点到直线的距离课件-高二上学期数学人教A版选择性

2.3.3点到直线的距离公式

人教A版（2019）选择性必修一学习目标1.探索并推导点到直线的距离公式，体现逻辑推理能力（重难点）2.能利用点到直线的距离公式解决相关问题，体现数学计算能力（难点）1新课导入建筑工人在安装安全网时，需测量楼层窗户（点A）到地面（直线l）的垂直距离，确保安全网安装高度符合规范.思考一下：若窗户坐标为A(3,4)，地面方程为3x+4y-10=0，如何用数学方法验证距离是否达标？带着这个问题来到我们这节课的学习.新课学习34如图，已知点P(x0，y0)，直线

l：Ax＋By＋C＝0，怎样求出点P到直线

l的距离呢？PQxyOl过点

P作直线

l的垂线，记垂足为

Q，则垂线段

PQ的长度就是点

P到直线

l的距离.因此，求出垂足

Q的坐标，利用两点间的距离公式求出

|PQ|，就可以得到点

P到直线

l的距离.新课学习4如图，已知点P(x0，y0)，直线

l：Ax＋By＋C＝0，怎样求出点P到直线

l的距离呢？因此，垂线

PQ的方程为即

Bx-Ay=Bx0-Ay0解方程组①得直线

l与

PQ

的交点坐标，即垂足

Q的坐标为新课学习如图，已知点P(x0，y0)，直线

l：Ax＋By＋C＝0，怎样求出点P到直线

l的距离呢？利用两点间距离公式因此点

P(x0，y0)到直线

l：Ax＋By＋C＝0的距离当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立.新课学习34点到直线的距离公式的概念

已知定点P0

(x0，y0)，直线l：Ax+By+C=0，则定点P到这条直线l

的距离为：新课学习34对于上述公式的几点说明：(2)点到直线的距离是直线上的点与直线外的一点的连线的最短距离.(3)若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再代入公式求距离.新课学习上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大.反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗？由此能否给出简化运算的方法?原因:求出的点

Q坐标比较复杂，再代入两点间距离公式造成了运算的复杂.简化运算的方法:设

Q(x，y)，则②新课学习我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具.能否用向量方法求点到直线的距离？

设M(x,y)是直线l上任意一点，n是与直线l的方向向量垂直的单位向量.新课学习如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量n？设

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线

l：Ax＋By＋C＝0上的任意两点，则

是直线

l

的方向向量.把

Ax1＋By1＋C＝0，Ax2＋By2＋C＝0两式相减，得

A(x2－x1)＋B(y2－y1)＝0.由平面向量的数量积运算可知，向量(A，B)与向量(x2－x1，y2－y1)垂直.新课学习如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量n？新课学习因为点M(x,y)在直线l上，所以Ax+By+C=0.所以Ax+By=-C.代入上式，得如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量n？因此新课学习比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算．除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？面积法求点到直线的距离如图，设A≠0，B≠0，则直线l与x轴和y轴都相交，过点P0分别作x轴和y轴的平行线，交直线l于点R和S，则直线P0R的方程为y=y0，点R的坐标为新课学习直线P0S的方程为x=x0，点S的坐标为面积法求点到直线的距离于是有设|P0Q|=d，由三角形面积公式可得d·|RS|=|P0R|·|P0S|所以新课学习比较上述推导点到直线距离公式的“坐标法”和“向量法”两种方法，它们各有什么特点?“坐标法”是通过寻找所求量的坐标表示，再经过一系列运算最终得到点到直线距离公式.坐标法运算量较大，所以我们还要寻求简化运算的方法.这里我们用到了设而不求，整体代换的手段.新课学习比较上述推导点到直线距离公式的“坐标法”和“向量法”两种方法，它们各有什么特点?“向量法”抓住了点到直线距离是点与直线上点的最短长度这一几何特征，借助投影向量、直线方向向量的概念，将向量用坐标表示，再运算求解.这种方法体现了解析几何形与数、数与形的转化，技巧性强，但是大大降低了运算量.新课学习例5：求点

P(－1，2)到直线

l：3x＝2的距离．分析：将直线l的方程写成3x-2=0，再用点到直线的距离公式求解.点

P(－1，2)到直线

l：3x－2＝0的距离新课学习直线

l

有什么特性？由此能给出简便解法吗？直线l垂直于x轴新课学习例6：已知△ABC的三个顶点分别是

A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，求△ABC的面积．分析：由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边

AB的长和边

AB上的高即可．如图，设边AB上的高为h，则新课学习例6：已知△ABC的三个顶点分别是

A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，求△ABC的面积．边

AB上的高

h就是点

C到直线

AB的距离．边

AB所在直线

l的方程为即

x＋y－4＝0．点

C(－1，0)到直线

l：x＋y－4＝0的距离

因此，新课学习上面的例题还有其他的解法吗？割补法：如图，延长AB交x轴于点D．过点A,B，分别作x轴的垂线，垂足分别为A，B．则△ACD的CD边上的高为AM，△CBD的边上的高为BN．由已知得直线AB的方程为即

x＋y－4＝0．令