第四章第一节几何初步相交线与平行线(含命题)

第四章三角形第一节几何初步、相交线与平行线(含命题)章前复习导图解决问题特殊几何初步、相交线与平行线直线与线段角及角平分线相交线、平行线命题直角三角形全等、相似三角形的性质全等、相似三角形的判定实际应用性质面积判定三角形等腰三角形角边角关系边重要线段及直线(角平分线、中线、高线、中位线、垂直平分线)三角形全等、相似三角形锐角三角函数节前复习导图几何初步、相交线与平行线(含命题)直线与线段两个基本事实两点间的距离线段的和与差线段中点角及角平分线角的度量及换算余角、补角角平分线相交线相交线垂线及性质平行线的性质与判定平行公理及推论平行线的判定与性质两条平行线间的距离作法一:作平行线作法二:拐点延长相交角度关系命题与反证法教材知识逐点过考点1直线与线段(2024.1)两个基本事实1.

直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线(两点确定一条直线)；2.

线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短(两点之间，线段

最短)两点间的距离连接两点的线段的长度线段的和与差如图，在线段AC上取一点B，则有AB＋

＝AC；AB＝

⁠

－BC；BC＝AC－

⁠

线段中点如图，点M把线段AB分成两条线段AM与MB，如果AM＝MB，那么

点M叫做线段AB的中点，即有AM＝MB＝

⁠

BC

AC

AB

考点2角及角平分线(2024.2)1.

角的度量及换算量角器的使用量角器的中心点O和角的顶点重合，量角器的零刻度线和角的一条边重

合，做到两重合后看角的另一条边对应的刻度线的度数度分秒的换算1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60'，1'＝60″，度分秒的单位换算是60进制2.

余角、补角余角(1)概念：如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角；(2)性质：同角(或等角)的余角

⁠补角(1)概念：如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角；(2)性质：同角(或等角)的补角相等相等3.

角平分线概念如果从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线性质角平分线上的点到角两边的距离

⁠逆定理角的内部到角两边距离

⁠的点在这个角的平分线上相等相等考点3相交线(2024.1)1.

相交线

(1)对顶角相等(2组)，∠1＝

，∠2＝

⁠；(2)邻补角互补(4组)，∠1＋

＝∠1＋∠2＝

＋∠3＝

∠3＋∠4＝180°∠3∠4

∠4∠2

2.

垂线及性质概念两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线垂线的性质(1)经过直线上或直线外一点，有且只有

条直线与已知直线垂直(基本事实)；(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，

⁠最短点到直线的距离直线外一点到这条直线的

⁠的长度叫做点到直线的距离一垂线段垂线段线段垂直平分线(1)定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.如图，

若l⊥AB，OA＝OB，则AP＝

⁠；(2)逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的

⁠

⁠上

BP

垂直平

分线考点4平行线的性质与判定(6年3考)★重点

平行公理及推论1.

公理：在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线

平行(基本事实)；2.

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行【知识拓展】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行平行线的判定与性质1.同位角

两直线平行；2.内错角

两直线平行；3.同旁内角

两直线平行两条平行线间的距离1.

概念：过平行线上的一点作另一条平行线的垂线，

⁠的长度

叫做两条平行线间的距离；2.

性质：两条平行线之间的距离处处

⁠相等相等互补垂线段相等【知识拓展】平行线求角度辅助线的作法作法一：作平行线

作法二：拐点延长相交

角度关系∠ABE＋

∠DCE＝∠BEC∠ABE＋

∠DCE＋∠BEC＝360°∠ABE－

∠DCE＝∠BEC∠ABE－

∠DCE＝∠BEC考点5命题1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题.命题有题设和结论两部分；2.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；3.假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题；4.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，且第一

个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题；5.

反证法：先假设原命题结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，

最后推出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.

因此，假设是错误的，原结论是正确的.基础题对点练1.

[北师七上习题改编]将一根细木条固定在墙上，至少需要2个钉子，其

中蕴含的数学原理是(

A

)A.两点确定一条直线B.垂线段最短C.直线的两端是无限延伸的D.两点之间，线段最短A2.

