广西南宁市银海三雅学校2025-2026学年高三上学期综合模拟训练一（9月月考）数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广西南宁市银海三雅学校2025-2026学年高三上学期综合模拟训练一（9月月考）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．2．在复平面内，对应的点位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（

）A．的值为0.015 B．估计这组数据的众数为80C．估计这组数据的第60百分位数为87 D．估计成绩低于80分的有350人4．设x，y为正数，则的最小值为（

）A．6 B．9 C．12 D．155．若，则等于（

）A． B．2 C． D．6．如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．若，，，则（

）A． B． C． D．8．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（

）A．的坐标为 B． C． D．10．已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（

）A．是等差数列 B．C． D．有最大值11．如图，在圆锥SO中，AC为底面圆O的直径，B是圆O上异于A，C的一点，，，则下列结论中一定正确的是（

）A．圆锥的体积为B．圆锥的表面积为C．三棱锥的体积的最大值为D．存在点B使得直线SB与平面SAC所成角为三、填空题12．已知向量满足，则.13．已知圆心为的圆经过、两点，且圆心在直线上.则圆的标准方程为.14．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为．四、解答题15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求角A的大小；(2)若的面积为，求的值；16．在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．17．前几年随着网购的普及，线下零售遭遇挑战，但随着新零售模式的不断出现，零售行业近几年呈现增长趋势，下表为2021～2024年百货零售业的销售额（单位：亿元，数据经过处理，1～4分别对应2021～2024年）年份代码1234销售额95165230310(1)建立关于的回归方程，并预测2025年我国百货零售业的销售额；(2)从2021～2024年这4年的百货零售业销售额及2025年预测销售额这5个数据中任取2个数据，求这2个数据之差的绝对值大于200亿元的概率．参考数据：，参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为18．已知椭圆过点两点，椭圆的离心率为，为坐标原点，且.(1)求椭圆的方程；(2)设P为椭圆上第一象限内任意一点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，求证：四边形的面积为定值.19．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，，求的取值范围；(3)判断与的大小，并证明．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《广西南宁市银海三雅学校2025-2026学年高三上学期综合模拟训练一（9月月考）数学试题》参考答案题号12345678910答案CACBCACBBDAB题号11答案AC1．C【分析】根据是的子集列方程，由此求得的取值集合.【详解】由于，所以，解得所以实数的取值集合为.故选：C.2．A【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.3．C【分析】利用频率分布直方图的性质可判定A，利用众数、百分位数的求法可判定B、C，根据频率分布直方图计算可估计总体判定D.【详解】易知，解得，所以A错误；由频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数即85，所以B错误；由频率分布直方图可知前两组频率之和为，前三组频率之和为，故第60百分位数落在区间，设第60百分位数为，则，解得，所以C正确；成绩低于80分的频率为，所以估计总体有，故D错误.故选：C.4．B【分析】根据基本不等式进行求解即可.【详解】，因为x，y为正数，所以（当且仅当时取等号，即当时取等号），因此，故选：B5．C【分析】化简原式为即得解.【详解】解：原式.故选：C6．A【分析】先求出异面直线与所成的角，再由余弦定理求解即可.【详解】如图，取的中点为的中点为的中点为，连接，易知，则，又，所以为异面直线与所成的角或其补角．因为，所以，故异面直线与所成角的余弦值为，故选：A．7．C【分析】根据给定条件，利用指对数函数性质、正弦函数性质，借助媒介数比较大小即可.【详解】因为，，，所以.故选：C8．B【分析】根据函数有两个极值点，则有两个变号零点，即有两个不同的交点，令，用导数法得到其图象，利用数形结合法求解.【详解】因为函数，所以，因为函数有两个极值点，所以有两个变号零点，有两个不同的交点，令，所以，当时，，当时，，所以当时，，如图所示：则，解得，所以实数的取值范围为.故选：B【点睛】本题主要考查导数与函数的极值点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.9．BD【分析】直接由抛物线方程得焦点坐标及其准线方程可判断A，由抛物线定义可判断BC，由两点间距离公式可判断D.【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线方程为，故A错误；对于BC，由抛物线定义可得，所以，，解得，故B正确C错误；对于D，，故D正确.故选：BD.10．AB【分析】由与的关系求出数列的通项，从而可判断AB，根据数列性质可判断C，根据前项和的函数性质可判断D.【详解】当时，，当时，，符合，故，所以，，所以数列是等差数列，首项为，公差，A正确；，B正确；因为公差，所以数列是递减数列，所以，C错误；，易知当或时，有最大值，D错误.故选：AB11．AC【分析】根据锥体的体积、表面积公式判断A、B、C，过作于，连接，则为直线与平面所成角，求出的最大值，即可判断D；【详解】解：圆锥的体积为，故A正确，圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为，底面面积为，故圆锥的表面积为，故B错误，当时，三棱锥的体积最大，此时为，故C正确，过作于，显然底面，所以，，平面，所以平面，连接，∴为直线与平面所成角，由为定值，∴当时与平面所成角最大，此时，所以，即，故D错误．故选：AC12．【分析】根据向量坐标的线性运算和向量的模的公式计算即得.【详解】由，两式相加，可得,即,两式相减，可得,即.故.故答案为：.13．【分析】设圆心，根据结合两点间的距离公式求出的值，再求出圆的半径，即可得出圆的标准方程.【详解】因为圆心在直线上，设圆心，由可得，解得，则，所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.故答案为：.14．2.【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率.【详解】如图，

由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．15．(1)(2)【分析】（1）根据余弦定理边角互化即可求解，（2）根据面积公式，结合题中条件即可求解.【详解】（1）由可得，故，由于,故，（2）由，故，又得，故，故，16．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面.（2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.【详解】（1）取的中点为，连接.因为，，则，而，故.在正方形中，因为，故，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，故平面，因为平面，故平面平面.（2）在平面内，过作，交于，则，结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.则，故.设平面的法向量，则即，取，则，故.而平面的法向量为，故.二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.17．(1)，377.5(2)【分析】（1）由最小二乘法即可求解，（2）列举所有情况，即可根据古典概型的概率公式求解.【详解】（1）由题意可知，故故，故关于的回归方程为，当时，.（2）从2021～2024年这4年的百货零售业销售额及2025年预测销售额这5个数据中任取2个数据，所有的情况有共有10种情况，则这2个数据之差的绝对值大于200亿元的有，共有3种情况，故概率为18．(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据离心率和可解得，可写出椭圆的方程；（2）设分别求出直线，的方程并解出的坐标，可得四边形的面积.【详解】（1）根据题意可知，又，即可得，结合，解得；即椭圆的方程为.（2）证明：由（1）可知，如下图所示：

设，且；易知直线的斜率，所以的直线方程为；同理直线的斜率，所以的直线方程为；由题意解得；所以可得，四边形的面积又，可得，故，即四边形的面积为定值.19．(1)答案见解析(2)(3)，证明见解析【分析】（1）求出函数的定义域，求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；（2）当时，由可得或，利用参变量分离法可得出或对任意的恒成立，利用导数求出相应函数的最值，即可求得实数的取值范围；（3）由（1）可知当时，，则，然后利用不等式的可加性可得出与的大小关系.【详解】（1）解：函数的定义域为，.当时，对任意的，，此时函数的减区间为；当时，方程在时的解为，由可得，由可得，此时，函数的减区间为，增区间为.综上所述，当时，函数的减区间为；当时，函数的减区间为，增区间为.（2）解：当时，由可得或.若对任意的恒成立，则，令，其中，则，令，其中，则，所以，