系数符号变化对形如微分方程y‘’+ay=bx+csinx通解的影响详解A8

微分方程y''±169y=±278x±279sin156x符号变化对通解的影响主要内容：根据二阶常系数非齐次线性方程的求解法则，本文以y''+169y=278x+279sin156x,y''+169y=278x-279sin156x,y''-169y=278x-279sin156x，y''-169y=278x+279sin156x,y''+169y=-278x+279sin156x,y''+169y=-278x-279sin156x,y''-169y=-278x-279sin156x，y''-169y=-278x+279sin156x,共八个微分方程为例，介绍运算符号对微分方程通解的影响。微分方程y''+169y=278x+279sin156x通解的计算解：微分方程y''+169y=278x+279sin156x的特征方程为：r2+169=0，即：r=±13i，则二阶常系数齐次线性微分方程y''+169y=0的通解y1为：y1=C1cos13x+C2sin13x.设所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos156x+a3sin156x,则：y´=a1-156a2sin156x+156a3cos156x,y''=-1562a2cos156x-1562a3sin156x,代入微分方程得：-1562a2cos156x-1562a3sin156x+169a1x+169a2cos156x+169a3sin156x=278x+279sin156x，169a1x+(169-1562)a2cos156x+(169-1562)a3sin156x=278x+279sin156x，根据对应系数相等，得：169a1=278，a2=0，(169-1562)a3=279,解出：a1=eq\f(278,169)，a2=0，a3=-eq\f(279,24167)，所以微分方程的通解为：y=y1+y2=C1cos13x+C2sin13x+eq\f(278,169)x-eq\f(279,24167)sin156x。微分方程y''+169y=278x-279sin156x通解的计算解：微分方程y''+169y=278x-279sin156x的特征方程为：r2+169=0，即：r=±13i，则二阶常系数齐次线性微分方程y''+169y=0的通解y1为：y1=C1cos13x+C2sin13x.设所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos156x+a3sin156x,则：y´=a1-156a2sin156x+156a3cos156x,y''=-1562a2cos156x-1562a3sin156x,代入微分方程得：-1562a2cos156x-1562a3sin156x+169a1x+169a2cos156x+169a3sin156x=278x-279sin156x，169a1x+(169-1562)a2cos156x+(169-1562)a3sin156x=278x-279sin156x，根据对应系数相等，得：169a1=278，a2=0，(169-1562)a3=-279,解出：a1=eq\f(278,169)，a2=0，a3=eq\f(279,24167)，所以微分方程的通解为：y=y1+y2=C1cos13x+C2sin13x+eq\f(278,169)x+eq\f(279,24167)sin156x。微分方程y''-169y=278x-279sin156x通解的计算解：微分方程y''-169y=278x-279sin156x的特征方程为：r2-169=0，即：r=±13，则二阶常系数齐次线性微分方程y''-169y=0的通解y1为：y1=C1e13x+C2e-13x.设所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos156x+a3sin156x,则：y´=a1-156a2sin156x+156a3cos156x,y''=-1562a2cos156x-1562a3sin156x,代入微分方程得：-1562a2cos156x-1562a3sin156x+169a1x+169a2cos156x+169a3sin156x=278x-279sin156x，169a1x+(169-1562)a2cos156x+(169-1562)a3sin156x=278x-279sin156x，根据对应系数相等，得：169a1=278，a2=0，(169-24336)a3=-279,解出：a1=eq\f(278,169)，a2=0，a3=eq\f(279,24167)，所以微分方程的通解为：y=y1+y2=C1e13x+C2e-13x+eq\f(278,169)x+eq\f(279,24167)sin156x。微分方程y''-169y=278x+279sin156x通解的计算解：微分方程y''-169y=278x+279sin156x的特征方程为：r2-169=0，即：r=±13，则二阶常系数齐次线性微分方程y''-169y=0的通解y1为：y1=C1e13x+C2e-13x.设所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos156x+a3sin156x,则：y´=a1-156a2sin156x+156a3cos156x,y''=-1562a2cos156x-1562a3sin156x,代入微分方程得：-1562a2cos156x-1562a3sin156x+169a1x+169a2cos156x+169a3sin156x=278x+279sin156x，169a1x+(169-1562)a2cos156x+(169-1562)a3sin156x=278x+279sin156x，根据对应系数相等，得：169a1=278，a2=0，(169-24336)a3=279,解出：a1=eq\f(278,169)，a2=0，a3=-eq\f(279,24167)，所以微分方程的通解为：y=y1+y2=C1e13x+C2e-13x+eq\f(278,169)x-eq\f(279,24167)sin156x。