重庆市合川中学2025-2026学年九年级上学期半期数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页重庆市合川中学2025-2026学年九年级上学期半期数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．的相反数是（

）A． B．5 C． D．2．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．3．下列情形适合全面调查的是（

）A．为保护嘉陵江的野生鱼，渔业部门要了解嘉陵江鱼类的分布情况；B．为提高合川产品的竞争力，市场监管部门调查市面上合川桃片的质量情况；C．因涪江二桥桥面改造，交通部门要监测涪江二桥上车辆的通行情况；D．合川中学新生军训购买服装，需了解初2028级全体学生的身高情况．4．拋物线的顶点坐标为（

）A． B． C． D．5．关于二次函数，下列说法错误的是（

）A．函数图像的开口向下；B．拋物线的对称轴是直线；C．函数有最大值为；D．函数图像与y轴的交点是．6．为了美化教室，小刚用大小相等的五角星按一定的规律摆出如下图案，那么按照这样的规律，摆成的第7个图案中使用的五角星的数量为（

）A．个 B．个 C．个 D．个7．估计的值，在两个连续整数（

）A．5与6； B．4与5； C．3与4； D．2与3.8．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（

）A． B． C． D．9．如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为（

）A． B． C． D．10．已知整式M：，其中n为自然数，均为正整数，且．下列说法：①当，，且为奇数时，则满足条件的所有整式M的和为②若且为偶数时，满足条件的所有整式M有且仅有8个；③当时，满足条件的所有整式M有且仅有15个．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题11．一组数据的平均数是4，则．12．如图，，，则度．13．一元二次方程的解为：.14．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是．15．已知二次函数的图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的结论有．16．若一个四位自然数，满足千位数字与个位数字之和为6，百位数字与十位数字之和也为6，则称它为“顺利数”，请问最小的“顺利数”为．将“顺利数”M的前三位数字组成的三位数记为m，它的后三位数字组成的三位数记为n，规定：，若能被7整除，则满足条件的M的最大值与最小值的差为．三、解答题17．解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解．18．在学习了平行四边形与正方形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形，分别取，的中点，，连接，交于点，过作的垂线，交于点，交于点．则四边形是平行四边形．(1)用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）．(2)根据（1）中所作图形，智慧小组发现四边形是平行四边形成立，并给出了证明，请补全证明过程．证明：∵四边形是正方形，∴，，．又∵，分别为，的中点，∴，，∴①，在与中，∴．∴②．又∵，∴，∴，又∵，∴，∴③．又∵∴四边形是平行四边形．进一步思考，智慧小组发现任取，的上点，（不与，重合），，连接，，过作的垂线，交于点，则四边形是④．19．今年，合川涪江二桥进行桥面改造，由双向车道通行变成单向车道通行，给需要过河的车辆通行造成很大的不便，部分车辆改道涪江一桥通行．合川中学初三年级社会实践小组的同学们对两座桥梁的车辆通行情况进行了调查，并对收集的数据进行了整理、描述、分析．他们在相同的时段（每次统计10分钟），分别对涪江一桥和涪江二桥车辆的通行情况进行了10次统计，并且按照车辆通行的数量，把每座桥梁的统计数据按从小到大的顺序分为3组，车辆通行数量用x表示，A组（路面畅通）：，B组（交通缓行）：，C组（高峰拥堵）：．下面给出了部分信息：涪江一桥10次调查中通行的车辆数分别为（单位：辆）：120，130，160，170，170，170，180，210，220，220涪江二桥10次调查中通行的车辆数在B组（交通缓行）的数据是（单位：辆）：170，180，180，180，涪江一桥、涪江二桥10次调查中通行的车辆数量统计表（单位：辆)：平均数中位数众数涪江一桥175170b涪江二桥175a180涪江二桥10次调查中通行车辆数量的扇形统计图（单位：辆)根据以上信息，解答下面的问题：(1)上述图表中，a、b、m的值分别为：__________，__________，__________．(2)根据以上数据分析，你认为哪座桥梁的交通压力更大（即通行的车辆更多）？请说明理由（写出一条即可）(3)如果我校每天大约有700名学生从涪江一桥通行，1200名学生从涪江二桥通行，估计我校因桥梁通行处于高峰拥堵（）而上学受影响的学生人数一共是多少？20．先化简，再求值．，其中，21．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？22．