专题12 角的和与差及角平分线问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024七年级上册（解析版）

1/10专题12角的和与差及角平分线问题的五类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、角的和与差的计算问题类型二、角中单条角平分线的计算问题类型三、角中双条角平分线的计算问题类型四、角中多条角平分线的计算问题类型五、与余角、补角有关的计算问题压轴专练类型一、角的和与差的计算问题如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．例1．（24-25七年级下·湖南湘西·开学考试）若，则的度数是．【答案】或【分析】本题主要考查了角的和与差．分两种情况：若在的内部；若在的外部，解答即可．【详解】解：若在的内部，∵∴；若在的外部，∵∴；综上所述，的度数是或．故答案为：或【变式1-1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）已知，则的度数为．【答案】或【分析】本题主要考查了角的和差，解题的关键是采用分类讨论的数学思想．先根据比值求出的度数，再分情况求出的度数即可．【详解】解：∵，∴，当点在的内部时，；当点在的外部时，；∴的度数为或，故答案为：或．【变式1-2】（2024七年级上·全国·专题练习）以的顶点为端点引射线，使．若，求的度数．【答案】或【分析】本题考查了几何图形中角的计算．属于基础题，解题的关键是分两种情况进行讨论．分射线在的内部和外部两种情况进行讨论求解即可．【详解】解：分两种情况：①如图1，当射线在的内部时，∵，设，∵，∴，解得：，∴；②如图2，当射线在的外部时，∵，设，∵，∴，解得：，∴，综上：或．【变式1-3】（24-25六年级下·山东泰安·阶段练习）如图，已知，射线是内部的一条射线，且．

(1)求的度数；(2)若过点作射线，使，求的度数．【答案】(1)；(2)的度数为或．【分析】本题主要考查了角的和差关系以及分类讨论思想，熟练掌握角的和差运算，根据射线的位置进行分类讨论是解题的关键．（1）利用角的和的关系，设未知数求解的度数．（2）根据已知条件求出的度数，再分射线在内部和外部两种情况，结合的度数，求出的度数．【详解】（1）解：设，又，即；（2）解：，情况一：当射线在内部时，如图，

，情况二：当射线在外部时，如图，

，综上，的度数为或．类型二、角中单条角平分线的计算问题从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=12∠AOB例2．（24-25七年级上·全国·期末）如图，已知，是内的一条射线，且．(1)求的度数；(2)过点O作射线，若，求的度数．【答案】(1)(2)或【分析】本题主要考查了角的和差关系以及分类讨论思想，熟练掌握角的和差运算，根据射线的位置进行分类讨论是解题的关键．（1）根据，，即可求解；（2）根据已知条件求出的度数，再分射线在内部和外部两种情况，结合的度数，求出的度数．【详解】（1）解：∵，，∴；（2）解：∵，∴，当在内时，，当在外时，．∴的度数为或．【变式2-1】（23-24七年级上·广东·期末）已知：如图，O是直线上的一点，，平分．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数（用含α的代数式表示）．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中角度的计算等知识．（1）利用平角减求出，再利用角平分线定义求出的度数；（2）利用平角减求出，再利用角平分线定义求出的度数，再由减去就是的度数．【详解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴．（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．【变式2-2】（24-25七年级上·全国·期末）已知O是直线上一点，是直角，平分．(1)如图①所示，若，则的度数为________；若，则的度数为______（用含a的式子表示）；(2)将图①中的绕点O顺时针旋转至②的位置，试探究和度数之间的关系，并说明理由．【答案】(1)(2)，理由：见解答过程【分析】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键．（1）首先求得的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，再根据即可求解；解法与（1）相同，把（1）中的改成a即可；（2）把的度数作为已知量，求得的度数，然后根据角的平分线的定义求得的度数，再根据求得，即可解决．【详解】（1）解：∵，，又∵平分，，又∵，；若，同理；故答案为：；；（2）解：，理由如下：，平分，，∴．【变式2-3】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）点为直线上一点，在直线上方作射线，使，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方．(1)如图，若三角板的直角边在射线上，则______；(2)绕点转动三角板，①如图，当恰好平分时，试说明平分；②在转动过程中，试探究与之间的数量关系，并给出证明．【答案】(1)(2)①证明见解析；②当在上方时，；当在下方且在上方时，；当在下方且在下方时，，证明见解析【分析】（）根据平角的定义解答即可；（）①设，可得，即得，，即得到，即可求证；②分三种情况：当在上方时；当在下方且在上方时；当在下方且在下方时，分别画出图形，利用角的和差关系解答即可求证；本题考查了角的和差，角平分线的定义，运用分类讨论思想解答是解题的关键．【详解】（1）解：∵，，∴，故答案为：；（2）解：①设，∵恰好平分，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴平分；②当在上方时，．