广东省东莞市翰林实验学校2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试卷（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东省东莞市翰林实验学校2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．3．用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（）A． B．C． D．4．将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，能得到抛物线的是（

）A． B．C． D．5．某小区计划在一块长、宽的长方形空地上修建三条同样宽的道路(如图)，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是(

)A． B．C． D．6．已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定7．已知，是方程的两个实数根，则的值是(

)A． B． C． D．8．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（

）A． B．C． D．9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A． B．且C． D．且10．如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．方程的解为：．12．当时，函数是二次函数．13．若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为．14．如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则．15．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于x的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的是（填写序号）．三、解答题16．解方程：；17．已知：二次函数的图象经过点．(1)求b的值；(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；18．龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？19．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例：求代数式的最小值．解：，∵，∴∴当时，的最小值是4．(1)【类比探究】求代数式的最小值；(2)【灵活运用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形与长方形面积比为，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？20．已知关于的一元二次方程．(1)若方程有实数根，求的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值．21．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．(1)若火箭第二级的引发点的高度为，求出a，b的值；(2)在（1）问的条件下，火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．22．若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称这个方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如：“快乐方程”的两个根均为整数，其“快乐数”．若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．(1)“快乐方程”的“快乐数”为________；(2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”；(3)若关于x的一元二次方程与（m，n均为正整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出n的值．23．已知抛物线与x轴交于点A，B．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，抛物线与y轴交于点C，点P为线段上一点（不与端点重合），直线分别交抛物线于点E，D，设面积为，面积为，求的值．(3)如图2，点K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M，N，过抛物线顶点G作直线轴，点Q是直线l上一动点．求的最小值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《广东省东莞市翰林实验学校2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试卷》参考答案题号12345678910答案DBCBCCBBBC1．D【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是，是整式方程，进行分析，即可作答．【详解】解：A、方程，当时，方程变为，此时未知数的最高次数是，是一元一次方程；只有当时，它才是一元二次方程；由于题目中没有明确，所以不能确定它一定是一元二次方程；不符合题意；B、方程中，含有和两个未知数，不符合“只含有一个未知数”的要求，因此它是二元二次方程，不是一元二次方程，不符合题意；C、方程，因为分母中含有未知数，它是分式方程，而一元二次方程是整式方程，所以该方程不是一元二次方程，不符合题意；D、方程，整理后为，这个方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，同时它也是整式方程，完全符合一元二次方程的定义；符合题意；故选：D．2．B【分析】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式知识是解题的关键；本题直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．【详解】解：∵抛物线解析式为，∴顶点坐标是，故选：B3．C【分析】本题考查解一元二次方程的一般形式、公式法解一元二次方程，解答本题的关键是明确一元二次方程的一般形式．先将方程化为一般形式，然后即可写出、、，本题得以解决．【详解】解：，，，，，故选：C．4．B【分析】本题主要考查了函数图象平移的性质，解题的关键是掌握平移的性质．采用倒推的思想，利用平移的性质进行求函数解析式即可．【详解】解：由先向右平移1个单位长度后解析式为，再向上平移2个单位长度后解析式为，故选：B．5．C【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用平移和长方形的面积公式，列出一元二次方程即可．【详解】解：设道路的宽为，由题意，得：；故选C．6．C【分析】此题考查了二次函数的性质．把点的坐标代入函数解析式求出，，即可得到答案．【详解】解；∵点和点在二次函数的图象上，∴，，∴，故选：C7．B【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程(a≠0)的两根，则，．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系内容是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系可得，，将代数式化简，再代入，即可得出答案．【详解】解：∵，是方程的两个实数根，，∴，，∴．故选：B．8．B【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题的关键．