高三数学平面向量多选题专项训练单元专题强化试卷学能测试试题

高三数学平面向量多选题专项训练单元专题强化试卷学能测试试题一、平面向量多选题1．在中，，，分别是内角，，所对的边，，且，，则以下说法正确的是（）A．B．若，则C．若，则是等边三角形D．若的面积是，则该三角形外接圆半径为4答案：AC【分析】对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出；对于，利用正弦定理可求得，进而可得；对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得；对于，根据三角形面积公式求得，利解析：AC【分析】对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出；对于，利用正弦定理可求得，进而可得；对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得；对于，根据三角形面积公式求得，利用余弦定理求得，进而由正弦定理求得．【详解】解：由正弦定理可将条件转化为，因为，故，因为，则，故正确；若，则由正弦定理可知，则，因为，则，故错误；若，根据正弦定理可得，又因为，即，即有，所以，因为，则，故，整理得，即，解得，故，则，即，所以是等边三角形，故正确；若的面积是，即，解得，由余弦定理可得，即设三角形的外接圆半径是，由正弦定理可得，则该三角形外接圆半径为2，故D错误，故选：AC．【点睛】本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．2．在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为.下列有关的结论，正确的是（）A．B．若，则C．，其中为外接圆的半径D．若为非直角三角形，则答案：ABD【分析】对于A，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断.【解析：ABD【分析】对于A，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断.【详解】对于A，∵，∴，根据余弦函数单调性，可得，∴，故A正确；对于B，若，则，则，即，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，在为非直角三角形，，则，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．3．在中，内角所对的边分别为.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A． B．C． D．答案：BC【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】对于选项A中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B中：因为，且，所以角有两解析：BC【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】对于选项A中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B中：因为，且，所以角有两解；对于选项C中：因为，且，所以角有两解；对于选项D中：因为，且，所以角仅有一解.故选：BC.【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是（）A．B＝60°，c＝4，b＝5，有两解B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解D．B＝60°，c＝4，b＝2，无解答案：ABC【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解.【详解】对于，因为为锐角且，所以三角解析：ABC【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解.【详解】对于，因为为锐角且，所以三角形有唯一解，故错误；对于，因为为锐角且，所以三角形有两解，故错误；对于，因为为锐角且，所以三角形无解，故错误；对于，因为为锐角且，所以三角形无解，故正确.故选：ABC.【点睛】本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.5．下列各式中，结果为零向量的是（）A． B．C． D．答案：BD【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项：，选项不正确；对于选项：，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项正确.故选：解析：BD【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项：，选项不正确；对于选项：，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项正确.故选：BD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.6．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（）A． B．是钝角三角形C．的最大内角是最小内角的倍 D．若，则外接圆半径为答案：ACD【分析】先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.【详解】因为所以可设：（其中），解得：所以，所以A正确；由上可知：边最大，所以三角形中角最大，又，所以角为解析：ACD【分析】先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.【详解】因为所以可设：（其中），解得：所以，所以A正确；由上可知：边最大，所以三角形中角最大，又，所以角为锐角，所以B错误；由上可知：边最小，所以三角形中角最小，又，所以，所以由三角形中角最大且角为锐角,可得：，所以，所以C正确；由正弦定理得：，又所以，解得：，所以D正确.故选:ACD.【点睛】本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.7．在△ABC中,若,则△ABC的形状可能为()A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形答案：ABCD【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形【详解】根据正弦定理,即.,或.即或解析：ABCD【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形【详解】根据正弦定理,即.,或.即或,△ABC可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形.故选：ABCD【点睛】本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°8．已知为的重心，为的中点，则下列等式成立的是（）A． B．C． D．答案：ABD【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.【详解】解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.对于A选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A正确；对于B选项，，由于为三解析：ABD【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.【详解】解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.对于A选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A正确；对于B选项，，由于为三等分点靠近点的点，，所以，故正确；对于C选项，，故C错误；对于D选项，，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.9．下列命题中，结论正确的有（）A．B．若，则C．若，则A､B､C､D四点共线；D．在四边形中，若，，则四边形为菱形.答案：BD【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A，，故A错误；对于B，若，则，所以，，故，即B正确；对于C，，则或与共线，故C错误；对于D，在四边形中，若解析：BD【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A，，故A错误；对于B，若，则，所以，，故，即B正确；对于C，，则或与共线，故C错误；对于D，在四边形中，若，即，所以四边形是平行四边形，又，所以，所以四边形是菱形，故D正确；故选：BD【点睛】本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.10．下列各组向量中，不能作为基底的是（）A．， B．，C．， D．，答案：ACD【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可.【详解】A，C，D中向量与共线，不能作为基底；B中，不共线，所以可作为一组基底．【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属解析：ACD【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可.【详解】A，C，D中向量与共线，不能作为基底；B中，不共线，所以可作为一组基底．【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.11．已知、是任意两个向量，下列条件能判定向量与平行的是（）A． B．C．与的方向相反 D．