证明：如图，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；当在下方且在上方时，．证明：如图，∵，∴，∵，∴，∴，∴；当在下方且在下方时，．证明：如图，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．类型三、角中双条角平分线的计算问题共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。图1图21）双角平分线模型（两个角无公共部分）条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，，∴，∴。2）双角平分线模型（两个角有公共部分）条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，，∴，∴。例3．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，已知直线，相交于点，平分，平分，．(1)试说明：；(2)求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是关键．（1）先证明，，再利用角的和差运算可得结论；（2）由条件可得，求解，再进一步求解即可．【详解】（1）解：由条件可知，∵平分，∴，∴，∴；（2）由条件可知，∴，∴，∴，∴．【变式3-1】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图所示，，是的平分线，是的平分线．(1)求的度数；(2)如果，那么等于多少？(3)如果，那么等于多少呢？【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．（1）根据角平分线定义可知，，再根据计算，即得答案；（2）根据，，求出结果即可；（3）根据，，求出结果即可．【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线，，，，∵，．（2）解：根据解析（1）可知：，∵，∴；（3）解：根据解析（1）可知：，∵，∴．【变式3-2】（23-24七年级上·福建漳州·期末）点O为直线上一点，在直线同侧作射线、，使得．(1)如图1，过点O作射线，若平分，且，求的度数；(2)如图2，过点O作射线、，若平分，平分，且，求的度数；(3)过点O作射线，当恰好为的平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数（用含的代数式表示）．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本题考查与角平分线有关的计算，几何图形中角度的计算．（1）先求出的度数，再根据角平分线得到，平角的定义，求出的度数，即可；（2）根据角平分线平分角推出，再根据平角的定义，求出的度数，即可；（3）分当在右侧和在左侧，两种情况进行讨论求解即可．正确的识图，找准角度之间的关系，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．【详解】（1）解：，，，平分，，；（2）解：平分，平分，，，，．，．（3）解：①如图，当在右侧时，平分，，．为的平分线，，．②如图，当在左侧时，平分，，，为的平分线，，的度数为或．【变式3-3】（24-25七年级上·全国·期末）在内部作射线在的右侧，且．(1)如图1，若平分平分，则；(2)如图2平分，探究与之间的数量关系，并证明；(3)设在的左侧，过点O作射线，使为的平分线，再作的平分线，若，画出相应的图形并求出的度数．（用含m的式子表示）【答案】(1)105°(2)(3)画图见解析，【分析】本题考查了角的平分线的性质、角的和差运算及几何探究问题，解题的关键是通过设未知数表示相关角的度数，结合角平分线定义和已知条件建立等量关系求解．（1）由的度数得的度数，设和的度数，结合角的和差得两角之和；利用角平分线性质表示相关角，进而通过和差计算的度数．（2）设和的度数，再设和的度数，由角的和差得关系；结合角平分线定义表示，通过和差推出与的数量关系并证明．（3）设的度数，结合角平分线定义表示和的度数；分的两种位置情况，根据建立方程，求解得的度数．【详解】（1）解：∵，且，∴．设，∵、、、顺时针顺次排列，∴，即，∴．∵平分平分，．故答案为：．（2）解：，证明如下：设，则．设，∵，∴，即．∵平分，且，．∵，．又，∴，，∴，即．（3）解：∵为的平分线，∴设，则．∵为的平分线，，．分两种情况：①当在与之间时，，∵，∴，解得，∴．②当在与之间时，，∵，∴，解得，∴．∵，∴此时点A、E、D三点重合，不符合题意．综上，．类型四、角中多条角平分线的计算问题条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：．证明：∵分别是和的平分线，，，、分别是和的平分线，，，、分别是和的平分线，，，…，由此规律得：。例4．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于）(1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____；(2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值．【答案】(1)(2)或【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键．（1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可；（2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可．【详解】（1）解：，，，，当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，，故答案为：；（2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，①当时，如图3，，，，，，，；②当时，如图4，，，，，，，；当时，如图5，，，，，，，，，，，不合题意；综上所述：的值为或．