（人教A版）必修一高一数学上学期期末考点训练常考题型13 函数单调性的判断、证明与应用（解析版）

常考题型13函数单调性的判断、证明与应用1.增函数与减函数的定义前提条件设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I条件∀x1，x2∈D，x1<x2都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2)图示结论f(x)在区间D上单调递增f(x)在区间D上单调递减特殊情况当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数2.函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．考法一：函数单调性的判断或证明1.定义法(1)利用定义法证明函数单调性的步骤①取值，即设，是给定区间内的任意两个值，且<.②作差，即-(或-).③变形，即通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子.④判号，即确定-(或-)的符号，当符号不确定时，要进行分类讨论.⑤定论，即根据定义得出结论.其中第③步是关键，在变形中一般尽量将式子化为几个最简因式乘积或商的形式，且其中一定有因式-(或-).(2)常用的变形技巧:①因式分解：当原函数是多项式函数时，通常作差后进行因式分解.②通分：当原函数是分式函数时，作差后往往先进行通分，然后对分子进行因式分解.③配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方.④分子有理化：当原函数是含根式的函数时，作差后往往考虑分子有理化.(3)利用定义法证明函数的单调性还可以用作商法.2.图象法(1)如果给出函数图象(或函数的图象能画出)求单调区间，那么只需观察函数的图象，根据函数图象的升降趋势，便可直接写出函数的单调区间.(2)在探究函数的单调性并求单调区间问题时，常需要作出函数的大致图象，根据函数图象直观得出函数的单调区间，再利用定义法加以证明.3.利用已知结论(1)直接判断法：利用已知函数（如一次函数、二次函数、反比例函数等）的单调性，直接写出所求函数的单调区间.(2)转化后利用已知结论.：将所给函数适当地变形，转化为可以利用已知函数单调性的形式，再借助已知函数的单调性写出它的单调区间。4.性质法若函数，在区间D上具有单调性，则(1)当a>0时，a与有相同的单调性，当a<0时，函数a与有相反的单调性.(2)当函数恒为正(或恒为负)时，与有相反的单调性.(3)若≥0，则与具有相同的单调性.(4)在，的公共单调区间上，有如下结论+-增增增不确定增减不确定增减减减不确定减增不确定减(5)若，都是增(减)函数，①当>0，且>0时，•也是增(减)函数.②当<0，且<0时，•是减(增)函数.5.复合函数单调性的判断方法(1)对于复合函数，如果在(a，b)上是单调函数，并且在（，）或(，)上也是单调函数，则在(a，b)上的单调性为增增增增减减减增减减减增简记为“同增异减”.(2)若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定.若减函数有偶数个，则这个复合函数为增函数；若减函数有奇数个，则这个复合函数为减函数.(3)判断复合函数单调性的步骤①确定函数定义域.②将复合函数分解成，.③分别确定这两个函数的单调性.④确定复合函数的单调性.6.抽象函数单调性的判断方法判断或证明抽象函数单调性常用配凑法(1)根据所给等式及不等式的特征，将-凑出可用条件式来表达的式子，从而判断出的单调性.(2)常见的配凑方法如下①若已知条件中含，常进行如下变形-=f[(-)+]-.②若已知条件中含，常进行如下变形：-=-考法二：函数单调性的应用1.求参数或参数的取值范围：利用函数的单调性求参数或参数的取值范围的解题思路(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参.(2)根据函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，通过解不等式（组）求出参数的取值范围.2.比较函数值的大小比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题，能数形结合的尽量用图象法求解.3.解抽象不等式求解含“f”函数的不等式的解题思路:先利用函数的相关性质将不等式转化为>的形式，再根据函数的单调性去掉“”，得到一般的不等式>(或<).4.利用函数单调性可以求函数最值.(1)若函数在[a，b]上单调递增，则的最小值是，最大值是.(2)若函数在[a，b]上单调递减，则的最小值是，最大值是.(3)若在区间[a，b]上单调递增，在[b，c]上单调递减，则的最大值是，最小值是，中的较小者.(4)若在区间[a，b]上单调递减，在[b，c]上单调递增，则的最小值是，最大值是，中的较大者.探究一：求函数的单调区间函数的单调增区间是（

