专题28.5 锐角三角函数单元提升卷（人教版）（解析版）

第28章锐角三角函数单元提升卷【人教版】参考答案与试题解析选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（23-24九年级·北京·期末）在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且sinA=32A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定【答案】C【分析】本题考查了特殊角的三角函数，等边三角形判定，利用特殊角的三角函数值得出∠A及∠C的度数，继而可判断【详解】解：由题意得，sinA=3∴∠A=60°，即△ABC故选：C．2．（3分）（23-24九年级·山东聊城·期末）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cosα的值为（

A．34 B．43 C．85【答案】D【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握锐角三角函数的定义，难点是设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求出三角形的边．【详解】解：∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，设直角三角形中较短的直角边为a，则较长的直角边是a+1，其中a由勾股定理得：a2整理得：a解得：a1=3，∴a∴cosα故选：D．3．（3分）（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=12,AB的垂直平分线ED交AC于点D，连接BD，若BC=2A．65 B．57 C．67【答案】B【分析】本题考查了线段的垂直平分线，勾股定理，余弦函数的计算，设BD=AD=x，则【详解】∵∠C=90°,AC=12,AB的垂直平分线ED交AC∴设BD=则CD=∴12-x解得x=7∴CD=12-∴cos∠故选：B．4．（3分）（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，点C是线段AB的中点，∠A=30°，∠DCB=45°，若A．210 B．35 C．43【答案】D【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，勾股定理，过点D作DM⊥AB，交AB的延长线于点【详解】解：过点D作DM⊥AB，交AB的延长线于点∵点C是线段AB的中点，AB∴AC=设DM=∵∠DCB∴CM=DM=∵∠A∴tanA解得x=∴BM=∴BD=故选D．5．（3分）（23-24九年级·湖北随州·期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用．我们已经知道30°，45°，60°角的三角函数值，现在来求tan22.5°的值：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°．设A．3-2 B．2-3 C．3【答案】B【分析】本题考查了正切值的求解勾股定理，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB使BD=AB，连接【详解】解：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长设AC=1，则BA∴CD在Rt△tan15°=故选：B．6．（3分）（2024·广东佛山·三模）如图，网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接AB、CD交于点P，则∠BPC的正切值是（

A．2 B．32 C．52 D【答案】A【分析】本题考查了正切函数，勾股定理，正方形的性质等，连接BE、AE，∠BDC=∠DBE=∠BED=∠AED=45°，由平行线的性质得∠BPC=∠【详解】解：如图，连接BE、AE，由正方形的性质得：∠BDC=∠DBE∴BE∥CD∴∠BPC∴AE=2BE=12∴tan∠ABE=∴tan故选：A．7．（3分）（23-24九年级·四川达州·期末）如图，点C在线段AB上，等腰△ADC的顶角∠ADC=120°，点M是矩形CDEF的对角线DF的中点，连接MB，若AB=63，ACA．9-23 B．9-22 C．8-23【答案】A【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，特殊角的三角函数等知识．连接EC，过点M作MJ⊥CD于J，交AB于T，根据矩形的性质得DM=【详解】解：如图，连接EC，过点M作MJ⊥CD于J，交AB于∵四边形EFCD是矩形，点M是DF的中点，∴点M是DF，EC的交点，∴MD∵MJ∴DJ∴点M在CD的垂直平分线上运动，当BM⊥MJ时，∵DA=DC，∠∴∠A∴CD∴CJ∴CT∵AB=63∴BT∵∠CJT=90°，∴∠BTM∴BM∴MB的最小值为9-2故选：A．8．（3分）（23-24九年级·重庆九龙坡·期末）如图，矩形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接AE、DE，若AE平分∠BED，AB=4，tan∠AEB=

A．12 B．17 C．20 D．21【答案】B【分析】由矩形的性质可得出AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，结合已知条件可得出∠DAE=∠AED，由等角对等边可得出AD=DE，【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC∴∠DAE∵AE平分∠BED∴∠∴∠DAE∴AD=∵tan∠AEB=∴BE=16设AD=∴CE=16-∵C∴4+16-∴x∴△ADE的面积：1故选∶B【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定以及性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理的应用，掌握这些性质是解题的关键．9．（3分）（23-24九年级·重庆北碚·阶段练习）学校某数学兴趣小组想测学校旗杆高度如图，明明在稻香园一楼A点测得旗杆顶点F仰角为45°，在稻香园二楼B点测得点F的仰角为37°．明明从A点朝旗杆方向步行4米到C点，沿坡度i=1:3的台阶走到点D，再向前走5米到旗杆底部E，已知稻香园AB高度为4.5米，则旗杆EF的高度约为（

