【数】二元一次方程组的运用古题今解课件+2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第五章

二元一次方程组5.3二元一次方程组的运用（古题今算）01教学目标会用二元一次方程组解决实际问题。01在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实世界。02经历和体验方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识，培养学生的解决问题的能力。0302复习旧知1.解二元一次方程组的方法？2.解方程组：2x+4y=94x+y=353.甲数是乙数的2倍，甲数与乙数的和是12，则甲乙两数分别是多少？03古题导入《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题”雉兔同笼”流传尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国.03古题导入“鸡兔同笼”题为:

今有鸡兔同笼,

上有三十五头,

下有九十四足,

问鸡兔各几何?说一说：已知条件是什么？所求问题是什么？隐藏了什么条件？

你能用小学学过的知识解决这个问题吗？03古题导入假设全部是鸡，则：35×2=70，94-70=244-2=2

兔子只数24÷2=12，鸡的只数35-12=23所以兔子12只，鸡23只。假设全部是兔子，则：35×4=140，140-94=464-2=2

鸡只数46÷2=23，兔子只数35-23=12所以兔子12只，鸡23只。04新知探究探究一应用二元一次方程组解古算题等量关系：鸡头+兔头=35,鸡脚+兔脚=94.足头总数解：设笼中有鸡x只、兔y只35942xxy4y04新知探究解：设笼中有鸡x只、兔y只，根据以上分析，得方程组x+y=352x+4y=94解这个方程组，得x=23y=12所以笼中有鸡23只、兔12只。04尝试与思考

列方程求解：若甲从乙出得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有的第纳尔是乙的5倍，若乙从甲出得到5第纳尔（货币单位），则乙拥有的第纳尔是甲的5倍，甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？（选自意大利数学家斐波那奇《计算之书》）解：设甲原来拥有X第纳尔,乙原来拥有y第纳尔,依题意得x+7=5（y-7）5(x-5)=（y+5）

解得：x=8y=10答：甲原来有8第纳尔，乙原来有10第纳尔.05典例精析例题1：今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱，多乙余钱五倍，乙得甲十钱，适等，问甲、乙各怀钱几何？（选自《张丘建算经》）题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余钱数多5倍，如果乙得甲的10钱，那么两人的钱数相等，问甲、乙各带了多少钱？数量关系：甲+10=6（乙-10）

甲-10=乙+1005典例精析解：设：甲带的钱数是x,乙带的钱数是y.依题意得x+10=6(y-10)x-10=y+10解得x=38y=18所以甲带的钱数是38钱,乙带的钱数是18钱.03典例精析

例题2：以绳测井若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.

绳长、井深各几何？题目大意：用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？等量关系03典例精析解：设绳长x尺，井深y尺，依题题意得x3x4-y=5,①-y=1.②解得：x=48,y=11.｛答：绳长48尺，井深11尺.

03典例精析

列方程组解古算题：例题3、“今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金八两。牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共价值10两“金”。2头牛、5只羊共价值8两“金”。每头牛、每只羊各价值多少“金”？5头牛钱＋2只羊钱＝10两2头牛钱＋5只羊钱＝8两等量关系03典例精析解：设牛值x两，羊值y两,依题意得

5x＋2y＝102x+5y＝8x=y=解得答：羊值“金”两，牛值“金”两。

知识要点1（1）审题，找两个等量关系；

（2）设两个未知数，（3）根据等量关系列方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答.列二元一次方程组解应用题的基本步骤04课堂练习【知识技能类作业】必做题：1．根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物．大马说：“把我驮的东西给你1包多好哇！这样咱俩驮的包数就一样多了．”小马说：“我还想给你1包呢！”大马说：“那可不行！如果你给我1包，我驮的包数就是你的2倍了．”小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题．设未知数x，y，已经列出一个方程x﹣1＝y+1，则另一个方程应是（）A．x+1＝2yB．x+1＝2（y﹣1）C．x﹣1＝2（y﹣1）D．y＝1﹣2xB04课堂练习【知识技能类作业】必做题：2.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列出方程组为

.3.用一根绳子围绕一个大树，若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3尺。这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？只列方程组.

4.甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.设甲速为x米/秒，乙速为y米/秒，则可列方程组为

.x+y=106x+8y=683x+4=y4x-3=y5x=5y+104x=6y04课堂练习【知识技能类作业】必做题：5、古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：隔壁听到人分银，不知人数不知银.只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银？解：设人数为x人，银两为y两，依题意得5x=y-66x=y+5解得x=11y=61答：人数为11人，银两为61两。04课堂练习【知识技能类作业】必做题：6、有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？解：树上鸽子数为x只，树下鸽子数为y只，依题意得解得：x=7y=5答：树上鸽子数为7只，树下鸽子数为5只，y-1=(x+y)×x-1=y+104课堂练习【知识技能类作业】选做题：7.《增删算法统宗》提到：“今有布绢三十疋，共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何?……”其大意是：今有绢与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，问绢与布各有多少．设绢有x疋，布有y疋，依据题意可列方程组为()A.B.C.D.B04课堂练习【综合拓展类作业】8、已知某电脑公司有A型，B型，C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由。04课堂练习【综合拓展类作业】{解：设从该电脑公司购进A型电脑x台，B型电脑y台，购进C型电脑Z台，则可分以下三种情况考虑：不合题意，应该舍去.（2）只购进A型电脑和C型电脑，根据题意：（3）只购进B型电脑和C型电脑，根据题意：答：有两种方案供校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台.（1）只购进A型电脑和B型电脑，根据题意：解得{解得{{解得{{05课堂小结列二元一次方程组解应用题的基本步骤（1）审题，找两个等量关系；

（2）设两个未知数，（3）根据等量关系列方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答.06作业布置【知识技能类作业】必做题：1．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”用你所学知识可知笼中有（

）A．12只鸡，23只兔 B．23只鸡，12只兔

C．15只鸡，20只兔 D．20只鸡，15只兔2．我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有数目是（

）A．44 B．45 C．46 D．47BC06作业布置【知识技能类作业】必做题：3．我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为

.4、用卖2头牛的钱买4只羊，剩钱400；用卖3头羊的钱买1头牛，剩钱300。问每头牛或羊的价钱分别是多少？设每头牛价钱x，每头羊价钱y,依题意得.x=y+50.5x=y-52x=4y+4003y=x+30006作业布置【知识技能类作业】必做题：5、有几个人一起买一件物品，每人出8元多3元；每人出7元，少4元.问有

人,该物品价值

元.6、100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉一片瓦，有

匹大马、

匹小马.7、如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长是

cm,宽是

cm.753257560提示：从图中可以知道长是宽的3倍154506作业布置【知识技能类作业】必做题：8.《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1．图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为

类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为

.3x+2y=114x+3y=262x+3y=233x+4y=3706作业布置【综合拓展类作业】9、某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？(2)目前有190吨货物需要运输，该