广州市番禺区2025-2026学年高二上数学期末达标检测试题含解析

广州市番禺区2025-2026学年高二上数学期末达标检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若抛物线焦点坐标为，则的值为A. B.C.8 D.42．下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.3．已知直线，两个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则4．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B.C. D.5．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点、是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大的．”如图，其结论是：点为过、两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决一下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（）A.B.C.或D.或6．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（）A.6 B.C.8 D.7．空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（）A. B.C. D.8．已知双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则（）A.5 B.25C. D.9．已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为，若双曲线上有一点，使，则双曲线的焦点（）A.在轴上 B.在轴上C.当时在轴上 D.当时在轴上10．如图①所示，将一边长为1的正方形沿对角线折起，形成三棱锥，其主视图与俯视图如图②所示，则左视图的面积为（）A. B.C. D.11．若定义在R上的函数满足，则不等式的解集为（）A. B.C. D.12．已知奇函数，则的解集为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则_________14．已知圆和直线.（1）求直线l所经过的定点的坐标，并判断直线与圆的位置关系；（2）求当k取什么值，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长.15．如图，在四面体中，BA，BC，BD两两垂直，，，则二面角的大小为______16．已知正项等比数列的前项和为，且，则_______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比（1）分别求2分钟，3分钟后的水温；（2）记n分钟后的水温为，证明：是等比数列，并求出的通项公式；（3）当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：）18．（12分）已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）求在的最大值.19．（12分）如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面ABCD，Q为PB中点（1）求证：平面平面PBC；（2）求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值20．（12分）中，角A，B，C所对的边分别为.已知.（1）求的值；（2）求的面积.21．（12分）在等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.22．（10分）已知圆：与x轴负半轴交于点A，过A的直线交抛物线于B，C两点，且.（1）证明：点C的横坐标为定值；（2）若点C在圆内，且过点C与垂直的直线与圆交于D，E两点，求四边形ADBE的面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的焦点坐标，可得的值.【详解】抛物线的标准方程为，因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关利用抛物线的焦点坐标求抛物线的方程的问题，涉及到的知识点有抛物线的简单几何性质，属于简单题目.2、B【解析】对各个选项进行导数运算验证即可.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B3、A【解析】根据线面、面面位置关系有关知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，根据面面垂直的判定定理可知，A选项正确，对于B选项，当，时，和可能相交，B选项错误，对于C选项，当，时，可能含于，C选项错误，对于D选项，当，时，可能含于，D选项错误.故选：A4、A【解析】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题5、A【解析】根据米勒问题的结论，点应该为过点、的圆与轴的切点，设圆心的坐标为，写出圆的方程，并将点、的坐标代入可求出点的横坐标.【详解】解：设圆心的坐标为，则圆的方程为，将点、的坐标代入圆的方程得，解得或（舍去），因此，点的横坐标为，故选：A.6、B【解析】利用椭圆的几何性质，得到，，进而利用得出，进而可求出【详解】解：由椭圆的方程可得，所以，得且，，在中，由余弦定理可得，而，所以，，又因为，，所以，所以，故选：B7、A【解析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】空间四点共面，但任意三点不共线，，解得：.