微分方程y''+169y=-278x+279sin156x通解的计算解：微分方程y''+169y=-278x+279sin156x的特征方程为：r2+169=0，即：r=±13i，则二阶常系数齐次线性微分方程y''+169y=0的通解y1为：y1=C1cos13x+C2sin13x.设所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos156x+a3sin156x,则：y´=a1-156a2sin156x+156a3cos156x,y''=-1562a2cos156x-1562a3sin156x,代入微分方程得：-1562a2cos156x-1562a3sin156x+169a1x+169a2cos156x+169a3sin156x=278x+279sin156x，169a1x+(169-1562)a2cos156x+(169-1562)a3sin156x=-278x+279sin156x，根据对应系数相等，得：169a1=-278，a2=0，(169-1562)a3=279,解出：a1=-eq\f(278,169)，a2=0，a3=-eq\f(279,24167)，所以微分方程的通解为：y=y1+y2=C1cos13x+C2sin13x-eq\f(278,169)x-eq\f(279,24167)sin156x。微分方程y''+169y=-278x-279sin156x通解的计算解：微分方程y''+169y=-278x-279sin156x的特征方程为：r2+169=0，即：r=±13i，则二阶常系数齐次线性微分方程y''+169y=0的通解y1为：y1=C1cos13x+C2sin13x.设所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos156x+a3sin156x,则：y´=a1-156a2sin156x+156a3cos156x,y''=-1562a2cos156x-1562a3sin156x,代入微分方程得：-1562a2cos156x-1562a3sin156x+169a1x+169a2cos156x+169a3sin156x=-278x-279sin156x，169a1x+(169-1562)a2cos156x+(169-1562)a3sin156x=-278x-279sin156x，根据对应系数相等，得：169a1=-278，a2=0，(169-1562)a3=-279,解出：a1=-eq\f(278,169)，a2=0，a3=eq\f(279,24167)，所以微分方程的通解为：y=y1+y2=C1cos13x+C2sin13x-eq\f(278,169)x+eq\f(279,24167)sin156x。微分方程y''-169y=-278x-279sin156x通解的计算解：微分方程y''-169y=-278x-279sin156x的特征方程为：r2-169=0，即：r=±13，则二阶常系数齐次线性微分方程y''-169y=0的通解y1为：y1=C1e13x+C2e-13x.设所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos156x+a3sin156x,则：y´=a1-156a2sin156x+156a3cos156x,y''=-1562a2cos156x-1562a3sin156x,代入微分方程得：-1562a2cos156x-1562a3sin156x+169a1x+169a2cos156x+169a3sin156x=278x-279sin156x，169a1x+(169-1562)a2cos156x+(169-1562)a3sin156x=-278x-279sin156x，根据对应系数相等，得：169a1=-278，a2=0，(169-1562)a3=-279,解出：a1=-eq\f(278,169)，a2=0，a3=eq\f(279,24167)，所以微分方程的通解为：y=y1+y2=C1e13x+C2e-13x-eq\f(278,169)x+eq\f(279,24167)sin156x。微分方程y''-169y=-278x+279sin156x通解的计算解：微分方程y''-169y=-278x+279sin156x的特征方程为：r2-169=0，即：r=±13，则二阶常系数齐次线性微分方程y''-169y=0的通解y1为：y1=C1e13x+C2e-13x.设所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos156x+a3sin156x,则：y´=a1-156a2sin156x+156a3cos156x,y''=-1562a2cos156x-1562a3sin156x,代入微分方程得：-1562a2cos156x-1562a3sin156x+169a1x+169a2cos156x+169a3sin156x=-278x+279sin156x，169a1x+(169-1562)a2cos156x+(169-1562)a3sin156x=-278x+279sin156x，根据对应系数相等，得：169a1=-278，a2=0，(169-1562)a3=279,解出：a1=-eq\f(278,169)，a2=0，a3=-eq\f(279,24167)，所以微分方程的通解为：y=y1+y2=C1e13x+C2e-13x-eq\f(278,169)x-eq\