）（参考数据：sin37°=0.6，cos37°=0.8A．13.5米 B．15米 C．16.5米 D．18米【答案】B【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角与俯角问题以及坡度问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．延长FE、AC交于点G，作DH⊥AG于H，BM⊥FE于M，则△AFG是等腰直角三角形，得FG=AG=BM，由CD的坡度得CH=3DH，设EG=DH【详解】解：如图，延长FE、AC交于点G，作DH⊥AG于H，BM⊥则BM=AG，GM=AB=4.5米，GH=DE=5∴△AFG∴FG=∵CD的坡度i=1:3∴DHCH∴CH=3设EG=DH=∴BM=∴FM=在Rt△BFM中，∴4.5+3x解得：x=3∴FG=18米，EG∴EF=故选：B．10．（3分）（2024·浙江台州·一模）如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中∠AOB=90°，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若IJ=2，则该“风车A．2+1 B．22 C．4-2【答案】B【分析】连接AC,由题意可得Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH，进而说明△OAC为等腰直角三角形，再说明分CD、GI垂直平分AB，进而说明∠OBH=∠OHB=45°，然后再运用解直角三角形求得AI，然后再求得三角形AOB的面积，最后求风车面积即可．【详解】解：如图：连接AC由题意可得：Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH∴OA=OC,∠OAB=∠OCD∵∠AOC=∠AOB=90°∴△OAC为等腰直角三角形又∵∠OAB=∠OCD：∴∠AJD=180°-∠ADJ-∠OAB=180°-∠ODC-∠OCD=90°，即AJ⊥CD又∵CJ=DJ∴AJ垂直平分CD同理：GI垂直平分AB∴AC=AD,AJ是等腰三角形顶角∠CAD的角平分线即∠DAJ=12∠CAD=1易得IH=BJ,IJ=IB+BJ=IB+IH又∵IB=IA∴IJ=IB+BJ=IH+IA=2在Rt△ABO中，∠ABH=∠BAH=22.5°∴∠OBH=OHB=45°设OB=OH=a，即AH=BH=2OB=2a∴tan∠A=BOAO∴IH设IH=（2-1）x，AI∴IH+IA=2x=2，即x∴S△又∵S∴S△∴S∴S风车故选B．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识以及数形结合思想成为解答本题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（23-24九年级·山东威海·期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A，若AC=4，【答案】15【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，由锐角三角函数求出BC，再由锐角三角函数求出CD，利用勾股定理即可求出BD的长度，掌握解直角三角形是解题的关键．【详解】解：∵∠C=90°，∴BCAC∵AC=4BC4∴BC=3∵∠DBC∴tan∠∴CDBC即CD3∴CD=∴BD=故答案为：15412．（3分）（23-24九年级·上海普陀·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边的中点，过点D作DE⊥AB，垂足为E【答案】5【分析】本题主要考查了解直角三角形，先由线段中点的定义得到AC=4，则由勾股定理可得BC=25，则cosB=【详解】解：∵D是AC边的中点，AD=2∴AC=2∵∠C∴由勾股定理得BC=∴cosB∵DE⊥∴∠A又∵∠A∴∠ADE∴cos∠故答案为：5313．（3分）（23-24九年级·江苏常州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正确的结论有.【答案】①②③④【分析】根据∠A=90°，AD⊥BC，可得∠α=∠B，∠β=∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．【详解】∵∠A=90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，∴∠α=∠B，∠β=∠C，∴sinα=sinB，故①正确；sinβ=sinC，故②正确；∵在Rt△ABC中sinB=ACBC，cosC=AC∴sinB=cosC，故③正确；∵sinα=sinB，cos∠β=cosC，∴sinα=cos∠β，故④正确；故答案为①②③④．【点睛】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．14．（3分）（2024·甘肃武威·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED=90°,∠EAD=30°,F是AD边的中点，EF【答案】6【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解AD,再利用锐角三角函数依次求解AE【详解】解：∵∠AED=90°,F是AD边的中点，∴AD∵∠DAE∴AE∵矩形ABCD，∴AD∴∠AEB∴BE故答案为：6.【点睛】本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键．15．（3分）（23-24九年级·江苏宿迁·期末）如图，光源A-3,2发出的一束光（y轴）上的点B的反射光线BC交x轴于点C-1,0，再被平面镜（x轴），则直线CD【答案】y【分析】根据反射定律，∠ABD=∠CBE，设点B0,b，由tan∠ABD=tan∠CBE，得到2-本题考查了待定系数法求一次函数解析式、正切定义，解题的关键是：设出点B坐标．【详解】解：设点B的坐标为0,b，过点B作y轴的垂线，过点A作垂直于该直线的垂线相交于点D，作CE⊥BD根据反射定律，∠ABD∴tan∠∴2-b3=∴B0,设直线AB的解析式为y=kx+m，将点A-3,2，∴直线AB的解析式为：y=-∵AB∥∴直线AB和CD解析式中的k值相等，设直线CD的解析式为y=-12x+n，将点∴直线CD的解析式为：y=-故答案为：y=-16．（3分）（23-24九年级·湖北·期末）如图，矩形ABCD中，AB:BC=3:5，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形CEGF，若点E在AD上，连接BF，DF，则BF【答案】130【分析】过F作FP⊥CD于点P，交AB于点Q，由旋转和矩形的性质可得：AB=CD=CF，BC=CE，∠ECF=∠BCD=90°，设AB=CD=CF=3a，则CE=BC=5a，根据勾股定理求出CD=4【详解】解：如图，过F作FP⊥CD于点P，交AB于点由旋转和矩形的性质可得：AB=CD=CF，∵AB:∴设AB=CD=在Rt△CDE中，∴cos∠∵∠DEC+∠DCE∴∠DEC∴cos∠∴PC=∴PF=CF∴DF=∵∠ABC∴四边形BCPQ是矩形，∴BQ=PC=∴QF=∴BF=∴BFDF故答案为：1303【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（23-24九年级·福建南平·期末）计算：(1)3sin(2)tan60°+2【答案】(1)5(2)3【分析】本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算；熟记特殊角三角函数值是解题关键．（1）代入特殊角三角函数值，再根据实数的运算，可得答案；（2）代入特殊角三角函数值，再根据实数的运算，可得答案．【详解】（1）3=3×==5（2）解：tan==318．（6分）（23-24九年级·江西·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为(1)求CD的长．(2)求∠DBE【答案】(1)5(2)7【分析】本题考查了正弦与余弦、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握正弦与余弦的概念是解题关键．（1）先根据余弦的定义可得AB=10（2）先求出cos∠BCE=cos∠ABC=【详解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴cos∠∴AB=8×∵D是边AB的中点，∴CD=所以CD的长为5．（2）解：∵D是斜边AB的中点，∴CD=∴∠BCE∴cos∠∵BE⊥∴cos∠BCE=解得CE=∴DE=∴sin∠所以∠DBE的正弦值为719．（8分）（23-24九年级·江苏常州·期末）小强在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值．你能说明小强这样做的道理吗？写出你的说理过程！【答案】理由见解析．【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正切的定义，设AB=x，由第一次折叠可得AB=BE=x，∠AEB=∠EAB【详解】解：设AB=∵将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，∴AB=BE=∴AE=∵还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，∴AE=EF=∴∠FAB∴tan20．（8分）（23-24九年级·安徽·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A'B'C'(1)连接AA'，求证：(2)若BC=1，求点A到直线A【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）根据含30°的直角三角形的性质，得到AC=3BC，证明△（2）过点A作AD⊥A'C于点D．求出【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，∴AC=∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△∴CA=C'A'∴△CBB'∴AA'=∴AA（2）解：如图，过点A作AD⊥A'