）A．和 B．和C．和 D．和思路分析：思路分析：由可得，即为偶函数，则当时，可得的单调区间，进而得到时，的单调区间，即可得到答案。【解析】解：由，则为偶函数，的图像关于轴对称.当时，，对称轴为，所以在上递增，在递减；则当时，在递增，在递减，则有的递增区间为.故选：C【答案】C【变式练习】1．函数的递减区间是（

）A． B．和C． D．和【答案】B【解析】当时，，，解得：，又为开口向下的抛物线，对称轴为，此时在区间单调递减，当时，，为开口向上的抛物线，对称轴为，此时在单调递减，综上所述：函数的递减区间是和.故选：B.2．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ax（a为常数）并且f（﹣1）＝﹣1，则f（x）的单调增区间是（

）A．（﹣∞，2]和[2，+∞） B．（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）C．[﹣2，2] D．[﹣1，1]【答案】D【解析】f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣1）＝﹣1，则即设则，，即当，根据复合函数单调性得到函数在上单调递增，函数为奇函数，故函数在上单调递增，故选：探究二：根据图像判断函数单调性设函数，则（

）A．的最大值为B．在上单调递增，在上单调递减C．的最小值为D．在上单调递增，在上单调递减思路分析：思路分析：作出函数的图象，逐项判断。【解析】函数的定义域为，其图象如下图所示：由图象知：A.无最大值，故错误；B.在上单调递增，在上单调递减，故正确；C.无最小值，故错误；D.在上单调递减，在上单调递增，故错误；故选：B【答案】B【变式练习】1．符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数：，则下列命题正确的是（

）A．函数的最大值为，最小值为 B．C．方程有无数个根 D．函数在定义域上是单调递增函数【答案】C【解析】作出函数的图象，对于A项，由图可知：函数无最大值，最小值为，故A错误，对于B项，，，所以，故B不正确，对于C项，方程的解为，故C正确，对于D项，在每一个区间上，函数都是增函数，但是在定义域上不是单调递增，故D错误．故选：C.2．下列函数中，在上为增函数的是A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A,函数的图象是抛物线，对称轴是x=2，当x<2时是减函数，x>2时是增函数，∴不满足题意；对于B,函数，∴当时，是增函数，x<1时，是减函数，∴满足题意；对于C,函数，当x<−1，x>−1时，函数是减函数，∴不满足题意；对于D,函数的图象是抛物线，对称轴是x=−1，当x>−1时是减函数，x<−1时是增函数，∴不满足题意；故选B.探究三：利用函数单调性求参数的值已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：先判断的单调性，然后对进行分类讨论，由此求得的取值范围。【解析】由于函数在定义域上单调递增，所以函数在定义域上是单调递增函数．当时，函数在定义域上不单调，不符合题意；当时，函数图象的对称轴为，当时，函数在区间上单调递减，不符合题意，当时，函数在区间上单调递增，要使函数在定义域上单调递增，则需，解得．故实数t的取值范围为．故选：A【答案】A【变式练习】1．已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】不妨设，则，根据题意，可得恒成立，即恒成立.令，则恒成立，所以函数在上单调递减.当时，在上单调递减，符合题意；当时，要使在上单调递减，则解得.综上所述，实数a的取值范围是.故选：D.2．若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的定义域是，而函数在区间上是减函数，因函数在区间上是减函数，则有，且，解得，所以实数a的取值范围是.故选：B探究四：利用函数单调性解不等式若函数在R单调递增，且，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．思路分析：思路分析：通过讨论化简不等式，结合函数的单调性解不等式即可。【分析】因为函数在R单调递增，且，所以当时，，不等式可化为，所以，当时，，不等式可化为，所以满足条件的不存在，当时，，不满足关系，所以满足的x的取值范围是，故选：D.【答案】D【变式练习】1．已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，在上单调递减，又为偶函数，，，，解得：或，的解集为.故选：D.2．已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为偶函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为函数为偶函数，则，故函数的图象关于直线对称，因为函数在上单调递增，故函数在上单调递减，因为，则，所以，由可得，由可得或，解不等式，可得或，解得或，故不等式的解集为.故选：D.探究五：利用函数单调性比较大小已知函数的定义域为R，满足，且当时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．思路分析：思路分析：根据函数单调性的定义判断出在上单调递减,再利用把转化为，最后利用的单调性判断即可。【解析】因为，所以，因此，即，所以在上单调递减，又因为，所以，又因为，所以，所以．故选：B．【答案】B【变式练习】1．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵当时，恒成立，∴当时，，即，∴函数在上为单调增函数，∵函数是偶函数，即，∴函数的图象关于直线对称，∴，又函数在上为单调增函数，∴，即，∴，故选：B．2．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：因为函数是偶函数，所以，因为在上是增函数，且，所以，即故选：D一、单选题1．已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：由题意，在上单调递减.则由可得，解得，即原不等式的解集为.故选：B.2．下列函数中，在上单调递增的函数是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：对于，是二次函数，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；对于，是幂函数，在上单调递增，符合题意；对于，是幂函数，在上单调递增，不符合题意；对于，，在区间上为减函数，不符合题意，故选：B3．已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是单调递减的，那么在上是（

