接开方法是关键．根据题意，运用直接开方法求一元二次方程即可．【详解】解：，∴，解得，，∴．16．【分析】本题考查了解一元二次方程，运用配方法进行解方程，即可作答．【详解】解：∵，∴，则，∴∴，解得．17．【分析】本题考查了解一元二次方程，运用公式法进行解方程，即可作答．【详解】解：∵，∴，∴，解得．18．（1）1600元；（2）55元【分析】（1）根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可求出结论；（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[100-2（x-50）]件，根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：（1）（60-40）×[100-（60-50）×2]=1600（元）．答：每天的销售利润为1600元．（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[100-2（x-50）]件，依题意，得：（x-40）[100-2（x-50）]=1350，整理，得：x2-140x+4675=0，解得：x1=55，x2=85（不合题意，舍去）．答：每件工艺品售价应为55元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．19．（1）证明见解析；（2）m=1【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．【详解】解：（1）证明：．∵不论m为何值，，即．∴不论m为何值，方程总有实数根．（2）解关于x的一元二次方程，得，∴，．∵方程的两个根都是正整数，∴是正整数，∴或．又∵方程的两个根不相等，∴，∴．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况是解答的关键．20．【分析】本题考查了求二次函数的解析式，先理解题意，设这条抛物线的解析式为，再代入进行计算，即可作答．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是，∴设这条抛物线的解析式为将代入得解得，∴．21．1或3．【分析】需要分类讨论：该函数是一次函数和二次函数两种情况．【详解】①当m2-1=0，且2m+2≠0，即m=1时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一个公共点；②当m2-1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则△=（2m+2）2-8（m2-1）=0，解得m=3，m=-1（舍去）．综上所述，m的值是1或3．22．（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）是，画对称轴见解析.【详解】试题分析：（1）根据△ABC与△A1B1C1关于直线OM对称进行作图即可；（2）根据△ABC与△A2B2C2关于点O成中心对称进行作图即可；（3）一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．试题解析：(1)如图,△即为所求；(2)如图,△即为所求；(3)如图,△与△组成的图形是轴对称图形，其对称轴为直线l.23．(1)2，(2)代数式有最大值59，相应的x的值为7【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）理解题干过程，则当时，则，即可作答．（2）模仿题干过程，则，因为，则．当时，则，即可作答．【详解】（1）解：依题意，．当时，则，则代数式的最小值是2，这时相应的x的值是，故答案为：，；（2）解：，∵，∴，∴．当时，则，则代数式的最大值是59，这时相应的x的值是．24．(1)(2)当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元(3)50【分析】（1）根据图中的数据，利用待定系数法得关系式．（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求出最值．（3）将1200元代入新函数，先求解的值，再根据最大利润为1250元进行检验即可得到的m．【详解】（1）设解析式为根据图像可知，点在上∴，解得∴y与x的函数关系式为（2）设每天获利w元，根据题意得∵，∴当时，w取最大值为1250，答：当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元．（3）由（2）知，当w最大时，，解得，，∵当时，时，当时，w最大，即．【点睛】本题考查的是一次函数和二次函数的综合问题，正确找出题目中的等量关系是解决问题的关键．25．(1)2.4秒(2)不能，理由见解析(3)经过秒或5秒或秒后，的面积为【分析】（1）设经过x秒，点P和点Q间的距离是，列出方程求解即可；（2）设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；（3）分三种情况