第十五章轴对称能力提升训练课件人教版数学八年级上册

第十五章轴对称能力提升训练人教版（2024）数学八年级上册1.如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝45°，则∠EAB＝________．15°一、填空题2.如图是一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β＝________．240°3.如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝130°，∠B＝110°，那么∠BCD＝_______．60°4.如图所示的是小明做的一个风筝，其主体部分(四边形ABCD)关于BD所在的直线对称，AC与BD相交于点O，且AC＝30cm，那么AO＝_______，∠AOB＝______．15cm90°5.如图，已知∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接AD.图中相等的线段有____________

_________．AD＝BD，AE＝BE6.如图，已知AB－AC＝2cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长为14cm，则AB＝_______cm，AC＝_______cm.867.如图，在3×3的正方形网格中，有三格被涂黑，若在剩下的6个空白小方格中涂黑其中1个，使所得的图形是轴对称图形，则可选的那个小方格的位置有___种．28.如图，明明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且他们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF，则∠BOC＋∠AOD＝_______°.1801.下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？(1)同旁内角互补，两直线平行；解：(1)逆命题为两直线平行，同旁内角互补。成立．二、解答题(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等；解：(2)逆命题为如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等。不成立．例如m＝3，n＝－3，则m2＝n2，但m≠n.(3)全等三角形的对应边相等．解：(3)逆命题为对应边相等的两个三角形全等。成立。证明：(1)∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.又∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).2.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AD交EF于点O.求证：(1)△ADE≌△ADF；证明：(2)由(1)知AE＝AF.∴点A在EF的垂直平分线上．同理点D在EF的垂直平分线上．∴AD垂直平分EF.(2)AD垂直平分EF.解：∵AB＝AC＝CD，∴∠B＝∠C，∠CAD＝∠CDA.∵BD＝AD，∴∠B＝∠BAD.又∵∠CDA＝∠B＋∠BAD，3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝CD，BD＝AD，求△ABC中各内角的度数．∴∠CAD＝2∠B.∴∠B＋∠BAC＋∠C＝∠B＋∠BAD＋∠CAD＋∠C＝180°，即∠B＋∠B＋2∠B＋∠B＝180°.∴∠B＝36°.∴∠BAC＝108°，∠C＝36°.4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AC上，AD＝AE.若∠BAD＝50°，求∠CED的度数．解：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴△ABC是等腰三角形．∴AD是BC的中线，∠BAC的角平分线．∴∠CAD＝∠BAD＝50°.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.∵∠ADE＋∠AED＋∠CAD＝180°，∴∠ADE＝∠AED＝(180°－50°)＝65°.∴∠CED＝180°－65°＝115°.5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点M，N分别在AB，AC上，BM＝CN.求证：DM＝DN.证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴∠B＝∠C，BD＝CD.在△BDM和△CDN中，∴△BDM≌△CDN(SAS).∴DM＝DN.解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°.又∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠ABD＝∠BCE＝∠CAF.∴∠BEC＝180°－∠2－∠BCE

＝180°－(∠2＋∠ABD)＝180°－∠ABC

＝120°.6.如图，△ABC是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3.(1)求∠BEC的度数．解：(2)△DEF是等边三角形．理由如下：由(1)知∠BEC＝120°，∴∠DEF＝180°－∠BEC＝60°.同理可得∠DFE＝∠EDF＝60°，∴∠DFE＝∠DEF＝∠EDF＝60°.∴△DEF是等边三角形．(2)△DEF是等边三角形吗？请简要说明理由．(1)证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.又∵AB⊥AD，∴∠DAC＝120°－90°＝30°.∴∠DAC＝∠C.∴AD＝CD.7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝2.(1)求证：AD＝CD；(2)解：由(1)得∠B＝∠C＝30°.∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90°.∵AD＝2，∴BD＝2AD＝4.又∵∠DAC＝∠C＝30°，∴DA＝DC＝2.∴BC＝BD＋DC＝6.(2)求BC的长．8.如图，沿长方形ABCD的对角线BD翻折△ABD得到△A′BD，A′D交BC于点F，△BDF是不是等腰三角形？请说明理由．解：△BDF是等腰三角形．理由如下：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC.∴∠DBC＝∠ADB.由翻折，得△ABD≌△A′BD，∴∠ADB＝∠A′DB.∴∠DBC＝∠A′DB.∴FD＝FB.∴△BDF是等腰三角形．9.如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，AE＝CD，AD与BE相交于点F.(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝CA.在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD(SAS).∴BE＝AD.(1)求证：BE＝AD；(2)解：由(1)得△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD.∴∠BFD＝∠ABE＋∠BAD

＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAC

＝60°.(2)求∠BFD的度数．10.如图，在等边三角形ABC中，D是AB上一点，作AE∥BC，且AE＝BD.求证：证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠B＝60°.∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB＝∠B＝60°.在△BCD和△ACE中，∴△BCD≌△ACE(SAS).(1)△BCD≌△ACE；证明：(2)由(1)知CD＝CE，∠ECA＝∠DCB.∴∠ECA＋∠ACD＝∠ACD＋∠DCB，即∠ECD＝∠ACB＝60°.∴△CDE是等边三角形．(2)△CDE是等边三角形．(1)证明：∵DE是AB的垂直平分线，∴DB＝DA.∴∠DAB＝∠DBA＝30°.∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAD＝∠BAD＝30°.∴AD平分∠CAB.11.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，DE交BC于点D，连接AD.(1)求证：AD平分∠CAB；(2)解：∵AD平分∠CAB，

DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC＝3.∵∠B＝30°，DE⊥AB，∴BD＝2DE＝6.(2)若CD＝3，求BD的长．12.求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．求证：△ABC是直角三角形．证明：∵CD是△ABC的边AB上的中线，∴D是AB的中点．∴AD＝BD＝AB