）A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增【答案】A【解析】由函数是定义域为的偶函数，在上是单调递减的，可知在上单调递增，又，即2为函数的一个周期，故在上单调递增，故选：A4．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为对任意的，有，所以当时，，所以在上是减函数，又是偶函数，所以，，因为，所以，即．故选：D．5．已知函数，，，若存在，使得成立，则的取值范围为（

）A． B．C．或 D．【答案】D【解析】解：设任意的，且，，所以，即，所以在上单调递增，所以；因为，其对称轴为，所以根据二次函数的性质可得在可得到最小值，若存在，使得成立，只需，所以，解得，因为，所以的取值范围为，故选：D6．定义在上的函数满足，若的图像关于点对称，且函数在上单调递减，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为的图像关于点对称，由图像平移变换可知的图像关于原点对称，即为奇函数，令，则即也为奇函数，又函数在上单调递减，由对称性可知，在上递减，又因为，所以所以即所以，即解集为故选:A.7．已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因在上单调递增，在上单调递增，因此，函数在R上单调递增，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：C8．已知函数在区间，上都单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，其判别式，∴函数一定有两个零点，设的两个零点为，且，由，得，，∴，①当时，在上单调递减或为常函数，从而在不可能单调递增，故；②当时，，故，则，∵在上单调递增，∴在上也单调递增，，，由在和上都单调递增，且函数的图象是连续的，∴在上单调递增，欲使在上单调递增，只需，得，综上：实数的范围是.故选：D.二、填空题9．已知函数，且，，则函数的值域是______.【答案】【解析】解：因为，，所以，即，解得：所以，设且，所以，因为且，所以，所以，即，所以，即在上单调递减，所以，所以，函数的值域是故答案为：10．已知函数的增区间是，则实数a的值为___________.【答案】【解析】因为函数，故当时，单调递减，当时，单调递增.因为函数的增区间是，所以，所以.故答案为：.11．已知函数，若对于区间上任意两个不相等的实数，，都有，则实数a的取值范围为___________．【答案】【解析】由题意，的对称轴为，即或，或，故答案为：

.12．已知函数，则不等式的解集为______.【答案】【解析】解：因为定义域为，且，即为奇函数，又与在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增，则不等式等价为，即，解得，即不等式的解集为.故答案为：13．已知函数的单调增区间为_______．【答案】和.【解析】解析:时，，对称轴，开口向上，在递增，时，，对称轴，开口向下，在递增，函数的递增区间是和.故答案为：和.三、解答题14．已知是定义在上的偶函数，且时，且单调递增.(1)求函数的解析式；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）当时，，，又为上的偶函数，；.（2）在上单调递增，又为偶函数，关于轴对称，且在上单调递减；又，则由得：，解得：或，即实数的取值范围为.15．已知函数．(1)求证