第5章导数及其应用（复习讲义）数学苏教版2019高二选择性

第5章导数及其应用（复习讲义）一、基础目标1.导数的概念与计算（1）理解导数的定义及其几何意义（切线斜率）。（2）掌握基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）的导数公式。（3）熟练运用求导法则（和差、积、商、链式法则）。2.导数的几何应用（1）求函数在某点的切线方程与法线方程。二、核心能力目标1.函数的单调性与极值（1）利用导数判断函数单调性。（2）求函数的极值点。2.函数的最值与优化（1）求闭区间上连续函数的最值（比较极值点和端点函数值）。（2）解决实际优化问题（如面积、体积最大最小问题）。三、高阶应用目标1.数与函数图像分析（1）结合二阶导数判断凹凸性及拐点。（2）绘制函数图像（综合单调性、极值、凹凸性、渐近线）。四、数学思想与易错总结1.核心思想：（1）动态分析：通过导数研究函数瞬时变化率与整体形态。（2）模型转化：将实际问题转化为函数优化问题。知识点1：导数的概念函数的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率函数f(x)的导函数导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．[注意]1函数y＝fx的导数f′x反映了函数fx的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′x|反映了变化的快慢，|f′x|越大，曲线在这点处的切线越“陡”；2曲线y＝fx在点Px0，y0处的切线是指以P为切点，斜率为k0＝f′x0的切线，是唯一的一条切线．知识点2：导数的运算导数的运算基本初等函数的导数公式基本初等函数导数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)导数的运算法则（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．[常用结论]1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．熟记以下结论(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)；(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,fx)))′＝－eq\f(f′x,[fx]2)(f(x)≠0)；(3)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．知识点3：函数性质与导数利用研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的一般步骤(1)求f′(x)．(2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.(3)根据结果确定f(x)的单调性及单调区间．已知函数在区间上递增（递减）求参数利用导数研究函数的极值、最值函数的极值函数的极小值函数的极大值极值点极小值点，极大值点统称为极值点．极值极大值和极小值统称为极值．求函数极值的步骤①先确定函数的定义域；函数的最值知识点4：恒成立、能成立问题与导数恒成立和有解问题题型题型一导数的定义【例1】已知函数fx在R上可导，若f'2=3，则A．9 B．12 C．6 D．3【答案】B【解答】由导数定义可知：f'故limΔ故选：B.【变式11】已知函数fx可导，且满足lim△x→0f3-Δx-fA．-1 B．-2 C．1 D．2【答案】A【解答】因为lim△x→0f故选:A.【变式12】若函数fx的满足limΔx→0f(2+ΔA．2 B．1 C．0 D．-1【答案】D【解答】因为limΔx故选：D.题型二平均速度、瞬时速度题型二平均速度、瞬时速度【例2】某物体做直线运动，若它所经过的位移s与时间t的函数关系为st=12tA．2 B．32 C．3 D．【答案】B【解答】v=故选：B.【变式21】质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2s时的瞬时速度是（

）A．2m/s B．6m/sC．4m/s D．11m/s【答案】D【解答】质点M在t＝2s时位移的平均变化率为△S△t＝2(2+△t当Δt无限趋近于0时，△S△故选：D.【答案】【分析】（1）求导得到，令即得解；故答案为：7；18.题型三曲线的切线方程题型三曲线的切线方程【答案】C故选：C【答案】B故选：B.【变式32】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D故选：D.题型四题型四导数的运算【答案】1故答案为：.【答案】/1.6故答案为：【变式42】（多选）下列求函数的导数正确的是（

）【答案】BC【分析】利用导数的运算法则逐个运算求解可判断其正误.故选：BC.题型五题型五复合函数的导数【例5】指出下列函数的复合关系．【变式51】求下列函数的导数：【变式52】（多选）下列函数的导数运算正确的是（

）【答案】ABD【分析】运用函数乘除的导数可以判断A、C,B、D用复合函数的求导规则判断即可.综上所得,正确的是：ABD.故选:ABD.题型六题型六函数单调性与导数【答案】A【答案】D故选：.题型七题型七极值、最值与导数【答案】D故选：D.即极小值点为，无极大值点.023001单调递增极大值单调递减极小值单调递增10题型八题型八不等式与导数【答案】D故选：D．【答案】C故选：C.【答案】A故选：A题型九题型九恒成立、能成立与导数A． B． C． D．4【答案】D故m的最小值为4．故选：D.【答案】,基础巩固通关测基础巩固通关测一、单选题A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】求出导数，然后直接代值计算即可.故选：AA． B． C．2 D．【答案】D故选：D【答案】A故选:A.A． B．2 C． D．【答案】A故选：A【答案】C【分析】利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性比较大小即可.故选：C.【答案】A故选：A.【答案】D【分析】根据函数单调性求出导函数列不等式计算求出参数.故选：D.【答案】B故选：B.二、多选题9．下列求导运算正确的是（

）【答案】BC【分析】直接利用导数的四则运算即可判断.故选：BC.【答案】AB【分析】根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合极值的定义，逐一求解.故选：AB【答案】AB故选：AB．三、填空题四、解答题【答案】(1)(2)答案见解析单调递增单调递减单调递增单调递增单调递减单调递增综上所述，(1)求函数的导数；(2)求函数的单调区间和极值.【分析】（1）根据导数的运算即可求解；正0负0正单调递增极大值点单调递减极小值点单调递增(2)证明见解析【分析】（1）利用导数判断单调性即可；（2）由（1）得函数的最小值，再利用换元法即可证明；单调递增极大值单调递减极小值单调递增能力提升进阶练能力提升进阶练一、单选题A． B． C． D．【答案】A故选：A.二、多选题【答案】AD于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，故选：AD三、填空题四、解答题【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；【答案】(1)极小值为，无极大值.【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调