由图知抛物线与x轴交于点，代入，求出m的值，再解方程即可．【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点，将代入，得，∴，∴原方程为，解得：；故选：B．9．B【详解】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，可知Δ＞0，进一步求解即可．解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，且解得：且．故选：B．10．C【分析】本题考查了菱形的性质，动点问题与函数图象，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键．先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值．【详解】解：四边形是菱形，，，．如图1，当点N在上运动时，，．过点M作于点E．在中，，．．当点N在点C时，，即．解得（负值已舍）．．如图2，当点N在上运动时，，．过点N作于点H．在中，，．．当时，．解得，（不符合题意，舍去）．．故选：C．11．，【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，理解因式分解法解方程的依据是关键．首先把方程移项，把方程的右边变成0，然后对方程左边分解因式，根据几个因式的积是0，则这几个因式中至少有一个是0，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解．【详解】解：移项得：，即，于是得：或，则方程的解为：，．故答案为：，．12．【分析】本题考查根据二次函数的定义求字母的值，二次函数中未知数的最高次数是2，二次项的系数不能为0，由此列式求解即可．【详解】解：由题意知，解得，又，，，故答案为：．13．【分析】本题考查了一元二次方程的解；根据一元二次方程解的定义求出，然后整体代入计算即可．【详解】解：把代入得：，∴，∴，故答案为：．14．【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离．【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．设抛物线解析式为：，把点代入得：，解得：，∴抛物线解析式为：；当时，，解得，（舍去），，即此次实心球被推出的水平距离为．故答案为：15．②③④【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴，即可判断①，根据，两点之间的距离大于，即可判断②，根据抛物线经过得出，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴，解不等式，即可求解．【详解】解：∵（a，b，c是常数，）经过，两点，且．∴对称轴为直线，，∵，∴，故①错误，∵∴，即，两点之间的距离大于又∵∴时，∴若，则，故②正确；③由①可得，∴，即，当时，抛物线解析式为设顶点纵坐标为∵抛物线（a，b，c是常数，）经过，∴∴∴∵，，对称轴为直线，∴当时，取得最大值为，而，∴关于x的一元二次方程无解，故③正确；④∵，抛物线开口向下，点，在抛物线上，，，总有，又，∴点离较远，∴对称轴解得：，故④正确．故答案为：②③④．16．，【分析】本题考查了解一元二次方程，运用配方法进行解方程，即可作答．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，解得，．17．(1)(2)，【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的对称轴和顶点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握求二次函数解析式的方法．（1）直接把点代入到二次函数解析式中进行求解即可；（2）根据（1）所求把二次函数化成顶点式进行求解即可．【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，∴，∴；（2）∵，∴二次函数解析式为，∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线．18．(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为(2)该品牌头盔每个售价应定为50元【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意，得解得（不合题意，舍去）答：设该品牌头盔销售量的月增长率为．（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得整理，得解得因尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去．所以．答：该品牌头盔每个售价应定为50元．19．(1)当时，的最小值为3(2)当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为【分析】本题考查了配方法求代数式极值中的应用，二次函数的应用．解题的关键是正确配方，识别完全平方项的非负性，根据不等式的性质求解．（1）将原式配方，，根据，再根据不等式的性质求解即可．（2）设，由长方形与长方形面积比为，得到，根据栅栏总长度和面积比建立方程，通过配方，利用不等式的性质求最大值．【详解】（1）解：，∵，∴，∴当时，的最小值为3；（2）解：设，则，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴当时，最大，最大值为48，∴当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．20．(1)(2)【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程．（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围；（2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出实数的值，即可求出，，代入即可得答案．【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，，解得：，实数的取值范围为．（2），是关于的一元二次方程的两实数根，，．，，，，即，解得：或，当时，方程变为，，不符合题意，舍去，当时，方程变为，，，，．21．(1)，；(2)【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．（1）将代入抛物线和直线，即可求出a，b的值；（2）将变为，即可确定顶点坐标，即最高点，由比火箭运行的最高点低，得出，进而对应的x的值，然后进行比较，再列式计算即可．【详解】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为，∴抛物线和直线均经过点，∴，，解得，．（2）解：由（1）知，，∴∴最大值，当时，则解得，又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为．∴不合题意舍去；∴当火箭第二级高度时，在第二次级解得∴这两个位置之间的距离．22．(1)(2)m的值是0，该方程的“快乐数”是(3)n的值为3【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，熟练掌握题目中“快乐方程”，“快乐数”的定义是解题的关键．（1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”；（2）先计算，根据“快乐方程”的定义，此为完全平方数，根据，得到，即可求出的值为16或25，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”；（3）关于x的一元二次方程是“快