重庆市西北狼教育联盟2025-2026学年高二上学期开学学情诊断数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页重庆市西北狼教育联盟2025-2026学年高二上学期开学学情诊断数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，，若与共线，则（

）A．3 B． C． D．3．在中，角对边分别为，若，那么的面积为（

）A． B． C． D．4．高一某班10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.这组数据的第75百分位数是（

）A．85 B．86 C．85.5 D．86.55．已知，是两个不同的平面，，为两条不重合的直线，则下列命题中正确的为（

）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则6．如图，在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B．C． D．7．在中，是边上的点，且，则（

）A． B． C． D．8．如图，三棱锥的底面的斜二测直观图为，已知底面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知向量，，则（

）A． B．若，则C． D．向量在向量上的投影向量为10．有一组样本数据1，2，3，4，5，现加入两个正整数，构成新样本数据，与原样本数据比较，下列说法正确的是（

）A．若平均数不变，则 B．若极差不变，则C．若，则中位数不变 D．若，则方差不变11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵中，，且．下列说法不正确的是（

）A．四棱锥为“阳马”、四面体为“鳖臑”B．若平面与平面的交线为，且与的中点分别为M、N，则直线CM、、相交于一点C．四棱锥体积的最大值为D．若F是线段上一动点，则AF与所成角的最大值为90°三、填空题12．雅言传承文明，经典浸润人生，南宁市某校每年举办“品经诵典浴书香，提雅增韵享阅读”中华经典诵读大赛，比赛内容有三类：“诵读中国”、“诗教中国”、“笔墨中国”．已知高一、高二、高三报名人数分别为：100人、150人和250人．现采用分层抽样的方法，从三个年级中抽取25人组成校代表队参加市级比赛，则应该从高一年级学生中抽取的人数为．13．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是．

14．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，设是的高，则的范围为．四、解答题15．已知复数，且为纯虚数.(1)求复数；(2)若复数，求复数的模.16．为增强职工身体素质，某企业鼓励职工积极参加徒步活动.为了解运动情况，企业工会从该企业职工中随机抽取了100名，统计他们的日均运动步数，并得到如下频率分布直方图：(1)求图中的值；(2)估计该企业职工日均运动步数的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）(3)若该企业恰好有的职工的日均运动步数达到了企业制定的“优秀运动者”达标线，试估计该企业制定的“优秀运动者”达标线.17．如图，在长方体中，，和交于点E，F为AB的中点．

(1)求证：平面；(2)已知与平面所成角为，求点A到平面CEF的距离．18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角B；(2)如图，的角平分线交于点D，且，，（i）求的长度；（ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值．19．正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接．(1)求证：：(2)当时，求二面角的正弦值；(3)设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．《重庆市西北狼教育联盟2025-2026学年高二上学期开学学情诊断数学试题》参考答案题号12345678910答案DDBBCDABACDAC题号11答案ABD1．D【分析】利用复数的性质求出对应的点的坐标，由此即可求解.【详解】在复平面内对应的点为，其位于第四象限．故选：．2．D【分析】利用向量共线的坐标表示，列方程即可求解.【详解】因为向量，，与共线，所以，解得，故选：D.3．B【分析】利用余弦定理建立方程求出，再利用三角形面积公式求解面积即可.【详解】在中，由余弦定理得，解得或（舍去），由三角形面积公式得，故B正确.故选：B4．B【分析】把数据从小到大的顺序排列，然后用百分位数的定义求解.【详解】从小到大的顺序排列数据为：76，81，82，82，83，84，85，86，87，90，因为，所以这组数据的75百分位数是第八个数据86.故选：B【点睛】本题主要考查总体百分位数的估计，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5．C【分析】根据线线、线面、面面平行或垂直的判定与性质定理进行判断即可．【详解】解：因为，是两个不同的平面，，为两条不重合的直线，对于A：若，，，则或或或与相交（不垂直），故A错误；对于B：若，，，则或与相交，故B错误；对于C：若，，，面面垂直的判定可知，故C正确；对于D：若，，，则或与相交，故D错误；故选：C6．D【分析】设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解直线与所成的角即可．【详解】解：设正方体的棱长为2，如图所示建立空间直角坐标系，则，0，，，1，，，2，，，2，，则所以，所以异面直线与直线所成角的余弦值为，故选：．7．A【分析】设，在中，由余弦定理求出，利用平方关系求出，在中再由正弦定理可得答案.【详解】设，则，，在中，由余弦定理得，因为，所以，，在中，由正弦定理得，即.故选：A.8．B【分析】首先根据直观图还原实际图形，再利用补体法求三棱锥外接球的半径，即可求解.【详解】由题意可知在斜二测直观图中，，，则，，，由斜二测画法可得，在中，，，.在三棱锥中，因为底面，且，所以可将三棱锥补成相邻的三条侧棱分别为6，4，8的长方体，则三棱锥的外接球即为该长方体的外接球，长方体的体对角线即为外接球的直径，则外接球的半径，故三棱锥外接球的表面积.故选：B9．ACD【分析】借助模长公式可得A；借助向量垂直数量积为零计算可得B；借助向量坐标运算可得C；借助投影向量公式计算可得D.【详解】对于A：，故A正确；对于B：，由，得，则，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：因为，，则向量在向量上的投影向量为，故D正确；故选：ACD．10．AC【分析】根据平均数、极差、中位数和方差的定义判断.【详解】若平均数不变，则，解得，故A正确；当时，极差不变，但，故B错；若，则为或或，每一种情况对应的中位数都是3，故C正确；原数据的平均数为3，原数据的方差为，新数据的平均数为3，新数据的方差为，当且仅当时等号成立，所以方差有可能改变，故D错.故选：AC.11．ABD【分析】分析图中的平行垂直关系，按照“阳马”，“鳖臑”的定义判断，理解异面直线的夹角的最大值为.【详解】由题意可知，，平面，平面，平面，四棱锥是“阳马”，又，是直角三角形，显然是直角三角形，是直角三角形，