∵BC=1∴AC=∴CD=∵△CA∴∠CA∴∠CAD∵tan∠∴AD=∴点A到直线A'C的距离为【点睛】本题考查的是旋转的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．21．（8分）（23-24九年级·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中AB=2km，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60°方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西37°方向的点

(1)求妈妈步行的速度；(2)求明明从C处到D处的距离．【答案】(1)妈妈步行的速度为6(2)明明从C处到D处的距离约为1+【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握方向角定义．（1）根据正切函数求出BD的长，即路程，则速度=路程÷时间，代入计算即可；（2）过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，设AE=CE=akm，过点D作DF⊥CE于点F【详解】（1）解：根据题意可知：AB=2∴BD=∴1.5÷15答：妈妈步行的速度为6km/h（2）解：如图，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点

∵∠CAE∴△AEC∴AE=设AE=过点D作DF⊥CE于点F，得矩形∴EF=DB=1.5∴CF=在Rt△CDF中，∴tan30°=∴33∴a=∴DF=∴CD=2答：明明从C处到D处的距离约为1+322．（8分）（23-24九年级·河北石家庄·期末）【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形．(1)如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC(2)如图，在边长为l的正方形网格中，连接格点D,N和E,C，DN和EC相交于点P，结合下面的分析，直接写出【分析】观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法实现角的转移，从而解决此类问题，比如连接格点M,N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠(3)如图，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，则sin∠CPN的值为【答案】(1)4(2)2(3)2【分析】（1）过点A作AD⊥BC，交BC延长线于点D，由图可知点D在格点上，由勾股定理可得AB=5，然后在Rt（2）由平行线的性质可得∠CPN=∠DNM，即有tan∠CPN（3）取格点D，连接CD,DM，由平行线的性质可得∠CPN=∠DCM，由图易知△【详解】（1）解：如下图，过点A作AD⊥BC，交BC延长线于点由图可知点D在格点上，AD=3,∴AB=∴cos∠故答案为：45（2）∵MN∥∴∠CPN∴tan∠∵∠DMN∴tan∠故答案为：2；（3）如下图，取格点D，连接CD,∵CD∥∴∠CPN∵△DCM∴∠DCM∴sin∠故答案为：22【点睛】本题主要考查了格点三角形、平行线的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题关键是运用转化思想和数形结合的思想分析问题．23．（8分）（2024·北京·二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连接CD，点P在射线(1)如果∠①如图1，DE与BE之间的数量关系是______②如图2，点P在线段CB上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，