【变式4-1】（24-25七年级上·江西上饶·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线．(1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数；(2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）是的一条三分线，且，即可得，从而求得的度数；（2）已知是的两条三分线，根据三等分线的定义即可得的度数．本题考查了与角n等分线的有关计算，以及几何图形的角度的计算，通过几何图形得到角度的和差，从而解决问题，同时也考查了根据题目获取信息，用所获取的信息解题的能力．【详解】（1）解：∵是的一条三分线，且∴（2）解：∵，，是的两条三分线，∴∴．【变式4-2】（24-25七年级上·四川成都·期末）若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”．(1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线是（）的“新风尚线”；(2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求．【答案】(1)(2)或【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义：（1）根据角之间的关系得到，则，再由三等分线的定义得到，则，据此可得结论；（2）分当在内部时，当在外部时，两种情况根据“新风尚线”的定义讨论求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∵是的三等分线，∴，∴，∴射线是（）的“新风尚线”；（2）解：如图所示，当在内部时，∵是（）的“新风尚线”，∴，∴如图所示，当在外部时，∵是（）的“新风尚线”，∴，∴综上所述，的度数为或．类型五、与余角、补角有关的计算问题1.记住定义，用好公式-两个角加起来等于90°，它们互为余角。-两个角加起来等于180°，它们互为补角。-遇到"一个角的余角"或"补角"时，直接用90°或180°减去这个角即可。2.善用方程，解决复杂问题-当问题涉及多个角的关系时，设未知数是最佳策略。-通常设"这个角"为x°，然后根据题意列出方程。-例如："一个角的补角比它的余角大多少度？"-列出算式：

(180-x)-(90-x)=90

，轻松求解。3.利用性质，简化计算-记住一个重要性质：等角或同角的余角相等，补角也相等。-例如：如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，那么∠2=∠3。-这个性质能帮你绕开复杂计算，直接得出角相等的结论。例5．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）已知一个角的余角是这个角的补角的，求这个角的度数．【答案】这个角的度数为【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，设这个角的度数为x，则它的余角为，它的补角为，据此列出方程求解即可．【详解】解：设这个角的度数为x，由题意得，，解得，∴这个角的度数为．【变式5-1】（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）如图，是内三条射线，平分，平分．(1)已知，，求的度数；(2)若与互余，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题考查与角平分线有关的计算，求一个角的余角，找准角之间的和差关系，是解题的关键：（1）角平分线求出的度数，进而求出的度数，再根据角平分线求出的度数，用进行求解即可；（2）利用角平分线和角的和差关系，根据互余关系得到，进行求解即可．【详解】（1）解：∵平分，平分，，∴，∴，∴，∴；（2）∵平分，平分，∴，∵，∴，∵与互余，∴，∴．【变式5-2】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）如图，已知直线经过点，与互余，是的平分线．(1)若，则______；(2)若，求的度数；(3)，直接写出______；（用含的式子表示）【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．（1）根据余角的定义即可求解；（2）根据，结合求得，由角平分线定义得，利用角的差可得结论；（3）根据，结合求得，由角平分线定义得，利用角的差可得结论；【详解】（1）解：∵与互余，，∴；（2）解：∵，，∴，，∵平分，∴，∴；（3）解：∵，，∴，，∵平分，∴，∴．【变式5-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，直线与相交于点，射线在内．(1)若的补角是它的余角的倍，求的度数；(2)在（1）的条件下，若比大，则的度数为_________；(3)若射线平分，，求的度数．【答案】(1)°(2)(3)【分析】本题考查了余角、补角有关的计算，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键；（1）根据题意列方程，解方程即可求解；（2）根据邻补角得出，结合题意得出，即可求解；（3）根据角平分线的定义得出，根据平角的定义可得，则，进而根据，即可求解．【详解】（1）解：依题意，，解得：；（2）解：∵，∴，又∵，∴．故答案为：．（3）解：如图所示，∵射线平分，∴，∵，∴，即，∴，∴．一、单选题1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，将两个含角的三角板按如图方式摆放在水平桌面上，下列表述正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，熟练掌握含角的三角板的特征是解题的关键．