，∴也是直角三角形，∴四面体是“鳖臑”，A正确；由题意可知，MN是的中位线，，即MN与共面，，连接CM和并延长，必交于一点P，则有平面，平面，平面平面=l，，故B正确；设BC=m，AC=n，则有，四棱锥的体积，当且仅当m=n时成立，即四棱锥的体积的最大值为，故C错误；过点A作的垂线，得垂足H，平面，平面，，平面，即，即当F点与H点重合时，异面直线AF与的夹角可以取到，故D正确；故选：ABD.12．5【分析】根据分层抽样的性质运算求解.【详解】根据题意可得：高一、高二、高三报名人数之比为，故从高一年级学生中抽取的人数为.故答案为：5.13．2【分析】建立直角坐标系，由已知条件可得的坐标，进而可得向量的坐标，由数量积的坐标运算可得数量积.【详解】建立如图所示的坐标系，

由图可得，，，，，即有．即，，则．故答案为：2．14．【分析】根据题意，由正弦定理可得，再由余弦定理以及基本不等式可得AM的最大值为，从而得到结果.【详解】由题意有：，由正弦定理可得：，即，又，所以，又，所以，由余弦定理，有，即，即，当且仅当时取等号，因为，所以，所以AM的最大值为．当B或C趋近于时，AM趋近于．故答案为：15．(1)(2)【分析】（1）运用纯虚数概念，结合乘法计算即可；（2）运用模长公式，结合除法和共轭复数知识求解.【详解】（1）由题意得，是纯虚数，，，（2）.16．(1)(2)(3)【分析】（1）由频率和为1列式求解；（2）（3）由频率分布直方图数据求解即可.【详解】（1）由频率分布直方图得，解得．（2）设平均数为，则．所以该企业职工日均运动步数的平均数约为9.08千步．（3）日均运动步数在的频率为，日均运动步数在的频率为，日均运动步数在的频率为，所以达标线位于内，则达标线为为，解得，该企业制定的优秀强国运动者达标线是千步.17．(1)证明见解析(2)1【分析】（1）通过等体积法即可证明即可证明线面平行；（2）求出和的面积，即可求出点A到平面CEF的距离.【详解】（1）由题意证明如下，连接，，．

在长方体中，且，∴四边形为平行四边形．∴E为的中点，在中，E，F分别为和AB的中点，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）由题意，与平面所成角为．连接．

∵长方体中，所以．所以．∵长方体中，平面，平面，∴．∴为直线与平面所成角，即．故∴为等腰直角三角形，则．在中，

知．在中，

，，∴，∴，设点A到平面CEF的距离为h．由知，，得．∴点A到平面CEF的距离为1．18．(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出即可得解.（2）（i）根据角平分线性质和三角形面积的分割关系列出等式，求解BD的长度.（ii）易知为向量的夹角，利用中线向量运算得，结合角平分线定理利用向量线性运算得，然后利用平面向量的夹角公式求解余弦值即可.【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，而，所以.（2）（i）已知的角平分线交于点D，则，又在中，，即，即，解得.（ii）因为为的中线，所以，又，则，因为，为的角平分线，在中，因为，得到①，在中，因为，得到②，又，由①②得到，所以，因为，所以，即的余弦值为.19．(1)证明见解析(2)(3)不存在，使得能取得最大值，理由见解析【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，即可求证.（2）根据二面角的几何法可得即为二面角的平面角，即可由三角形的边角关系求解，（3）理由等体积法