第01讲计数原理（复习讲义）（原卷版）

第01讲计数原理目录TOC\o"13"\h\u01考情解码・命题预警 202体系构建·思维可视 303核心突破·靶向攻坚 4知能解码 4知识点1分类加法计数原理 4知识点2分步乘法计数原理 4知识点3分类加法计数原理和分步乘法计数原理推广 4题型破译 5题型1分类加法计数原理 5【方法技巧】分类标准的选择题型2分步乘法计数原理 6【方法技巧】分步乘法计数原理方法题型3两个计数原理综合 7【方法技巧】两个计数原理综合注意点题型4涂色问题 804真题溯源·考向感知 905课本典例·高考素材 9考点要求考察形式2025年2024年2023年（1）分类加法计数原理（2）分步乘法计数原理单选题多选题填空题解答题/2023年上海卷第10题，5分2023年上海卷第12题，5分2023年甲卷（理）第9题，12分考情分析：本节的考查形式以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当复习目标：（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．（2）会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．知识点1分类加法计数原理自主检测在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（

）A．14 B．19 C．90 D．200知识点2分步乘法计数原理自主检测用数字1，2，3，4组成无重复数字的两位数，其中偶数的个数为．知识点3分类加法计数原理和分步乘法计数原理推广（1）完成一件事有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,自主检测如图所示，从甲地到丙地有2条公路可走，从丙地到乙地有3条公路可走，从甲地不经过丙地到乙地有2条水路可走.则从甲地到乙地的走法种数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8题型1分类加法计数原理例11将各位数字之和为6的三位数叫“幸运数”，比如123，402，则所有“幸运数”的个数为（

）A．19 B．20 C．21 D．22例12如图，随机闭合两个开关使电路从A处到B处只有一条支路接通，可以有种不同的闭合方法.方法技巧分类标准的选择（1）应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．根据题目特点恰当选择一个分类标准．（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复，但也不能有遗漏．【变式训练11】如图，要让电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有（

）

A．5种 B．6种 C．7种 D．9种【变式训练12】如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（

）A．26 B．24 C．19 D．18A． B． C． D．题型2分步乘法计数原理例21用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数的个数为（

）A．48 B．36 C．24 D．18例22用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有种不同的书写方案．方法技巧分步乘法计数原理方法（1）明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．（2）将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成．【变式训练21】将数字1，2，3填在的表格中，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（

）A．12种 B．18种 C．24种 D．36种【变式训练22】重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（）A． B． C． D．【变式训练23】用0，1，2，3这4个数字，可组成个没有重复数字的三位数（用数字作答）题型3两个计数原理综合例31由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（

）A．48个 B．52个 C．60个 D．120个A．6 B．12 C．24 D．48方法技巧两个计数原理综合注意点（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事．（2）分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图．（3）对于复杂问题，一般是先分类再分步．【变式训练31】学校教师运动会设置有“跳绳”、“立定跳远”、“定点投篮”、“沙包掷准”四个比赛项目，每个项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，每人做且仅做一项裁判工作，因为时间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，则不同的安排方法共有（

）A．12种 B．14种C．7种 D．9种【变式训练32】为了纪念我国成功举办北京冬奥会，中国邮政发行《北京举办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”，现将一套5枚邮票任取3枚，要求取出的邮票既含会徽邮票又含吉祥物邮票，则不同的取法种数为（

）A．4 B．8 C．16 D．18【变式训练33】中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有种．题型4涂色问题例41用种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂法有（

）种A． B． C． D．A．210种 B．420种 C．180种 D．260种【变式训练41】如图，用6种不同的颜色给图中，，，区域染色，要求相邻区域不能同色，则不同的染色方法共有（

）A．400种 B．460种 C．480种 D．496种【变式训练42】高二某班为了准备校园樱花文化节活动的展示牌，计划用5种不同颜色的笔书写图中A、B、C、D四个区域的文字，规定每个区域只用一种颜色的笔书写文字，相邻区域书写的文字颜色不同，则不同的书写方法数为（）A．120 B．160C．180 D．240【变式训练43】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（A，B，C，D，E）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有种.1．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．202．（2024·上海·高考真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值．1．某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0~9之间的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个？2．由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字可以重复）？3．任意画一条直线，在直线上任取n个分点．（1）从这n个分点中任取2个点形成一条线段，可得到多少条线段？（2）从这n个分点中任取2个点形成一个向量，可得到多少个向量？4．用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构成多少个不同的