如图，在中，，动点P从点A出发沿射线方向以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，当点Q到达C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为，的面积为y．(1)当时，求的面积；(2)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）；(3)在给定的直角坐标系内画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质．23．如图，A、B、C、D分别是某旅游城市的四个景区．D在A的正南方向，千米．B在A的北偏东方向，且在D的东北方向．C在A的北偏西方向，且在D的西北方向．（参考数据：，，）(1)求的长度（结果精确到1千米）；(2)小鲁、小能两人驾车从景区A出发去景区D．小鲁选择的路线为：A→C→D，小能选择的路线为：A→B→D．已知小鲁比小能早出发半小时，小鲁的速度为35千米/小时，小能的速度为55千米/小时．请通过计算说明谁先到达景区D?24．如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点．(1)求抛物线的表达式；(2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．点是轴上的一动点，当的面积最大时，求周长的最小值；(3)如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点时，新抛物线与轴交于点（在左侧），与轴交于点．点为新抛物线上的一点，连接交直线于点，使得，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．25．已知是等边三角形，点为射线上一点，连接，将绕点沿顺时针旋转至，连接交直线于点．(1)如图1，点为的中点，，当时，求的长；(2)如图2，点在线段的延长线上，，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；(3)如图3，点在射线上，，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值．《重庆市合川中学2025-2026学年九年级上学期半期数学试题》参考答案题号12345678910答案BDDBDCBCBB1．B【分析】此题主要考查了相反数，理解相反数的定义是解题关键．相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据定义求解即可．【详解】解：的相反数是5．故选：B．2．D【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；故选：D．3．D【分析】此题考查了全面调查，全面调查适用于对象数量有限、需要每个个体数据的情况．选项D中学生群体确定且必须测量每个身高，因此适合全面调查；其他选项涉及大规模或动态群体，全面调查不经济或不现实．【详解】∵全面调查是对所有对象进行调查，常用于对象数量较少或必须获取每个个体数据的情形．选项A：嘉陵江鱼类分布情况，对象数量庞大，无法全面调查，宜用抽样调查；选项B：市面上合川桃片质量，产品数量多，全面调查成本高，宜用抽样调查；选项C：涪江二桥车辆通行情况，车辆流动动态，无法全面调查，宜用持续监测；选项D：初2028级全体学生身高，群体确定且数量有限，需每个学生数据，适合全面调查．故选：D．4．B【分析】本题考查了二次函数的顶点式，根据二次函数的顶点式直接写成答案即可，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．【详解】解：抛物线解析式为的顶点坐标，故选：．5．D【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，通过分析二次函数的开口方向、对称轴、最大值和y轴交点，判断各选项正误，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．【详解】解：∵二次函数为，二次项系数，∴函数图像开口向下，选项A不符合题意；∵对称轴公式为，其中，，∴，即对称轴为直线，故B不符合题意；∵函数图象开口向下，函数有最大值，在顶点处取得，当时，，∴最大值为，故C不符合题意；当时，，∴函数图像与y轴的交点是，故D符合题意，故选：D．6．C【分析】本题考查图形规律探究问题，找出规律是解题的关键，根据题意找出规律即可得到答案．【详解】解：第1个图形五角星的个数为：；第2个图形五角星的个数为：第3个图形五角星的个数为：第4个图形五角星的个数为：第7个图形五角星的个数为：，故选：C.7．B【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先求出的值是解题的关键．先化简表达式，得到，再估计的值，即可计算的范围．【详解】解：∵，，则，那么，∴在两个连续整数4与5之间，故选：B．8．C【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程．设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可．【详解】解：设每天遗忘的百分比为，则，解得：．故选：C．9．