湖北省随州市普通高中2026届高二上数学期末学业水平测试模拟试题含解析

湖北省随州市普通高中2026届高二上数学期末学业水平测试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（）.A.1 B.C. D.2．已知数列满足，则（）A.2 B.C.1 D.3．在矩形中，，在该矩形内任取一点M，则事件“”发生的概率为（）A. B.C. D.4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为（）A. B.C. D.5．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（）A. B.2C. D.36．已知点B是A（3，4，5）在坐标平面xOy内的射影，则||＝（）A. B.C.5 D.57．设，分别为具有公共焦点与椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为A. B.1C.2 D.不确定8．在数列中，已知，则“”是“是单调递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9．已知、为非零实数，若且，则下列不等式成立的是()A. B.C. D.10．圆（）上点到直线的最小距离为1，则A.4 B.3C.2 D.111．若，则x的值为（）A.4 B.6C.4或6 D.812．已知，那么函数在x＝π处的瞬时变化率为（）A. B.0C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．椭圆的左、右焦点分别为，，过焦点的直线交该椭圆于两点，若的内切圆面积为，两点的坐标分别为，，则的面积________，的值为________.14．已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点．以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线于B，D两点，A，F，B三点共线，且，则______15．椭圆C：的左、右焦点分别为，，点A在椭圆上，，直线交椭圆于点B，，则椭圆的离心率为______16．用秦九韶算法求函数，当时的值时，___________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆过点，且离心率.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点在椭圆上，且在第一象限内，点分别为椭圆的左、右顶点，直线分别与椭圆C交于点，过作直线的平行线与椭圆交于点，问直线是否过定点，若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.18．（12分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程（1）中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线；（2）椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线的焦点；（3）经过点抛物线19．（12分）已知，，分别是锐角内角，，对边，，.（1）求的值；（2）若的面积为，求的值.20．（12分）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且.（1）求抛物线方程；（2）直线与抛物线相交于两个不同的点，为坐标原点，若，求实数的值；21．（12分）设抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，椭圆右焦点也为，离心率为（1）求抛物线方程和椭圆方程；（2）若不经过的直线与抛物线交于、两点，且（为坐标原点），直线与椭圆交于、两点，求面积的最大值22．（10分）已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为原点)，求的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】利用向量的数量积为0可求的值.【详解】因与互相垂直，故，故即，故.故选：D.2、D【解析】首先得到数列的周期，再计算的值.【详解】由条件，可知，两式相加可得，即，所以数列是以周期为的周期数列，.故选：D3、D【解析】利用几何概型的概率公式，转化为面积比直接求解.【详解】以AB为直径作圆，当点M在圆外时，.所以事件“”发生的概率为.故选：D4、B【解析】求出，可知为等腰三角形，取的中点，可得出，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】在椭圆中，，，则，所以，，由椭圆的定义可得，取的中点，因为，则，由勾股定理可得，所以，.故选：B.5、D【解析】设出直线方程，联立抛物线方程，得到韦达定理，求得，利用抛物线定义，将目标式转化为关于的代数式，消元后，利用基本不等式即可求得结果.【详解】因为抛物线的焦点的坐标为，显然要满足题意，直线的斜率存在，设直线的方程为联立可得，其，设坐标为，显然，则，，根据抛物线定义，MF=故=4+4令，故4+4当且仅当，即时取得最小值.故选：D.【点睛】本题考察抛物线中的最值问题，涉及到韦达定理的使用，基本不等式的使用；其中利用的关系，以及抛物线的定义转化目标式，是解决问题的关键.6、C【解析】先求出B（3，4，0），由此能求出||【详解】解：∵点B是点A（3，4，5）在坐标平面Oxy内的射影，∴B（3，4，0），则||＝＝5故选：C7、C【解析】根据题意，设它们共同的焦距为2c、椭圆的长轴长2a、双曲线的实轴长为2m，由椭圆和双曲线的定义及勾弦定理建立关于a、c、m的方程，联解可得a2+m2=2c2，再根据离心率的定义求解【详解】由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，设P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2m①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a②又∵，∴，可得∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③，①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④将④代入③，化简得a2+m2=2c2，即，可得，所以=.