故选：A.8、B【解析】由渐近线方程得到，焦点坐标为，渐近线方程为：，利用点到直线距离公式即得解【详解】由题意，双曲线故焦点坐标为，渐近线方程为：焦点到它的一条渐近线的距离为：解得：故选：B9、B【解析】设出双曲线的一般方程，利用题设不等式，令二者平方，整理求得的，进而可判断出焦点的位置【详解】渐近线方程为，，平方，两边除，，，双曲线的焦点在轴上.故选B.【点睛】本题考查已知双曲线的渐近线方程求双曲线的方程，考查对双曲线标准方程的理解与运用，求解时要注意焦点落在轴或轴的特点，考查学生分析问题和解决问题的能力10、A【解析】由视图确定该几何体的特征，即可得解.【详解】由主视图可以看出，A点在面上的投影为的中点，由俯视图可以看出C点在面上的投影为的中点，所以其左视图为如图所示的等腰直角三角形，直角边长为，于是左视图的面积为故选：A.11、B【解析】构造函数，根据题意，求得其单调性，利用函数单调性解不等式即可.【详解】构造函数，则，故在上单调递减；又，故可得，则，即，解得，故不等式解集为.故选：B.【点睛】本题考察利用导数研究函数单调性，以及利用函数单调性求解不等式，解决本题的关键是根据题意构造函数，属中档题.12、A【解析】先由求出的值，进而可得的解析式，对求导，利用基本不等式可判断恒成立，可判断的单调性，根据单调性脱掉，再解不等式即可.【详解】的定义域为，因为是奇函数，所以，可得：，所以，经检验是奇函数，符合题意，所以，因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增，由可得，即，解得：或，所以的解集为，故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值.【详解】，，因此，.故答案为：.14、（1）直线过定点P（4，3），直线和圆总有两个不同交点（2）k=1，【解析】(1)把直线方程化为点斜式方程即可；(2)由圆的性质知，当直线与PC垂直时，弦长最短.【小问1详解】直线方程可化为，则直线过定点P（4，3），又圆C标准方程为，圆心为，半径为，而，所以点P在圆内，所以不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点.【小问2详解】由圆的性质知，当直线与PC垂直时，弦长最短.，所以k=1时弦长最短.弦长为.15、【解析】取的中点为，连接，由面面角的定义得出二面角的平面角为，再结合等腰直角三角形的性质得出二面角的大小.【详解】取的中点为，连接，因为，所以二面角的平面角为，因为，，所以为等腰直角三角形，即二面角的大小为.故答案为：16、【解析】根据给定条件求出正项等比数列的公比即可计算作答.【详解】设正项等比数列的公比为，依题意，，即，而，解得，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）2分钟的水温为℃，3分钟后的水温℃；（2）证明见解析，，；（3）在水烧开后4到7分钟饮用最佳.【解析】(1)根据给定条件设第n分钟后的水温为，探求出与的关系即可计算作答.(2)利用(1)的信息，列式变形、推导即可得证，进而求出的通项公式.(3)由(2)的结论列不等式，借助对数函数的性质求解即得.【小问1详解】设第n分钟后的水温为，正比例系数为k，记，依题意，，当时，，则有，解得，因此，，即有，，所以2分钟的水温为℃，3分钟后的水温℃.小问2详解】由(1)知，，时，，，则有，即，而，于是得是以为首项，为公比的等比数列，则有，即，所以是等比数列，的通项公式是，.【小问3详解】由(2)及已知得：，即，整理得，两边取常用对数得：，而，解得，即，所以在水烧开后4到7分钟饮用最佳.【点睛】思路点睛：涉及实际意义给出的数列问题，正确理解实际意义，列出关系式，再借助数列思想探求相邻两项间关系即可推理作答.18、（1）（2）【解析】（1）利用两角和的余弦公式以及辅助角公式可得，再由正弦函数单调区间，整体代入即可求解.（2）根据三角函数的单调性即可求解.【小问1详解】，，解得，所以函数的单调递增区间为【小问2详解】由（1），解得函数的单调递减区间为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，，，所以函数的最大值为.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）取的中点为，连接，可证，从而可利用面面垂直的判定定理可证平面平面.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量、平面的法向量后可得二面角的正弦值.【小问1详解】如图，取的中点为S，连接，因为为等边三角形，故，，而平面平面ABCD，平面平面，平面，故平面，而平面，故，而，故，因，故平面，因平面，故，因，故平面，而平面，故平面平面.【小问2详解】连接，因为，故四边形为平行四边形，而，故四边形为矩形，所以，由（1）可得平面，故建立如图所示的空间直角坐标系，则所以，，设平面的法向量为，则即，取，则，设平面的法向量为，则即，取，则，故，故平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为.20、（1）；（2）.【解析】（1）根据求出，根据求出，根据正弦定理求出；（2）先求出，再利用面积公式即可求出.【详解】（1）在中，由题意知，又因为，所有，由正弦定理可得.（2）由得，由,得.所以.因此，的面积.【点睛】本题考查正弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题.21、（1）（2）【解析】（1）根据等差数列条件列方程，即可求通项公式；（2）先由等比数列通项公式求出，解得，分组求和即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，则，∴，由，∴，∴数列的通项公式为.【小问2详解】∵数列是首项为1，公比为2的等比数列，∴，即，∴，∴.22、（1）证明见解析（2）【解析】（1）设直线方程，与抛物线方程联立，设，，结合，得到，结合根与系数的关系，