[人教七上练习改编]如图，点C是线段AB上一点，D是AC的中点，

E是BC的中点.(1)AB＝AC＋

⁠；(2)AC＝AE－

⁠；(3)若AC的长为6，CE的长为2，则DE的长为

⁠.CB

CE

5

3.

[冀教七上习题改编]如图，直尺ABCD的一边BC经过量角器的圆心

O，则∠BOE＝

⁠.4.

[北师七上习题改编]若∠A＝85°，则∠A的补角为

°，∠A的

余角为

⁠°.50°

95

5

5.

[人教八上习题改编]如图，OD平分∠BOC，∠AOC＝110°，P是

OD上一点，PQ⊥CO.

(1)∠COD的度数为

⁠；(2)PQ＝3，则点P到AB的距离为

⁠.35°

3

6.

[北师七上习题改编]如图，直线AB与直线CD交于点O，∠AOD＝

134°，∠COE＝44°，则∠EOB的度数为

⁠.90°

7.

[人教八上习题改编]如图，在线段

AC，BC，CD，CE中，最短的线

段为

，若CD是BE的垂直平分线，CE＝4，则BC的长为

⁠.CD

4

8.

[冀教七下习题改编]如图，若AB∥CD，过点C的射线与AB交于点

E.

若∠1＝35°，则∠2＝

⁠°.145

9.

[冀教七下例题改编]已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图

所示摆放.若∠1＝120°，则∠2＝

⁠.150°

10.

[人教七下例题改编]如图，木棒AB，CD与EF分别在点G，H处用

可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G

逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转

⁠°.20

11.

[人教七下习题改编]下列命题中，是真命题的是(

C

)A.相等的角是对顶角B.不相交的两条线段平行C.一个角的余角比它的补角小90°D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行C河北中考真题精选性质、定理的考查命题点11.

(2024河北1题)如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一

侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是(

A

)A.

aB.

bC.

cD.

dA2.

如图，在直线l外有一定点O，Q是直线l上一动点，当点Q从左

向右移动时，下列说法正确的是(

D

)DA.

∠α增大B.

∠β减小C.

∠α＋∠β的和增大D.

∠α＋∠β的和不变平行线的性质与判定命题点23.

(2025河北2题)榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某

个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC＝70°，则∠BAD＝(

C

)A.

70°B.

100°C.110°D.

130°C4.

(2024河北7题·源于冀教七下习题改编)下面是投影屏上出示的抢答题，

需要回答横线上符号代表的内容.已知：如图，∠BEC＝∠B＋∠C.

求证：AB∥CD.

证明：延长BE交

※

于点F，则∠BEC＝

⦾

＋∠C(三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和).又∠BEC＝∠B＋∠C，得∠B＝

▲

，故AB∥CD(

@

相等，两直线平行).则回答正确的是(

C

)A.

⦾代表∠FECB.

@代表同位角C.

▲代表∠EFCD.

※代表ABC【解析】辅助线作法为延长BE交CD于点F，则※代表CD；∵∠BEC

＝∠EFC＋∠C，∠BEC＝∠B＋∠C，∴∠B＝∠EFC，∴⦾代表

∠EFC，▲代表∠EFC；∵∠B＝∠EFC，∴AB∥CD(内错角相等，

两直线平行)，∴@代表内错角.5.

(2025唐山模拟)古城正定承载着丰富的古建筑文化.在如图的六边形窗

户ABCDEF中，已知AB∥CF∥DE，∠B＝∠D＝140°，则∠BCD＝(

C

)A.

120°B.

100°C.80°D.

60°C【解析】∵AB∥CF∥DE，∠B＝∠D＝140°，∴∠B＋∠BCF＝

180°，∠D＋∠DCF＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，∵∠B＝∠D＝140°，∴∠BCF＝40°，∠DCF＝40°，∴∠BCD＝∠BCF＋∠DCF＝40°＋40°＝80°.6.

(2024河北11题)要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量.两同学提供了如下间接测量方案(如图①和图②)：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是(

C

)A.

Ⅰ可行、Ⅱ不可行B.

Ⅰ不可行