河北科技师范学院线性代数1B卷答案

2010—2011学年度第二学期农机、电气、电子、机制、网络、土木工程、

工管、物理、计算机、工管接本、机制接本专业

线性代数I试卷（B卷）答案

一.选择题（每小题5分，共25分）

1.设4为〃阶矩阵，且发二£,则有（A）

A.A]=A：B.A1=E;C.A=E：D.A=—Eo

2、'10

2.设4=，B=，若存在可逆阵P，O,使得B4Q=B,则（D）

a6）17

A.a=2；B.〃w2；C.〃=3；D.。工3.

3.设向量即%,%线性相关，线性无关，则（c)

A.%能由。2线性表示；B.能由。1，a?,%线性表示；

C.能由%，%线性表示；D.四,。2，%，。4线性无关；

设A=（A，4，A）是4x3矩阵，b是4维列向量，若A，4线性无关，

4=-4+24，4=24+4—4，则方程组从¥二），的通解（B)

11I，2、2、1(\'2、

A.-2+b；B.k+1C.k1+-2D.k、—2+&1

1-11

7<1;7/

700、

5.二次型X023X的秩为（A)

35>

A3B2CD0

11、q2、

二.设4=03-1,B=03解矩阵方程AX=2X+8。（13分）

15,<3-2;

答案：方程变形为（A—2石）X=3,所以，X=（A-2E）-iB

111)

因为A-2E=01-1,

113J

11112、\1112

1

01-103G01-103—r

2-

1133-2、()022-4/

11112(\004、1003

01-10301011r\~r201011

0011弓+G0011-2J0011-2J

3

所以X=1I

-2J

a+1

b+l11

三.设obcdwO,计算4阶行列式。=的值。（12分）

11c+11

111。/+1

答案:

。+11

1/?+1

D=

11

11

.aaa,

67+14--+—+—111

bed

0b00=1+47+—+—+—bed

c01bed)

00

000d

四.己知向量组用,2,53线性无关，且用=/一%，凤=2%,凤=。|一名+3砥。

证明向量组瓦A，A线性无关。32分）

答案：设女园+&河+岛4=0,即

4（1一&3）+%2（%3）+《（1一%+34）=。

整理得（匕+&）1-占%+（-4+2&+3占）氏=0

k\+占=。

由于用，12,2线性无关，故有（—女3=0

一攵］+2攵2+3k3=0

101

系数行列式0=（）0-1=2。（），由克拉默法则，方程组有唯一零解：

-123

匕=&=e=0，所以瓦A，A线性无关。

X+尤2+2刍+3x4=1

五.求线性方程组《分)

3玉+5X2+10X3+7X4=5的通解。(18

%1-5&-10x3+9X4=-5

(\1231

答案:A=351075

1-5-109-5

7

乃-3/j11231)1123n

丐+32

GF024-22024-22

0-6-126000001

1123110040

012-11012-11

0000000000

77

方程组的基础解系存在，且基础解系中含有2个解向量。原方程组等价于

":"4%,令自由未知量占=%=0,得方程组一个特解〃=(0,1,0,0)、

x2=-2X3+x44-1

行十，分别令玉=1x,=0

原方程组对应的齐次方程组等价于3,,代入同

X2=-2X3+x4x4=0Z=1

再=0x,=—4

解方程组得《1,则得对应齐次方程组的基础解系为:

x2=-2x2=1

J=(0,-2,l,0)「，^=(-4,1,0,1),

所以原方程组的通解为&=攵g+&刍+，7自为任意常数)。

六.设二次型

f(xl9x2,x3)=2x；+x；+4X2X3

1、写出此二次型的系数矩阵A。

2、用正交变换工=尸》将此二次型化为标准形，并求所用的正交变换矩阵P。(20分)

00

答案：答案：1、系数矩阵为同-012

<0217

2-200

2、det(2E-A)=0A—l-2=(2+1)(2-2)(2-3)

0-2A—1

得A的特征值为4=—1,4=2,4二3。则化为标准形为/=一犬+2£+3或。

对于％=-1,解齐次方程组(-E-A)x=O,对系数矩阵做初等行变换

「-300](100、

(-E-A)=0-2一2-()11

、()3

x,=0

1—E—A)x=0等价于令&二1得。=(0,-l,l)T单位化得

%=一七

Z=(0,£，9)T；同理可得4=2,4=3对应的特征向量分别为

£=(i,o,o)丁/=(o,U尸单位化得%=(i,o,01,%=(o,专，专产