【高考模拟】云南省大理州2025-2026学年高三上学期第一次复习统一检测数学试卷（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页云南省大理州2025-2026学年高三上学期第一次复习统一检测数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数z满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．13．若向量，，且，则（

）A．1 B．0 C． D．4．在等比数列中，，则（

）A．36 B． C． D．65．下列说法中错误的是（

）A．若，则B．若，，则C．越接近于1，相关性越强D．越接近于0，相关性越弱6．若圆与双曲线（，）的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．27．若函数与函数（，）图象的对称中心完全一致，则（

）A． B． C． D．8．在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．设，.下列各项中，能推出的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且10．的展开式中，则（

）A．含项的系数为40 B．第3项与第4项的二项式系数相等C．所有项的二项式系数之和为32 D．所有项的系数之和为3211．已知抛物线C：，过焦点F的直线与C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的有（

）A．当时，B．存在弦AB，使得AB中点的坐标为C．AB的中点到准线的距离小于D．当直线AB的斜率时，三、填空题12．若，则.13．已知是等差数列的前n项和，若，，则数列的前2026项和为.14．一个袋子中有形状、大小完全相同的个小球，标号分别为，从中有放回地随机取球，每次取个，共取次，将每次取出球的标号数字依次记为，则的概率是.四、解答题15．在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且△ABC外接圆半径为.(1)求角B的大小；(2)求△ABC周长的取值范围.16．如图，在四棱锥中，四边形是梯形，其中，，，，平面平面.

(1)证明：平面，(2)若，求平面和平面夹角的正弦值.17．在2025年春晚《秧BOT》机器人节目中，有16个机器人参与表演.该人工智能机器人团队将传统艺术与现代科技完美融合，表演非物质文化遗产“转手绢”并完成复杂队形变换.这一创新表演不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新.某项研究表明，每个机器人独立完成转手绢动作成功的概率为0.8.在队形变换环节，机器人的表现存在差异：每个机器人若转手绢成功，则其队形变换成功的概率为0.9；若转手绢失败，则队形变换成功的概率为0.6.(1)若从该团队中随机抽取3个机器人调查研究，记X为成功完成转手绢动作的机器人个数，求X的分布列及数学期望；(2)若随机抽取一个机器人，已知其队形变换成功，求它转手绢成功的概率.18．已知椭圆（）的左右焦点分别为，，离心率，且过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点C，D和E，F.若M，N分别是线段CD和EF的中点.（ⅰ）直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由.（ⅱ）求面积的最大值.19．已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：曲线是中心对称图形；(3)令，若存在，且，使得且，求实数a的取值范围.《云南省大理州2025-2026学年高三上学期第一次复习统一检测数学试卷》参考答案题号12345678910答案DCADBABABDABC题号11答案ACD1．D【分析】利用集合的运算法则可得答案.【详解】由，，则，故.故选：D2．C【分析】设复数，即可求出，再根据复数相等的充要条件得到方程组，求出、，即可求出，从而判断即可.【详解】设复数，所以，又，所以，即，所以，解得，所以，则的虚部为.故选：C3．A【分析】运用向量坐标运算，垂直坐标公式，列方程计算即可.【详解】由，得．，，即，解得.故选：A.4．D【分析】根据等比数列的性质，，结合可得，再利用即可求解，注意等比数列奇数项、偶数项的符合分别相同.【详解】，则，又，解得，因为，所以.故选：D.5．B【分析】根据正态分布以及相关系数的概念直接判断即可.【详解】对于A，根据正态分布的对称性可知，，故A说法正确；对于B，根据正态分布的对称性可知，，故B说法错误；对于CD，相关系数越接近于0，相关性越弱，相关系数越接近于1，相关性越强，故CD说法正确.故选：B6．A【分析】由圆与渐近线相切得到，进而求出离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，不妨取其中一条渐近线，即，则，即，∴.故选：A.7．B【分析】根据题意，可算出与的周期相等，由此可求出，然后根据正弦曲线、正切曲线的对称性，分别求出两个函数图象的对称中心，建立关于的等式，进而求出满足条件的值.【详解】因为函数，的相邻对称中心的距离都是半个周期，且函数与函数图象的对称中心完全一致，故函数与的周期相等，又函数的周期，∴，∴，∴，令（），故（），令（），则（），故（，），解得（，），又，所以.故选：.8．A【分析】取的中点，由直角三角形性质可得，则点就是球心，再利用线面垂直的性质定理可得平面，从而可结合三棱锥体积公式计算即可得.【详解】如图，取的中点，连接，，因为，，所以，因此点就是球心，又，故是等腰直角三角形，所以，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，设球半径为，则，，则，，所以三棱锥的体积，所以，所以球的表面积为.

