【高考模拟】2025年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合，则（

）A． B． C． D．2．若一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，16，21，24，25，27，33，36，38．则该组数据的第41百分位数为（

）A．21 B．24 C．25 D．273．在平行四边形中，为对角线的交点，则（

）A． B． C． D．4．已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．5．已知，则复数的实部为（

）A．2 B．1 C．－1 D．－26．已知向量，若，则（

）A． B． C． D．7．函数是（

）A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数8．若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．9．（

）A． B． C． D．210．已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的半径为（

）A．3 B．5 C．6 D．811．若是正数，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．812．若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（

）A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值13．函数在区间上的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．314．一个矩形的周长是10，则矩形的长关于宽的函数解析式为（

）（默认）A． B．C． D．15．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（

）A． B． C． D．16．函数的零点为（

）A． B． C． D．17．已知，则（

）A． B． C． D．18．某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的500名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（

）

A．80名 B．100名 C．120名 D．140名二、填空题19．．20．在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为．21．已知的内角的对边分别是，且，则的形状是三角形．22．人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足．一般两人正常交谈时，声音的等级约为，燃放烟花爆竹时声音的等级约为，若燃放烟花爆竹时声音强度为，两人正常交谈时声音强度为，则．三、解答题23．如图，在正三棱柱中，为的中点．(1)在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置；(2)若，求直线与平面所成的角的正弦值．24．已知函数．(1)若，求函数的值域；(2)若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围．25．已知在中，内角的对边分别为，且．(1)求角；(2)若的面积为，求．《2025年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试题》参考答案题号12345678910答案DBDCADADCB题号1112131415161718答案CADACBDB1．D【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解.【详解】，而，所以.故选：D2．B【分析】根据百分位数的概念求值即可.【详解】因为，所以该组数据的第41百分位数为按从小到大排列的第5个数，即24.故选：B3．D【分析】根据平面向量的数乘及减法运算求解.【详解】如图，

则，故选：D4．C【分析】先解不等式得，再结合选项及充分、必要条件的定义判断各选项即可.【详解】由，则，解得，则是使得成立的一个既不充分也不必要条件，是使得成立的一个必要不充分条件，是使得成立的一个充分不必要条件，是使得成立的一个充要条件.故选：C.5．A【分析】根据复数的乘方，乘法运算及实部的定义求解即可.【详解】由题意得，所以.所以复数的实部为2.故选：.6．D【分析】根据向量垂直的坐标公式求解即可.【详解】因为，所以，解得.故选：D.7．A【分析】先利用诱导公式化简函数，再判断其周期和奇偶性即可.【详解】因为.所以，，所以是最小正周期为的奇函数.故选：A8．D【分析】取特殊值判断ABC，利用作差法判断D.【详解】当时，，即，故A错误；当时，，故B错误；当时，，故C错误；因为，所以，故D正确.故选：D9．C【分析】根据对数的运算性质即可求解．【详解】根据对数运算性质可知，，所以．故选：C．10．B【分析】根据球O和圆柱的空间位置关系，结合勾股定理即可求出．【详解】由题意可知，球O和圆柱的空间位置关系如图所示，由题意可知，，则在直角中，．故选：B．

11．C【分析】利用均值不等式即可求解．【详解】由，根据均值不等式可得，当且仅当时等号成立，所以，也即，再次根据均值不等式可得，当且仅当时等号成立，故的最小值是4.故选：C12．A【分析】根据奇函数的特性分析在的单调性，再结合判断即可．【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值3，所以，又为奇函数，所以函数在区间上是增函数，且有最大值．故选：A．13．D【分析】令，解得，当时，分别计算出对应的值，找出符合的值即可得解.【详解】令，解得.当时，，符合条件；当时，，符合条件；当时，，符合条件；当时，，不符合条件；当时，，不符合条件.综上，在区间上，有三个解，即函数的零点个数为3.故选：D14．A【分析】根据矩形的周长可列出之间的关系式，求出x的范围，即得答案.【详解】由题意可得，则，其中，则，则，故矩形的长关于宽的函数解析式为.故选：A15．C【分析】密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算即可.【详解】已知甲能破译密码的概率为，则甲不能破译密码的概率为，已知乙能破译密码的概率为，则乙不能破译密码的概率为，密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译，所以密码不能被成功破译的概率为.故选：C16．B【分析】先研究函数的单调性，再判断零点的个数，最后分析的解即可求出．【详解】因为在R上单调递增，在R上单调递增，所以在R上单调递增，最多只有一个零点，又因为，所以函数的零点为．故选：B．17．D【分析】利用对数、指数函数单调性分析即可．【详解】对数函数单调递增，故，又因为指数函数单调递增，故．所以.故选：D．18．B【分析】先根据频率分布直方图的性质，求得的值，再根据样本中成绩在区间内的频率参赛的人数即可.【详解】由频率分布直方图可知，解得，所以成绩在区间内的学生有名.故选：B.19．/0.5【分析】根据两角和的余弦公式即可求得．【详解】根据两角和的余弦公式可知．故答案为：．20．/0.2【分析】连接，先证明，可得（或其补角）为直线和所成角，进而结合余弦定理求解即可.【详解】连接，在正方体中，因为是的中点，是的中点，所以，，则，，所以四边形为平行四边形，则，所以（或其补角）为直线和所成角，设正方体的棱长为2，则，所以，在中，由余弦定理得，则异面直线和所成角的余弦值为.故答案为：.

21．直角【分析】设，，则，由勾股定理逆定理可得结论.【详解】，设，，则，故，所以为直角三角形故答案为：直角22．9【分析】根据给定函数模型，代入列式计算得解.【详解】依题意，，则，解得，，则，解得，所以.故答案为：923．(1)点为的中点；(2)【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求解；（2）利用线面垂直的判定定理证得平面，可得，找到线面角为，从而求解.【详解】（1）在正三棱柱中，取的中点为P,连接,因为D为中点，所以,且，所以四边形为平行四边形，故，又因为平面，平面，所以平面，故P为中点.（2）设直线与平面所成的角为，在正三角形中，，其中为中点.则，.在正三棱柱中，平面，平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面，平面，所以.所以为直线与平面所成的角；则.24．(1)(2)【分析】（1）通过三角恒等式、诱导公式、二倍角公式以及降幂公式进行化简，代入即可.（2）求解零点的分布，解得通解，再分析解的分布即可.【详解】（1）化简函数，利用恒等式，，，得到：，当时，，在的值域为，所以若，函数的值域为.（2）令，解得，则或，即或，在