延安市重点中学2025-2026学年高二上数学期末综合测试模拟试题含解析

延安市重点中学2025-2026学年高二上数学期末综合测试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某企业甲车间有200人，乙车间有300人，现用分层抽样的方法在这两个车间中抽取25人进行技能考核，则从甲车间抽取的人数应为（）A.5 B.10C.8 D.92．正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是A. B.C. D.3．若双曲线的离心率为3，则的最小值为（）A. B.1C. D.24．已知函数.设命题的定义域为，命题的值域为.若为真，为假，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.5．已知点、是双曲线C：的左、右焦点，P是C左支上一点，若直线的斜率为2，且为直角三角形，则双曲线C的离心率为()A.2 B.C. D.6．已知函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（）A B.C. D.7．若正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1到平面ACD1的距离为（）A.1 B.C. D.8．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（）A. B.C. D.9．曲线在点处的切线方程是A. B.C. D.10．若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.11．函数的图像大致是（）A B.C. D.12．命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A.∀x∈R，|x|+x2<0 B.∀x∈R，|x|+x2≤0C.∃x0∈R，|x0|+<0 D.∃x0∈R，|x0|+≥0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，直线是曲线在点处的切线，则__________.14．若直线与圆有公共点，则b的取值范围是_____15．已知集合，，将中的所有元素按从大到小的顺序排列构成一个数列，则数列的前n项和的最大值为___________.16．与直线和直线的距离相等的直线方程为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某双曲线型自然冷却通风塔的外形是由图1中的双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面，如图2所示.双曲线的左、右顶点分别为、.已知该冷却通风塔的最窄处是圆O，其半径为1；上口为圆，其半径为；下口为圆，其半径为；高（即圆与所在平面间的距离）为.（1）求此双曲线的方程；（2）以原平面直角坐标系的基础上，保持原点和x轴、y轴不变，建立空间直角坐标系，如图3所示.在上口圆上任取一点，在下口圆上任取一点.请给出、的值，并求出与的值；（3）在（2）的条件下，是否存在点P、Q，使得P、A、Q三点共线.若不存在，请说明理由；若存在，求出点P、Q的坐标，并证明此时线段PQ上任意一点都在曲面上.18．（12分）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且（1）求抛物线的方程；（2）若，是抛物线上一点，过点的直线与抛物线交于，两点（均与点不重合），设直线，的斜率分别为，，求证：为定值19．（12分）已知三角形内角所对的边分别为，且C为钝角.（1）求cosA；（2）若，，求三角形的面积.20．（12分）已知函数，在处有极值.（1）求、的值；（2）若，有个不同实根，求的范围.21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c已知c•cosB+（b-2a）cosC=0（1）求角C的大小（2）若c=2，a+b=ab，求△ABC的面积22．（10分）已知公比的等比数列和等差数列满足：，，其中，且是和的等比中项（1）求数列与的通项公式；（2）记数列的前项和为，若当时，等式恒成立，求实数的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据分层抽样的定义即可求解.【详解】从甲车间抽取的人数为人故选：B2、A【解析】利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可.【详解】,，且a,b为正数，，当且仅当，即时，，若不等式对任意实数x恒成立，则对任意实数x恒成立，即对任意实数x恒成立，，，故选：A【点睛】本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题.3、D【解析】由双曲线的离心率为3和，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，双曲线的离心率为3，即，即，又由，可得，所以，当且仅当，即时，“”成立.故选：D【点睛】使用基本不等式解答问题的策略：1、利用基本不等式求最值时，要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件；2、若多次使用基本不等式时，容易忽视等号的条件的一致性，导致错解；3、巧用“拆”“拼”“凑”：在使用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.4、C【解析】根据一元二次不等式恒成立和二次函数值域可求得为真命题时的取值范围，根据和的真假性可知一真一假，分类讨论可得结果.【详解】若命题为真，则在上恒成立，，；若命题为真，则的值域包含，则或，；为真，为假，一真一假，若真假，则；若假真，则；综上所述：实数的取值范围为.故选：C.5、B【解析】根据双曲线的定义和勾股定理利用即可得离心率.【详解】∵直线的斜率为2，为直角三角形，∴，又，∴，.