根据含角的三角板的特征得到，，再通过计算逐项分析判断即可得出答案．【详解】解：由题意得，，，A、，故此选项错误，不符合题意；B、，故此选项正确，符合题意；C、，故此选项错误，不符合题意；D、，故此选项错误，不符合题意；故选：B．2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如果两个角互为补角，而其中一个角比另一个角的4倍少，那么这两个角的度数是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】此题考查了补角的性质，一元一次方程的应用，设一个角的度数为x，则另一个角的度数为，根据互为补角的两个角的度数相加为列方程求解即可．【详解】解：设一个角的度数为x，则另一个角的度数为，根据题意得：，解得，∴，∴这两个角的度数是，．故选：B．3．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图，直线相交于点，，平分，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的运算，先由平角得，平分，得，因为，则，再进行列式计算，即可作答．【详解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，故选：B4．（16-17七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，根据三角板中角度的特点可求出第一幅图和的度数；第二幅图中，根据同角的余角相等可得；根据三角板中角度的特点可求出第三幅图和的度数；第四幅图中，，且，则；据此可得答案．【详解】解：左边起，第一幅图中，，则；第二幅图中，根据同角的余角相等可得；第三幅图中，；第四幅图中，，且，则；则的有3个，故选：C．5．（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图，射线，都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②若变小，则也变小；③若，则；④若OM平分平分，则．其中正确的说法有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差；能熟练利用角平分线及角的和差进行运算是解题的关键．①由已知得，即可判断；②由角的和差得，即可判断；③由角的和差得，即可判断；④由角平分线定义得，，由角的和差得即可判断．【详解】解：①和都是直角，，；故此项正确；②和都是直角，，变小，则变大；故此项错误；③由②得，，，，故此项错误；④OM平分平分，，，，；故此项正确；故选：B．6．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在同一平面内，，平分，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角），给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．由，根据等角的余角相等得到，可判断①正确；即；由，结合即可判断②正确；由，而不能判断，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得，结合①和可得，从而可判断④正确．进而可得答案．【详解】解：∵，∴，∴，故①正确；∵，故②正确；∵，而，故③不正确；∵E、O、F三点共线，∴，∵平分，∴，∴，即，∴，故④正确．所以，正确的结论有3个．故选：C．二、填空题7．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）若与互余，且，则的度数为【答案】【分析】本题考查了互余，角的加减运算．根据与互余，可得，再进行计算即可得到答案．【详解】解：与互余，，，则，，故答案为：．8．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是．【答案】【分析】本题主要考查了度分秒的换算，解题的关键是能够正确求出的度数．根据，，求出的度数，再根据，即可求出的度数．【详解】解：，，，，；故答案为：．9．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，桌面上平放着一把长方形直尺和它上方的一块三角板，小明将三角板的直角顶点C紧靠直尺的边缘，若分别作出与的平分线与．则．【答案】225【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据平角的定义结合角平分线的定义得到，再根据角的和差关系进行计算即可．【详解】解：由题意，得：，∴，∵与分别是与的平分线，∴，∴，∴；故答案为：225．10．（24-25七年级下·山东青岛·期末）新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们称射线为的倍分线，例如，如图，，则为的倍分线应用：若，为的二倍分线，且，则．【答案】【分析】本题主要考查了角的计算，理解倍分线的定义是解题的关键．根据为的二倍分线且得出，结合可得求得，进而完成解答．【详解】解：为的二倍分线，且，，，即，，，．故答案为：．11．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）如图，与互余，且，从O点出发一条射线，若，请你求的度数为度．【答案】20或100【分析】本题主要考查了余角的定义，几何图形中角度的计算，度数之和为90度的两个角互余，则，据此可得，再分在外部和在内部两种情况，根据角的和差关系求解即可．【详解】解：∵与互余，∴，∵，∴，如图所示，当在外部时，∵，∴；如图所示，当在内部时，∵，∴；综上所述，的度数为或，故答案为：20或100．12．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）如图，已知为从顶点出发的射线，，且，射线平分．