B【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线，过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当依次共线时，取得最小值，此时，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可，正确作出辅助线是解题的关键【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，，∵为线段上的动点，∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，如图，过点作的平行线，过点作关于线段的对称点，由对称性得，，∴，当且仅当依次共线时，取得最小值，如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，∵菱形中，，，∴，，，∵，∴由对称性可得，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，∵四边形为平行四边形，∴，，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，，∴，，∴，即的最小值为．故选：B．10．B【分析】本题主要考查整式的规律类探索，理解题意后准确找出变化规律，并运用分类讨论的思想是解题的关键．根据每个说法所给的条件，利用规律逐项讨论并判断即可解答．【详解】解：①根据题意得，当时，没有比1小的正整数，不符合题意；当时，或符合题意，∴有整式的和为；∴选项①正确，符合题意；②当时，；当时，或；当时，或或或；当时，或或；当时，；M有且仅有11个，∴选项②错误，不符合题意；③第一种情况：，当时，，∴此时，整式有1个；第二种情况：，当时，，当时，，∴此时，整式有2个；第三种情况：，当时，，当时，或，当时，，∴此时，整式有4个；第四种情况：，当时，，当时，或或，当时，或或，当时，，∴此时，整式有8个；第五种情况：，当时，，当时，或或或，当时，或或或或或，当时，或或或，当时，，∴此时，整式有16个；∴选项③错误，不符合题意；正确的选项是①，故选：B．11．3【分析】此题考查了平均数的定义，根据平均数的定义，所有数据之和除以数据的个数等于平均数，据此构建方程求解．【详解】∵一组数据的平均数是4，∴∴．故答案为：3．12．66【分析】本题主要考查平行线的性质．根据平行线的性质求解即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：66．13．，【分析】本题主要考查了直接开方法解一元二次方程，先移项，合并同类项，再直接开方即可．【详解】解：方程，移项得：，即，开方，得，∴，．故答案为：，．14．且【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解不等式，同时还应注意二次项系数不能为．【详解】解：∵一元二次方程有实数根，∴，解得：且，故答案为：且．15．①②④【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断．【详解】解：由题图可知，，，故①正确；当时，，即，故②正确；二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线，二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5，多项式，故③错误；当时，有最大值，即，当时，抛物线与直线的图象无交点，即关于x的方程无实数根，故④正确．综上，①②④正确．故答案为：①②④．16．【分析】本题考查了新定义——数字“顺利数”．熟练掌握数字表达式，解二元不定方程，是解题的关键．设“顺利数”（，，，）当千位和百位最小时“顺利数”最小，为；根据，，得，得，根据能被7整除，得，能被7整除，和当时，最大，当时，最小，即得两数之差．【详解】解：设“顺利数”，则，，当最小时，则，，，，∴最小的“顺利数”为，由“顺利数”的定义可得：，，，，且为整数，∵，，∴，∴，∵能被7整除，∴能被7整除，∴能被7整除，∴当时，最大，当时，最小，∴．故答案为：，517517．，它的所有整数解为，，，，0，1．【分析】本题考查了解一元一次不等式组及不等式组的整数解，分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．先分别解两个不等式确定不等式组的解集，再找出其中的整数解．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，则不等式组的解集为：，它的所有整数解为，，，，0，1．18．(1)见解析(2)；；；进一步思考：四边形是平行四边形【分析】（1）利用尺规基本作图——经过直线外一点作已知直线的第一线作法作出图形即可；（2）先证明，得到．从而证得，即可得到．又由正方形的性质得，即可得出结论；进一步思考：证明，得到，再证明，又由正方形的性质得，即可得出结论．【详解】（1）解：如图所示，就是所求作的经过点B垂直于于Q，交于P的直线，（2）证明：∵四边形是正方形，∴，，．又∵，分别为，的中点，∴，，∴，在与中，∴．∴．又∵，∴，∴，又∵，∴，∴．又∵∴四边形是平行四边形．进一步思考：如图，∵四边形是正方形，∴，，．在与中，∴．∴．又∵，∴，∴，又∵，∴，∴．又∵∴四边形是平行四边形．故答案为：平行四边形．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，尺规基本作图—作垂线，平行四边形的判定．熟练掌握正方形的性质，和平行四边形的判定是解题的关键．19．