故选：A.9．BD【分析】根据指数函数的单调性逐项判断即可.【详解】当时，指数函数为增函数，，A错B对；当时，指数函数为减函数，，对于D选项，当时，，则，所以C选项无法推出，D选项可推出，C错D对.故选：BD.10．ABC【分析】对于A、B选项，直接根据二项式展开式的通项公式进行求解，并判断选项正误即可；对于C选项，根据所有项的二项式系数之和为进行求解即可；对于D选项，通过赋值法，令即可求解所有项的系数之和.【详解】对于A，的展开式中含的项为，故的系数为40，A正确；对于B，的展开式中第3项与第4项的二项式系数分别为，，二项式系数相等，B正确；对于C，所有项的二项式系数之和为，C正确；对于D，令，所有项的系数之和为，D错误.故选：ABC11．ACD【分析】对于A选项，通过求的坐标可判断结果；对于B选项，利用中点坐标求的值，进而用验证，可判断B选项；对于选项C，先画出图象，结合抛物线段定义可判断C选项；对于D选项，解题题意，结合韦达定理利用的范围可求的取值范围，可判断D选项.【详解】由题意知，焦点，准线方程为直线，令，.对于A，当时，由对称性，不妨取，，则，所以，故A正确.对于B，由抛物线的性质可知①.若存在弦AB，使得AB中点的坐标为，则，解得或，都不满足①式，故B错误.对于C，设AB的中点为E，过A，B，E分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，如图，则，而，所以，故C正确.对于D，由题意知直线AB的方程为，.联立抛物线方程，消去x得，则，，所以，因为，所以，因此，所以，故D正确.故选：ACD12．【分析】根据题意利用诱导公式和二倍角公式运算求解即可.【详解】因为，所以.故答案为：.13．【分析】根据题意，求得，得到，得到，结合裂项相消法求和，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，，可得，解得，所以，则，所以数列的前n项和为，所以数列的前2026项和为.故答案为：.14．【分析】首先确定从口袋中有放回地随机取次球的情况总数，采用列举的方式讨论所有的情况，结合组合数的运算可求得满足条件的基本事件个数，根据古典概型中概率的求法可求得结果.【详解】从口袋中有放回地随机取次球，每次取个，则共有（种）情况；①若，则等价于从任取个数，并按照从大到小的顺序赋给，则包含的基本事件个数为（个）；②若，则等价于从中任取个数，并将取得的较大数赋于，较小数赋于，则包含的基本事件个数为（个）；③若，则等价于从中任取个数，并将取得的较大数赋于，较小数赋于，则包含的基本事件个数为（个）；④若，则等价于从中任取个数，并将其赋于，则包含的基本事件个数为（个）；满足的基本事件个数共有：（个），所求概率.故答案为：.15．(1)(2).【分析】（1）由，利用正弦定理，可得，由余弦定理求出，从而得到的值.（2）由正弦定理得的值，将进行边化角，得到，由△ABC为锐角三角形得到，结合正弦函数的性质得到的范围，从而得到△ABC周长的取值范围.【详解】（1）∵，由正弦定理，可得，即.由余弦定理，可得，又∵，∴.（2）由正弦定理，可得，，∵△ABC为锐角三角形，可得，即，解得，∴，∴，∴，即，△ABC周长的取值范围为.16．(1)证明见解析(2).【分析】（1）由勾股定理可证得，根据面面垂直的性质证明即可.（2）建立空间直角坐标系，根据面面角向量法求解即可.【详解】（1）因为，，所以，因为，所以为正三角形，又因为，所以，，在△ABD中，，所以，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面；（2）因为平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面，如图，以为原点，分别以为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则，，，，，设平面的一个法向量为，所以，所以，取，则，，所以，取平面的一个法向量为，设平面和平面夹角大小为，则，，所以平面和平面夹角的正弦值为.17．(1)分布列见解析，2.4(2)【分析】（1）根据二项分布的知识求得分布列并求得数学期望.（2）根据全概率公式、条件概率公式计算求得机器人转手绢成功的概率.【详解】（1）由题意得，，其分布列为：，，1，2，3.X的分布列为：X0123P0.0080.0960.3840.512数学期望为.（2）设事件A为“一个机器人转手绢成功”，事件B为“一个机器人队形变换成功”.根据题意，，.18．(1)(2)（ⅰ）直线MN过的定点为.（ⅱ）.【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可求解；（2）（ⅰ）设直线为，直线为，联立方程组，分别求得和，得出直线MN的方程，进而得到MN过的定点.（ⅱ）由MN过的定点为，求得，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）解：因为椭圆的离心率，且过点，可得且，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）解：（ⅰ）由（1）知，椭圆，可得，设直线的方程为，的方程为，且，，联立方程组，整理得，所以，，因为为的中点，所以，，即，同理可得，直线MN的方程为，即，所以直线MN过的定点为.（ⅱ）由MN过的定点为，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的面积最大值为.19．(1)；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程；（2）根据解析式求得，即可证；（3）设，则，，，问题化为函数在区间上有零点，再利用导数研究函数的零点求参数范围.【详解】（1）由，则切点为，因为，所以切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）由题意知，函数的定义域为，因为，所以曲线的对称中心