平面内有射线和射线，射线平分．若，则．【答案】或【分析】本题考查了角的计算及角平分线，根据且，可得，根据角的和差关系可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，然后分在的内部和外部两种情况解答即可．【详解】解：∵且，∴，∴，∵射线平分，∴，当在的内部时，如图，∴，∵射线平分，∴，∴；当在的外部时，如图，∴，∵射线平分，∴，∴．综上所述，或．故答案为：或．三、解答题13．（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）若一个角的补角比这个角的余角的4倍大，求这个角的余角的度数．【答案】【分析】此题考查了余角和补角的知识，根据题意列出方程是解题关键．设这个角为，则这个角的补角为，余角为，从而根据题意可列出方程，解出即可得出答案．【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为，余角为，依题意得：，解得，．答：这个角的余角的度数是．14．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，在中，射线平分，连接，射线平分．(1)若是直角，，求的度数；(2)若，，则是多少度？【答案】(1)(2)【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角之间的和差关系是解题的关键：（1）根据直角结合角的和差关系得到的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可；（2）根据角平分线和角的和差关系推出，即可得出结果．【详解】（1）解：∵是直角，∴，∴，∵射线平分，射线平分，∴，，∴；（2）∵射线平分，射线平分，∴，，∵，∴，即：，∴．15．（21-22七年级下·浙江温州·开学考试）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起．(1)若，则；(2)若，则；(3)若，求的度数．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本题主要考查了角的运算．（1）根据和，可以求出，再根据即可求出结果；（2）根据和，即可求出，再根据，即可求出的度数；（3）设，，又因为，即可得到：，因为，即可得到，解方程求出的值，即可得到的度数．【详解】（1）解：由题意得，，，，，故答案为：；（2）解：由题意得，，，，，故答案为：；（3）解：，设，，由题意得，，，，，解得：，．16．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知直线与直线交于点O，过点O作．(1)如图1，为内的一条射线，若，求证：．(2)如图2，若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查几何图形中角度的计算，找准角度之间的和差关系，是解题的关键：（1）由垂直的定义得到，得到，进而推出，得到，即可证明；（2）平角的定义，求出，由垂直的定义得到，即可求出的度数．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴．17．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，O是直线上的一点，射线、是不与重合的两条射线，，平分．(1)如图1，若，则_____°，_____°；(2)如图2，若，求的度数；(3)当时，直接写出此时的度数．【答案】(1)120，45(2)(3)或【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的计算，一元一次方程的几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先运算，，根据平分，故，再把数值代入进行计算，即可作答．（2）理解题意，设，整理得，故，再运用角的和差关系进行列式计算，即可作答．（3）进行分类讨论，结合图1，根据角的和差关系以及角平分线的定义进行列式计算，得出；图2：先设，得，，结合平分，得，因为，所以，解得，即可作答．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∵平分，∴∴，故答案为：120，45；（2）解：设，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴解得，即．（3）解：如图1：当时，∴平分，，，，∴即，，如图2：设，则，，∵平分，∴，∵，∴，解得，∴18．（25-26七年级上·全国·期末）如图，钟表上显示的时间是时分．(1)时针与分针的夹角为．(2)设时针与分针的交点为，时针为，分针为，过点引一条射线，且平分，平分．①若在内部，且，则．②若在外部，且，则的度数为多少？【答案】(1)(2)①；②或【分析】本题主要考查了钟表角度的计算和角平分线的定义，首先需要计算时针与分针的夹角，其次根据角平分线的定义，计算不同情况下的度数．（1）根据时针每小时转过的角度计算即可得；（2）①当射线在内部时，由平分可知，，由平分可知，，即可得；②分为两种情况分析：（i）如图2所示，当射线在的外部，且时，，根据角平分线的定义可得，，，最后由即可得的度数；（ii）如图3所示，当射线在的外部，且时，，根据角平分线的定义可得，，，最后由即可得的度数．【详解】（1）时针每小时转过的角度为，时针与分针的夹角为．（2）①如图1所示，当射线在内部时平分，平分，，，；②分两种情况：（i）如图2所示，当射线在的外部，且时，，，，平分，，平分，，；（ii）如图3所示，当射线在的外部，且时，，，，平分，，平分，，，综上所述，的度数为或．

19．（24-25七年级上·吉林·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，．(1)如图1，若，，则_____．(2)如图2，若，，平分，求．(3)如图3，若与互余，也与互余，请在图3中画出符合