(1)180，170，30(2)涪江二桥的交通压力更大，理由见解析(3)570【分析】此题考查了统计表和扇形统计图，求众数和中位数，样本估计总体，解题的关键是正确分析题目数据．（1）根据中位数的定义求出a；根据众数的定义求出b；用C组的次数除以总次数即可求出m；（2）从平均数，众数和中位数分析判断即可；（3）利用样本估计总体的方法求解即可．【详解】（1）∴涪江二桥中位数；涪江一桥10次调查中通行的车辆数最多的是170，∴；∴；（2）∵涪江一桥和涪江二桥的平均数相同，涪江二桥的中位数和众数都大于涪江一桥，∴涪江二桥的交通压力更大；（3）∴估计我校因桥梁通行处于高峰拥堵（）而上学受影响的学生人数一共是570人．20．，【分析】该题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，负整数指数幂，实数的混合运算等知识点，解题的关键是掌握相关运算法则．先根据平方差公式、单项式乘多项式法则、分式的加减乘除运算法则进行化简，再根据乘方、负整数指数幂、实数的性质计算，最后将的值代入求解即可．【详解】解：，∵，将代入得，原式．21．(1)(2)降价5元【分析】本题考查了一元二次方程的应用；（1）设平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解．（2）设降价y元，根据商场六月份可获利4250元，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解．【详解】（1）解：设平均增长率为x，由题意得：，解得：或舍；四、五这两个月的月平均增长百分率为；（2）设降价y元，由题意得：，整理得：，解得：或舍；当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．22．(1)(2)(3)图象见解析，随着的增大先增大，然后减小，最后再增大，最大值为3【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的应用，二次函数的图象与性质是解题的关键．（1）当时，则，根据，计算求解即可；（2）由题意知，当时，，，，则，当时，，则，然后作答即可；（3）根据函数表达式画图象，然后根据图象写性质即可．【详解】（1）解，当时，，，∴∴，∴的面积为；（2）解：由题意知，当时，，，，∴，当时，，∴，综上所述，；（3）解：图象如下：由图象可知，随着的增大先增大，然后减小，最后再增大，最大值为3．23．(1)的长度约为39千米；(2)小鲁先到达景区D．【分析】本题考查了解直角三角形的应用，30度所对的直角边等于斜边的一半，外角的性质，方向角，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．（1）根据题意，结合图形，在中求出，，在中求出，即可得到结果；（2）根据题意，分别计算出两人所走过的路程，结合两人的速度，即可得到两人所用的时间，得到结果．【详解】（1）解：如图，过A作于点E，过B作，交的延长线于点F，根据题意，，，，，千米，，∴，，，∵在中，，，千米，∴（千米），∴（千米），∵在中，，∴（千米），∵，∴（千米），∴（千米），，，（千米）,答：的长度约为39千米；（2）解：由（1）知（千米），∵小鲁的速度为35千米/小时，∴小鲁从A→C→D，所用时间为（小时），在中，，不妨设，则，，∴，∵在中，，，∴，即，解得（千米），∴（千米），（千米），∴（千米），∴（千米），∵小能的速度为55千米/小时，∴小能从A→B→D，所用时间为（小时），∵，∴小鲁先到达景区D．24．(1)(2)(3)或【分析】（1）抛物线与直线交于点，则，即可求解；（2）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据平行设直线的解析式为，利用抛物线为，得到，将代入求得直线的解析式，设，则，如图1，过点F作交于点W，证明为等腰直角三角形，，，即可求出，，求得，作点关于轴的对称点，由两点之间线段最短得的最小值为，求出即可求解；（3）设原抛物线向右平移e个单位，利用平移的特点得到平移后的抛物线解析式为以及，①连接，作的垂直平分线交于点H，利用垂直平分线性质，等腰三角形性质，以及三角形外角定理得到，设，利用勾股定理建立等式得到点H，利用待定系数法求直线的解析式，根据点P为新抛物线上的一点，连接交直线于点H，联立平移后的抛物线解析式和直线的解析式求解，即可解题；②作H关于N的对称点，连接，求解过程与①类似．【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于点，∴，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：设直线的解析式为，∵过点，∴，解得，∴直线的解析式为，∵，设直线的解析式为，当时，，解得，∴，∴，解得，∴直线的解析式为，设，则，如图，过点F作交于点W，设交于点，∵直线是由直线向下平移3个单位得到的，∴，∵，，∴，∵直线的解析式为，∴直线为一、三象限的角平分线，∵，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∴当时，面积的最大值为3，此时点D的坐标为；∴，∴，作点关于轴的对称点，连接，∴，，∴的周长，∴的周长最小值为；（3）解：设原抛物线向右平移e个单位，∴平移后的抛物线解析式为，∵平移后的抛物线解析式过点，∴，解得（不符合题意的根舍去），∴平移后的抛物线解析式为，，①如图2.1，连接，作的垂直平分线交于点H