广西南宁市北湖北路学校2025-2026学年上学期10月月考九年级数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广西南宁市北湖北路学校2025-2026学年上学期10月月考九年级数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．剪纸文化是中国的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．2．南宁快速公交首条西起南宁火车站，东至南宁东站，全长约为米．其中数据用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．3．如图，一块含角的直角三角板ABC的直角顶点A在直线DE上，且BC//DE，则等于（）A． B． C． D．4．下列计算正确的是（

）A． B．2C． D．5．把不等式的解集在数轴上表示，正确的是（

）A． B．C． D．6．如图，点在上，若，则的度数为（

）A． B． C． D．7．某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占30%，期末卷面成绩占70%．小明的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是（

）A．80分 B．82分 C．84分 D．87分8．抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得到的抛物线解析式为（

）A． B．C． D．9．下列关于抛物线的说法错误的是（

）A．开口向上B．对称轴是直线C．当时，随的增大而减小D．顶点坐标为10．电影《哪吒之魔童降世》上映以来，全国票房连创佳绩，据不完全统计，第一天的票房约4亿元，以后每天的票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入约达30亿元，将增长率记作，则方程可以列为（

）A． B．C． D．11．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（

）A． B． C． D．12．如图所示的是二次函数的部分图像，图像过点且对称轴为直线．下列结论：；②；③；④对于任意实数都成立．其中，正确的序号有（

）A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④二、填空题13．若代数式有意义，则实数的取值范围是．14．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转得到，则的度数是．15．关于x的方程有实数根，则m的取值范围是．16．如图，直线与抛物线交于，两点，则关于x的不等式的解集是．三、解答题17．计算：(1)；(2)18．如图，在平面直角坐标系中，每个正方形小方格的边长都是一个单位长度，的三个顶点，均在格点上．(1)画出与关于原点对称的，并写出点的坐标．(2)连接、，判断四边形形状（不必说明理由）．19．如图，在中，点D在边上，，将线段绕点A逆时针旋转到的位置，使得，连接，交于点F．(1)求证：；(2)若，求的度数．20．如图，四边形内接于，为的直径，．(1)试判断的形状，并给出证明；(2)若，，求的长度．21．老友粉是广西南宁最具代表性的传统小吃之一，它以“酸、辣、鲜、香”著称，汤底浓郁，米粉爽滑，配料丰富，深受当地人喜爱．某超市老友粉进价为每件40元，经过一段时间的销售后发现：当老友粉的售价为每件60元时，每个星期可以售出300件，且售价每降价1元，每个星期可多售出20件．(1)当每件老友粉降价5元时，每个星期可以售出___________件．(2)为使每个星期老友粉销售利润达到5000元，且让客户得到实惠，每件老友粉的售价应为多少元？(3)超市要想每个星期销售老友粉获得最大利润，每件老友粉的售价应为多少元？最大利润是多少元？22．阅读与思考下面是小悦同学的学习笔记，请阅读下列材料，并完成相应的任务．“减半”矩形【概念理解】在几何中，矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，大家对它们的性质非常熟悉．这里我们介绍一种图形“减半”矩形．给定一个矩形，若存在另一个矩形，使它的周长与面积分别是给定矩形的周长与面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形的周长为，面积为，矩形ABCD的周长为，面积为，所以矩形是矩形的“减半”矩形．【解决问题】问题1：当矩形的长与宽分别是与时，则它对应的“减半”矩形的周长为▲．问题2：已知矩形的面积为，矩形是矩形的“减半”矩形，且长比宽多，求矩形中的长．下面是小悦同学的部分解答过程．解：矩形是矩形的“减半”矩形，．设宽，则长．根据题意可列出方程……任务：(1)问题中的“▲”处应填．(2)请将问题中的剩余部分的解答过程补充完整．(3)当矩形的长为，宽为时，是否存在它的“减半”矩形？若存在，求出“减半”矩形的长与宽；若不存在，请说明理由．23．如图，已知抛物线过点，，，顶点为．(1)该抛物线的解析式是________；(2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值．(3)设点，当的值最小时，求的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《广西南宁市北湖北路学校2025-2026学年上学期10月月考九年级数学试题》参考答案题号12345678910答案DBABABDBCD题号1112答案CD1．D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故符合题意；D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故不符合题意．故选：D．2．B【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．【详解】解：用科学记数法表示为．故选：B．3．A【详解】解：由图可知∠C=，又∵BC//DE，∴．故选A．【点睛】本题考查了平行线的性质，解决此题的关键是熟练运用平行线的性质．4．B【分析】本题考查同底数幂的乘除、合并同类项、积的乘方，按照运算法则逐项计算即可得出答案．【详解】解：，故选项A运算错误；，故选项B运算正确；，故选项C运算错误；，故选项D运算错误；故选B．5．A【分析】本题考查了一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式、数轴的性质，从而完成求解．首先求解一元一次不等式，再根据数轴的性质分析，即可得到答案．【详解】解：∵∴∴不等式的解集在数轴上表示如下：故选：A．6．B【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．直接根据圆周角定理即可得．【详解】解：∵，∴由圆周角定理得：，故选：B．7．D【分析】本题考查了加权平均数的相关定义，解题的关键是根据加权平均数的相关定义计算.利用加权平均数的公式直接计算即可得到答案．【详解】解：数学成绩为：分故选：D8．B【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像的平移规律即可解答．掌握函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新的抛物线的解析式为：．