故选：C8、C【解析】分别求出当、“是单调递增数列”时实数的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】已知，若，即，解得.若数列是单调递增数列，对任意的，，即，所以，对任意的恒成立，故，因此，“”是“是单调递增数列”充要条件.故选：C.9、D【解析】作差法即可逐项判断.【详解】或，对于A：，∵，无法判断正负，故A错误；对于B：，∵无法判断正负，故B错误；对于C：，∵，，∴，，故C错误；对于D：，∴，故D正确.故选：D.10、A【解析】根据题意可得,圆心到直线的距离等于,即,求得,所以A选项是正确的.【点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法：(1)几何法：利用ｄ与ｒ的关系．(2)代数法：联立方程之后利用判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题11、C【解析】根据组合数的性质可求解.【详解】,或，即或.故选：C12、A【解析】利用导数运算法则求出，根据导数的定义即可得到结论【详解】由题设，，所以，函数在x＝π处瞬时变化率为，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.6②.3【解析】由题意得，由内切圆面积为可得其半径，根据焦点三角形面积公式可得第一空答案，结合面积公式和等面积法建立等式化简即可.【详解】解：由得由内切圆面积为可得其半径，设其内切圆圆心为则又所以.故答案为：6；3【点睛】椭圆中常用面积公式：（1）(表示边上的高)；（2）；（3）(为三角形内切圆半径)；（4）.14、2【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，由，，三点共线，推得，由三角形的中位线性质可得到准线的距离，可得的值【详解】抛物线的焦点为，，准线方程为，因为，，三点共线，可得为圆的直径，如图示：设准线交x轴于E，所以，则，由抛物线的定义可得，又是的中点，所以到准线的距离为,故答案为：215、（也可以）【解析】可以利用条件三角形为等腰直角三角形，设出边长，找到边长与之间等量关系，然后把等量关系带入到勾股定理表达的等式中，即可求解离心率.【详解】由题意知三角形为等腰直角三角形，设，则，解得，，在三角形中，由勾股定理得，所以，故答案为：（也可以）16、0【解析】利用秦九韶算法的定义计算即可.【详解】故答案为:0三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）过定点，【解析】（1）根据椭圆上的点及离心率求出a,b即可；（2）设点，设直线的方程为，联立方程，得到根与系数的关系，利用条件化简，结合椭圆方程，求出即可得解.【小问1详解】由，有，又，所以，椭圆C的标准方程为.【小问2详解】设点，设直线的方程为.如图，联立，消有：，韦达定理有：由，所以，又，所以又，所以.又所以有，把代入有：，解得或2，又直线不过右端点，所以，则，所以直线过定点.18、（1）（2）（3）或【解析】（1）由已知求得，再由等轴双曲线的性质可求得则，由此可求得双曲线的方程；（2）由已知求得抛物线的焦点为，得出椭圆的，再根据椭圆的离心率求得，由此可得出椭圆的方程；（3）设抛物线的标准方程为：或，代入点求解即可.【小问1详解】解：对于直线，令，得，所以，则，所以，所以中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程为；【小问2详解】解：由得抛物线的焦点为，所以对于椭圆，，又椭圆的离心率为，所以，解得，所以椭圆的方程；【小问3详解】解：因为点在第三象限，所以满足条件的抛物线的标准方程可以是：或，代入点得或，解得或，所以经过点的抛物线的方程为或19、（1）；（2）4.【解析】（1）由正弦定理即可得答案.（2）根据题意得到，再由关于角的余弦定理和整理化简得，再由的面积，即可求出的值.【小问1详解】由及正弦定理可得.小问2详解】由锐角中得，根据余弦定理可得，代入得，整理得，即，解得，，解得.20、（1）（2）【解析】（1）根据抛物线过点，且，利用抛物线的定义求解；（2）设，联立，根据，由，结合韦达定理求解.【小问1详解】解：由抛物线过点，且，得所以抛物线方程为；【小问2详解】设，联立得，，，，则，，即，解得或，又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，不符合题意，故舍去；所以实数的值为.21、（1）抛物线方程为，椭圆方程为（2）【解析】（1）由，可得，继而可得，故，再利用离心率，以及，即得解；（2）设直线方程为，与抛物线联立，，结合韦达定理可得，再与椭圆联立，，韦达定理代入，结合均值不等式即得解【小问1详解】由题意，解得：，故，，，，，所以抛物线方程为，椭圆方程为【小问2详解】设直线方程为，由消去得，，设，，则因，所以或（舍去），所以直线方程为由，消去得，设，，则设直线与轴交点为，则所以令，则，所以，当且仅当时，即时，取最大值22、（1）；（2）【解析】（1）求出椭圆的焦点和顶点，即得双曲线的顶点和焦点，从而易求得标准方程；（2）将代入，得由直线与双曲线交于不同的两点，得的取值范围，设，由韦达定理得则代入可求得的范围【详解】(1)设双曲线的方程为，则，再由，得故的方程为(2)将代入，得由直线与双曲线交于不同的两点，得①设则又，