湖北省襄阳市楚汉高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（含解析）

襄阳市楚汉高级中学2024-2025学年高二年级（下）3月月考数学试题（3月26日B卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知数列为等比数列，其中，，则（）A． B． C． D．2．已知，则（）A．1 B．2 C．3 D．2或33．若，，则等于（）A． B． C．5 D．74．甲，乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙相邻，丙、丁不相邻，共有排法（）A．72种 B．36种 C．144种 D．108种5．现有粉玫瑰、红玫瑰、香槟玫瑰、紫玫瑰、白玫瑰、蓝玫现各1支，从中取5支放入图中的5根试管中：每根试管放1支，则不同的放置方法数为（）A．6 B．120 C．360 D．7206．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为A． B． C． D．7．经过点且与直线垂直的直线方程为（）A． B． C． D．8．笛卡尔心形线的极坐标方程是．某同学利用GeoGebra电脑软件将，两个画在同一直角坐标系中，得到了如图“心形线”．观察图形，当时，的导函数的图象为（）A． B．C． D．二、多选题9．下列数列中，是等差数列的是（）A．1，4，7，10 B．C． D．10，8，6，4，210．(多选题)7名学生，站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端，不同排法的种数为（）A． B．C． D．11．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法三、填空题12．一张餐桌上有6盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，不同的取法共有种．13．已知函数是定义在R上的函数，，且曲线在点处的切线斜率为6，则．14．代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为.四、解答题15．求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)；(4)．16．（1）求值：;（2）解方程：．17．已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)求的极值.18．底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面．(1)证明：平面；(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．19．设为实数，已知方程表示椭圆.(1)求的取值范围；(2)若，过椭圆的焦点作长轴的垂线，交椭圆于两点，求的长.《襄阳市楚汉高级中学2024-2025学年高二年级（下）3月月考数学试题（3月26日B卷）题号12345678910答案BDACDCBAABDABC题号11答案ACD1．B【分析】根据等比中项即可求解.【详解】根据，a，可得：，；解得，故.故选：B.2．D【分析】利用排列数公式和组合数公式计算即可.【详解】因为，，，所以，对比选项进行讨论有：当时，，不成立，当时，，成立，当时，，成立，所以或.故选：.3．A【分析】先求出，，再利用空间向量的数量积运算求解即可．【详解】，，则，，，，故选：A4．C【分析】利用捆绑法与插空法解决相邻与不相邻问题即可.【详解】先把甲乙捆绑起来，和除丙丁之外的2人排列后形成4个空，再将丙、丁插入2个空中，故有种不同的排法.故选：C5．D【分析】根据排列数公式计算可得.【详解】依题意可得不同的放置方法数为.故选：D6．C【详解】f(x)=lnx的导数为f′(x)=，可得曲线f(x)=lnx在点(2,f(2))处的切线斜率为，切线与直线ax+y+1=0垂直,可得−a⋅=−1，解得a=2.故选：C.7．B【分析】利用两直线的垂直的斜率关系结合点斜式计算即可.【详解】由题意可知的斜率为，所以与其垂直的直线斜率为，由点斜式可知该直线方程为，故B正确.故选：B8．A【分析】易得函数表示如图“心形线”中轴下方的图象，再根据函数的单调性及切线斜率的变化情况即可得解.【详解】因为，，所以函数表示如图“心形线”中轴下方的图象，由得，所以由图可知函数在上单调递增，可得，故排除BC，又函数在时的图象的切线斜率先减小后增大，排除D，故函数的先减后增，故只有A选项符合题意.故选：A.9．ABD【分析】根据等差数列的定义逐项判断即可.【详解】根据等差数列的定义，可得对于A，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），所以是等差数列，故A正确；对于B，满足（常数），所以是等差数列，故B正确；对于C，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列，故C错误；对于D，满足（常数），所以是等差数列，故D正确．故选：ABD.10．ABC【分析】分别应用特殊元素优先法，间接法，特殊元素优先法判断各个选项即可.【详解】特殊元素优先法:按甲是否在最右端分两类：第一类，甲在最右端，有种方法；第二类，甲不在最右端，甲有个位置可选，乙也有个位置可选，其余5人有种排法，即种方法．故有种方法,A选项正确．间接法：无限制条件的排列方法共有种，而甲在最左端的排法分别有种，乙在最右端的排法分别有种，甲在最左端且乙在最右端的排法有种．故有种方法,B选项正确,D选项错误．特殊元素优先法：按最左端先安排分步．对于最左端除甲外有种排法，余下六个位置全排列有种排法，其中甲不在最左端，乙在最右端的排法有种．故有种方法，D选项正确.故选:ABC11．ACD【分析】根据给定条件利用组合知识可以判断A正确；不相邻问题利用插空法可以判断B错误；相邻问题利用捆绑法可以判断C正确；利用特殊位置法可以判断D正确.【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A正确；对于B，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，B错误；对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；对于D，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，D正确.故选：ACD.12．120【分析】根据排列的意义问题可转化为从6个元素中取出3个元素的排列数求解【详解】由题意，问题相当于从6个不同元素中取3个元素的排列数，故有种．故答案为：12013．2【分析】对函数求导，应用导数的几何意义有，即可求参数.【详解】由题设，且.故答案为：14．4【分析】利用“将军饮马”模型，应用点关于直线对称求对称点，再由两点距离最短求最短总路程.【详解】如图，设点关于直线对称的点为，则，解得，则“将军饮马”的最短总路程为．故答案为：415．(1)(2)(3)(4)【分析】根据导数的四则运算法则求导即可.【详解】（1）．（2）．（3）．（4）．16．（1）165；（2）【分析】（1）利用组合数性质计算可得原式等于；（2）由排列数计算公式可得，可得.【详解】（1）因为，所以，原式；（2）因为，所以，化简可得，同时，解得.17．(1)；(2)当时，取得极大值；当x=0时，取得极小值0．【分析】（1）先求导函数再代入求出斜率结合点斜式即可写出切线方程；（2）先求出导函数再根据导数正负得出单调性即可求出极值.【详解】（1）由，得切点为，，从而切线的斜率，故所求的切线方程为，即．（2）的定义域为，且，令，得或，当x变化时，，的变化情况如下表x0＋0－0＋单调递增单调递减0单调递增作出的图象，如图由图可知当时，取得极大值；当x=0时，取得极小值0．18．(1)证明过程见解析(2)【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，⊥，故平面；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，根据线面角的正弦值得到方程，求出，求出两个平面的法向量，根据面面角夹角余弦公式求出答案.【详解】（1）因为四边形为菱形，所以⊥，因为平面平面，为交线，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为平面平面，为交线，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，平面，所以平面；（2）由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，则，，设，，则，，设平面的一个法向量为，，令得，故，直线与平面所成角的正弦值为