与都是单位向量答案：AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A选项，若，则与平行，A选项合乎题意；对于B选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B选项不合乎题意；对于C选项，若与的方向相反，解析：AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A选项，若，则与平行，A选项合乎题意；对于B选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B选项不合乎题意；对于C选项，若与的方向相反，则与平行，C选项合乎题意；对于D选项，与都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则与不一定平行，D选项不合乎题意.故选：AC.【点睛】本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.12．设为非零向量，下列有关向量的描述正确的是（）A． B． C． D．答案：ABD【分析】首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项.【详解】表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB正确，当不是单位向量时，不正确，，所以D正确.故选：ABD解析：ABD【分析】首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项.【详解】表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB正确，当不是单位向量时，不正确，，所以D正确.故选：ABD【点睛】本题重点考查向量的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解表示与向量同方向的单位向量.13．下列命题中，正确的是（）A．在中，，B．在锐角中，不等式恒成立C．在中，若，则必是等腰直角三角形D．在中，若，，则必是等边三角形答案：ABD【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得解析：ABD【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误.【详解】对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；对于，在锐角中，，，，，，因此不等式恒成立，正确；对于，在中，由，利用正弦定理可得：，，，，或，或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误.对于，由于，，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正确.故选：.【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.14．设、、是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（）A． B．C． D．答案：AB【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B选项错误；对于C选项，解析：AB【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B选项错误；对于C选项，，C选项正确；对于D选项，，D选项正确.故选：AB.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.15．给出下面四个命题，其中是真命题的是（）A． B． C． D．答案：AB【解析】【分析】根据向量加法化简即可判断真假.【详解】因为，正确；，由向量加法知正确；，不满足加法运算法则，错误；，所以错误.故选：AB.【点睛】本题主要考查了向量加法的解析：AB【解析】【分析】根据向量加法化简即可判断真假.【详解】因为，正确；，由向量加法知正确；，不满足加法运算法则，错误；，所以错误.故选：AB.【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.二、平面向量及其应用选择题16．中，内角所对的边分别为.若，则的面积为（）A．6 B． C． D．解析：B【分析】由条件和余弦定理得到，再根据三角形的面积公式计算结果.【详解】由条件可知：，①由余弦定理可知：，②所以由①②可知，，即，则的面积为.故选：B【点睛】本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.17．已知，，，(m，).存在，，对于任意实数m，n，不等式恒成立，则实数T的取值范围为（）A． B． C． D．解析：A【分析】不等式恒成立，即求最小值，利用三角不等式放缩，转化即求最小值，再转化为等边三角形的边的中点和一条直线上动点的距离最小值.当运动到时且反向时，取得最小值得解.【详解】，,易得设，中点为，中点为则在单位圆上运动，且三角形是等边三角形,，所在直线方程为因为恒成立，,(当且仅当与共线同向，即与共线反向时等号成立)即求最小值.三角形是等边三角形，在单位圆上运动，是中点，的轨迹是以原点为圆心，半径为的一个圆.又在直线方程为上运动，当运动到时且反向时，取得最小值此时到直线的距离故选：A【点睛】本题考查平面向量与几何综合问题解决向量三角不等式恒成立.平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．18．如图，在中，，，和相交于点，则向量等于（）A． B．C． D．解析：B【分析】过点分别作交于点，作交于点，由平行线得出三角形相似，得出线段成比例，结合，，证出和，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得和表示.【详解】解：过点分别作交于点，作交于点，已知，，，则和，则：且，即：且，所以，则：，所以，解得：，同理，和，则：且，即：且，所以，则：，即，所以，即，得：，解得：，四边形是平行四边形，由向量加法法则，得，所以.故选：B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理，考查运算能力.19．如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于（）A． B． C． D．解析：D【分析】由题，延长AP交BC于点D，利用共线定理，以及向量的运算求得向量的关系，可得与的比值，再利用面积中底面相同可得结果.【详解】延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，所以，设代入可得即又因为，即，且解得所以可得因为与有相同的底边，所以面积之比就等于与之比所以与的面积之比为故选D【点睛】本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.20．在中，，则的形状一定是（）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形解析：D【分析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状.【详解】因为，所以，即是直角三角形，选D.【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．21．已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是A．关于直线对称 B．关于点对称C．周期为 D．在上是增函数解析：D【详解】当时,,∴f(x)不关于直线对称；当时,,∴f(x)关于点对称；f(x)得周期，当时,,∴f(x)在上是增函数．本题选择D选项.22．已知，，且向量与的夹角为，则（）A． B．3 C． D．解析：A【分析】根据向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式，准确运算，即可求解.【详解】因为，，与的夹角为，所以，则.故选：A.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.23．中华人民共和国国歌有个字，小节，奏唱需要秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A． B． C． D．解析：B【分析】如解析中图形，可在中，利用正弦定理求出，然后在中求出直角边即旗杆的高度，最后可得速度．【详解】如图，由题意，∴，在中，，即，．∴，（米/秒）．故选B．【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．24．在△ABC中，M是BC的中点．若＝，＝，则＝()A． B． C． D．解析：D【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果.【详解】在中，M是BC的中点，又，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目.25．在中，设，则动点M的轨迹必通过的（）A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心解析：D【分析】根据已知条件可得，整理可得，若为中点，可知，从而可知在中垂线上，可得轨迹必过三角形外心.【详解】设为中点，则为的垂直平分线轨迹必过的外心本题正确选项：【点睛】本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论.26．在中，、、分别是角、、的对边，若，则的面积为（）A． B． C． D．解析：A【分析】首先由条件和正弦定理判断是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积.【详解】由正弦定理可知已知，所以和，所以，，所以是等腰直角三角形，由条件可知外接圆的半径是，即等腰直角三角形的斜边长为，所以.故选：A【点睛】本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型.27．在中，，，分别是角，，所对的边，若，且，则的形状是（）A．等边三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形解析：C【分析】化简条件可得，由正弦定理化边为角，整理，即