∵，即，∴故选：B.6、B【解析】根据导数的几何意义，求出切线方程，求出切线和横截距a和纵截距b，面积为【详解】由题意可得，所以，则所求切线方程为令，得；令，得故所求三角形的面积为故选：B7、B【解析】先证明点A1到平面ACD1的距离即为直线A1C1到平面ACD1的距离，再建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】因为平面平面，所以A1C1//平面ACD1，则点A1到平面ACD1的距离即为直线A1C1到平面ACD1的距离.建立如图所示的空间直角坐标系，易知＝(0,0,1)，由题得平面,所以平面,所以,同理,因为平面，所以平面，所以是平面一个法向量，所以平面ACD1的一个法向量为＝(1,1,1)，故所求的距离为.故选：B【点睛】方法点睛：求点到平面的距离常用的方法有：（1）几何法（找作证指求）；（2）向量法；（3）等体积法.要根据已知条件灵活选择方法求解.8、A【解析】利用f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，结合导数的几何意义判断即可.【详解】由f(x)的图象可知，函数f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，由导数的几何意义可知，先减后增，且恒大于0，故符合题意的只有选项A.故选：A.9、D【解析】先求导数，得切线的斜率，再根据点斜式得切线方程.【详解】，选D.点睛】本题考查导数几何意义以及直线点斜式方程，考查基本求解能力，属基础题.10、C【解析】根据极值点的意义,可知函数的导函数在上有且仅有一个零点.结合零点存在定理,即可求得的取值范围.【详解】函数则因为函数在上有且仅有一个极值点即在上有且仅有一个零点根据函数零点存在定理可知满足即可代入可得解得故选:C【点睛】本题考查了函数极值点的意义,函数零点存在定理的应用,属于中档题.11、B【解析】由函数有两个零点排除选项A，C；再借助导数探讨函数的单调性与极值情况即可判断作答.【详解】由得，或，选项A，C不满足；由求导得，当或时，，当时，，于是得在和上都单调递增，在上单调递减，在处取极大值，在处取极小值，D不满足，B满足.故选：B12、C【解析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】利用直线所过点求得直线的斜率，从而求得.【详解】由图象可知直线过，所以直线的斜率为，所以.故答案为：14、【解析】直线与圆有交点，则圆心到直线的距离小于或等于半径.【详解】直线即，圆的圆心为，半径为，若直线与圆有交点，则，解得,故实数取值范围是.故答案为：15、【解析】由题意设，，根据可得，从而，即可得出答案.【详解】设，由，得，由，得中的元素满足，即，可得所以，由,所以所以，要使得数列的前n项和的最大值，即求出数列中所以满足的项的和即可.即，得，则所以数列的前n项和的最大值为故答案为：147216、【解析】设直线方程为，根据两平行直线之间距离公式即可求解.【详解】设该直线为：，则由两平行直线之间距离公式得：，故该直线为：；故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2），，，；（3）存在，或，证明见解析.【解析】（1）设双曲线的标准方程为，易知，设，，代入求解即可；（2）分析圆，圆的方程即可求解；（3）利用圆的参数方程，设，，利用，即可求解，再利用线段PQ上任意一点的特征证明点在曲面上；【小问1详解】设双曲线的标准方程为，由题意知，点，的横坐标分别为，，则设点，的坐标为，，，，，解得，，又塔高米，，解得，故所求的双曲线的方程为【小问2详解】点在圆上，；点在圆上，；圆，其半径为，；圆，其半径为，【小问3详解】存在点P、Q，使得P、A、Q三点共线.由点在半径为的圆上，（为参数）；点在半径为的圆上，（为参数）；由已知得，整理得两式平方求和得，则或当时，，当时，证明：，则，利用，，其中又曲面上的每一点可以是圆与旋转任意坐标系上的双曲线的交点，旋转直角坐标系，保持原点和y轴不变，点所在的轴为轴，此时，满足，即即点是曲面上的点.18、（1）（2）证明见解析【解析】(1)联立直线和抛物线方程，根据抛物线定义和焦半径公式得到，根据韦达定理可得到最终结果；（2）代入点坐标可得到参数的值，设直线的方程为，联立该直线和抛物线方程，，代入韦达定理可得到最终结果.【小问1详解】设点，，点，，联立，整理得，，由抛物线的定义知，解得，抛物线的方程为【小问2详解】，为抛物线上一点，，即，设，，，，直线的方程为，由，消去得，，，，即为定值19、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理边化角，可求得角的正弦，由同角关系结合条件可得答案.(2)由（1），由余弦定理，求出边的长，进一步求得面积【小问1详解】因为，由正弦定理得因为，所以.因为角为钝角，所以角为锐角，所以小问2详解】由(1)，由余弦定理，得，所以，解得或，不合题意舍去，故的面积为=20、（1），（2）【解析】（1）根据题设条件可得，由此可解得与的值（2）依题意可知直线与函数的图象有三个不同的交点，则的取值范围介于极小值与极大值之间.【小问1详解】因为函数，在处有极值，所以，即，解得，.【小问2详解】由（1）知，，所以在上，，单调递增，在上，，单调递减，在上，，单调递增，所以，，若有3个不同实根，则，所以的取值范围为.21、(1)；(2).【解析】(1)由题意首先利用正弦定理边化角，据此求得，则角C的大小是；(2)由题意结合余弦定理可得，然后利用面积公式可求得△ABC的面积为.试题解析：（1）∵c•cosB+（b-2a）cosC=0，由正弦定理化简可得：sinCcosB+sinBcosC-2sinAcosC=0，即sinA=2sinAcosC，∵0＜A＜π，∴sinA≠0.∴cosC=.∵0＜C＜π，∴C=.（2）由（1）可知：C=.∵c=2，a+b=ab，即a2b2=a2+b2+2ab.由余弦定理cosC==，∴ab=（ab）2-2ab-c2.可得：ab=4.那么：△ABC的面积S=absinC