故选：B．9．C【分析】本题考查了二次函数的性质，先将抛物线解析式化为顶点式，进而确定开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性，逐一判断选项．【详解】解：将抛物线配方得：，因此顶点坐标为，对称轴为直线，二次项系数，开口向上．选项A：开口向上，正确．选项B：对称轴为，正确．选项C：当时，抛物线在对称轴右侧，因开口向上，随的增大而增大，而非减小，错误．选项D：顶点坐标为，正确．综上，错误的选项是C．故选C．10．D【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，需根据增长率模型计算各天票房并累加前三天的总和，从而列出方程．【详解】解：设增长率为，则：第一天票房为4亿元；第二天票房为亿元；第三天票房为亿元．依题意得：故选D．11．C【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答．【详解】解：连接，由题意得：，∴，，∵，，∴，在中，由勾股定理得：，∴，故选：C．12．D【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解图示，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据图示，由二次函数图象得到：二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴有两个交点，与轴交于负半轴，由此得到系数之间的关系，逐一判定即可．【详解】解：二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴有两个交点，与轴交于负半轴，∴，对称轴直线，，∴，故①正确；∵图像过点且对称轴为直线，∴二次函数与轴的另一个交点坐标为，∴当时，，即，故②正确；当时，，即，又，∴，故③错误；∵二次函数图象开口向上，对称轴直线为，∴当时，二次函数有最小值，即，∴对于任意实数都成立，∴对于任意实数都成立，故④正确；综上所述，正确的有①②④，故选：D．13．【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零．【详解】解：若代数式有意义，则，解得．故答案为：．14．/度【分析】本题主要考查了旋转的性质，关键是要理解旋转角的定义，即对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，通过这个性质直接得出的度数．【详解】解：因为绕点B顺时针旋转得到，根据旋转的性质，点绕点B旋转，所以就是旋转角．．故答案为：15．【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得，解得．故答案为：．16．【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式的解集，正确数形结合分析是解题的关键．【详解】∵直线与抛物线交于，两点，∴根据图象可知，关于的不等式解集是，故答案为：．17．(1)1(2)，【分析】本题主要考查了解一元二次方程，有理数混合运算，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键．（1）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可；（2）用因式分解法，解一元二次方程即可．【详解】（1）解：；（2）解：，因式分解得：，∴或，解得：，．18．(1)见解析；，，(2)四边形为矩形【分析】此题考查了中心对称的作图、点的坐标、矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．（1）找到关于原点的对称点，顺次连接得到，再写出点的坐标即可；（2）根据矩形的判定方法，进行判定即可．【详解】（1）解：如图为所求作的三角形；，，；（2）解：四边形是矩形；如图，连接，，∵与关于原点对称，与关于原点对称，∴，，且点O在，点O在上，∴四边形为平行四边形，∵，，，又∵，∴，∴为直角三角形，∴，∴四边形为矩形．19．(1)见解析(2)【分析】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点：（1）根据，可得，根据旋转的性质可得，根据可证．（2）根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出，从而可得，利用全等三角形的性质可得，即可．【详解】（1）证明：，．即，将线段绕点A旋转到的位置，．在与中，，（2）解：，，．．，．．20．(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；(2)；【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明；（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；【详解】（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，∴∠ACB=∠CAB，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=，∴AC=，Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，∴CD=．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．21．(1)(2)50元(3)当每件老友粉的售价为元时，超市平均每周的利润最大，其最大值为元．【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解决问题的关键是熟练掌握总利润和每件利润与件数的关系列方程，列函数表达式，配方法把二次函数一般式化成顶点式．（1）根据当老友粉的售价为每件60元时，每个星期可以售出300件，且售价每降价1元，每个星期可多售出20件列式计算即可；（2）设每件老友粉的售价应为x元，根据总利润等于每件利润乘以售出总件数，建立方程即可解答；（3）设每件老友粉的售价为x元，超市平均每周的利润为w元，根据w和每件利润与件数的关系列出函数表达式，配方成顶点式，利用二次函数的性质即可解答．【详解】（1）解：当每件老友粉降价5元时，每个星期可以售出（件）（2）解：设每件老友粉的售价应为x元，根据题意，得解得，，∴让客户得到实惠，每件老友粉的售价应为50元；（3）设每件老友粉的售价为x元，超市平均每周的利润为w元，根据题意，得，当每件老友粉的售价为元时，超市平均每周的利润最大，其最大值为元．22．(1)(2)见解析(3)不存在．理由见解析【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的应用，相似图形的性质，读懂题意并列出合适的等量关系式是解题的关键．（1）先根据周长公式计算出原矩形的周长，再结合“减半”矩形的定义求解即可．（2）根据矩形的面积公式列方程，解方程求解即可，注意实际意义．（3）假设存在，先算出原矩形的周长和面积，进而得到“减半”矩形的周长和面积，设“减半”矩形的长和宽分别为和，列方程组求解即可．【详解】（1）解：当矩形的长与宽分别是与时，这个矩形的周长为，它对应的“减半”矩形的周长为，故答案为：．（2）解：矩形是矩形的“减半”矩形，．设宽，则长．根据题意可