2025年云南省江川二中数学高二第一学期期末调研模拟试题含解析

2025年云南省江川二中数学高二第一学期期末调研模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若是函数的一个极值点，则的极大值为（）A. B.C. D.2．某研究所为了研究近几年中国留学生回国人数的情况，对2014至2018年留学生回国人数进行了统计，数据如下表：年份20142015201620172018年份代码12345留学生回国人数/万36.540.943.348.151.9根据上述统计数据求得留学生回国人数（单位：万）与年份代码满足的线性回归方程为，利用回归方程预测年留学生回国人数为（）A.63.14万 B.64.72万C.66.81万 D.66.94万3．已知向量，，，若，则实数（）A. B.C. D.4．设圆：和圆：交于A，B两点，则线段AB所在直线的方程为（）A. B.C. D.5．已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.6．已知向量，且与互相垂直，则k=（）A. B.C. D.7．已知实数x，y满足，则的取值范围是（）A. B.C. D.8．若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（）A. B.C. D.9．已知条件，条件表示焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件10．直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆恰好经过椭圆的左焦点，则此椭圆的离心率为（）A B.C. D.11．已知两个向量，，且，则的值为（）A.-2 B.2C.10 D.-1012．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A.1 B.0C.−1 D.−3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于、两点，交C的准线于、两点.，，则C的焦点到准线的距离为____.14．已知数列的前项和为，且满足，，则___________.15．已知圆关于直线对称，则________16．已知实数x，y满足方程，则的最大值为_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点（1）若为等边三角形，求C的离心率；（2)如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围.18．（12分）如图，在正方体中，分别是，的中点.求证：（1）平面；（2）平面平面.19．（12分）已知直线l经过直线，的交点M（1）若直线l与直线平行，求直线l的方程；（2）若直线l与x轴，y轴分别交于A，两点，且M为线段AB的中点，求的面积（其中O为坐标原点）20．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.（1）求证：平面平面；（2）若，求异面直线与所成角余弦值；（3）在线段上是否存在一点，使二面角大小为?若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由.21．（12分）2021年10月16日，搭载“神舟十三号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻．某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取100人进行分析，得到下表（单位：人）：天文爱好者非天文爱好者合计女203050男351550合计5545100（1）能否有99%的把握认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？（2）现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为X，求X的分布列和数学期望附：，其中n=a+b+c+d0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82822．（10分）如图，矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线在x轴上方的曲线上，求矩形面积最大时的边长.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】先对函数求导，由已知，先求出，再令，并判断函数在其左右两边的单调性，从而确定极大值点，然后带入原函数即可完成求解.【详解】因为，，所以，所以，，令，解得或，所以当，，单调递增；时，，单调递减；当，，单调递增，所以的极大值为故选：D2、D【解析】先求出样本点的中心，代入线性回归方程即可求出，再将代入线性回归方程即可得到结果【详解】由题意知：，，所以样本点的中心为，所以，解得：，可得线性回归方程为，年对应的年份代码为，令，则，所以预测2022年留学生回国人数为66.94万，故选：D.3、C【解析】先根据题意求出，然后再根据得出，最后通过计算得出结果.【详解】因为，，所以，又，，所以，即，解得.故选：.【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算及向量垂直的相关性质，熟记运算法则即可，属于常考题型.4、A【解析】将两圆的方程相减，即可求两圆相交弦所在直线的方程.【详解】设，因为圆：①和圆：②交于A，B两点所以由①-②得：,即，故坐标满足方程，又过AB的直线唯一确定，即直线的方程为.故选：A5、B【解析】根据抛物线和写出焦点坐标，利用题干中的坐标相等，解出，结合从而求出答案.【详解】抛物线的焦点为，双曲线的，，所以，所以双曲线的右焦点为：，由题意，，两边平方解得，，则双曲线的渐近线方程为：.故选：B.6、C【解析】利用垂直的坐标表示列方程求解即可.【详解】由与互相垂直得，解得故选：C.7、B【解析】实数，满足，通过讨论，得到其图象是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图象分析可得的取值就是图象上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.【详解】因为实数，满足，所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的双曲线的一部分（含点），当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的椭圆的一部分，当时，其图象不存在，当时，其图象是位于第三象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：任意一点到直线的距离所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，双曲线，其中一条渐近线与直线平行，通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍，设与其图像在第一象限相切于点，由因为或（舍去）所以直线与直线的距离为此时，所以的取值范围是故选：B【点睛】三种距离公式：（1）两点间的距离公式：平面上任意两点间的距离公式为；（2）点到直线的距离公式：点到直线的距离;（3）两平行直线间的距离公式：两条平行直线与间的距离.8、B【解析】求得倾斜角的正切值即得【详解】k=tan120°=.故选：B9、A【解析】根据条件，求得a的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.【详解】因为条件表示焦点在x轴上的椭圆，所以，解得或，所以条件是条件q：或的充分不必要条件.故选：A10、D【解析】根据题意作出示意图，根据圆的性质以及直线的倾斜角求解出的长度，再根据椭圆的定义求解出的关系，则椭圆离心率可求.【详解】设椭圆的左右焦点分别为，如下图：因为以线段为直径的圆恰好经过椭圆的左焦点，所以且，所以，又因为的倾斜角为，所以，所以为等边三角形，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，故选：D.11、C【解析】根据向量共线可得满足的关系，从而可求它们的值，据此可得正确的选项.【详解】因为，故存在常数，使得，所以，故，所以，故选：C.12、B【解析】先画出可行域，由，得，作出直线，过点时，取得最大值，求出点的坐标代入目标函数中可得答案【详解】不等式组表示的可行域如图所示，由，得，作出直线，过点时，取得最大值，由，得，即，所以的最大值为，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可.【详解】解：设抛物线为y2＝2px，如图：，又，解得，设圆的半径为，，解得：p＝2，即C的焦点到准线的距离为：2.故答案为：2.14、【解析】当时，，可得，可得数列隔项成等比数列，即所以数列的奇数项和偶数项分别是等比数列，分别求和，即可得解.【详解】因为，，所以，当时，，∴，所以数列的奇数项和偶数项分别是等比数列，所以.故答案为：.15、1【解析】根据题意，圆心在直线上，进而求得答案.【详解】由题意，圆心在直线上，则.故答案为：1.16、##【解析】设，根据直线与圆的位置关系即可求出【详解】由于，设，所以点既在直线上，又在圆上，即直线与圆有交点，所以，，即故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；（2），a的取值范围为.【解析】（1）先连结，由为等边三角形，得到，，；再由椭圆定义，即可求出结果；（2）先由题意得到，满足条件的点存在，当且仅当，，，根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果.【详解】（1）连结，由等边三角形可知：在中，，，，于是，故椭圆C的离心率为；（2）由题意可知，满足条件的点存在，当且仅当，，，即①②③由②③以及得，又由①知，故；由②③得，所以，从而，故；当，时，存在满足条件的点.故，a的取值范围为.【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.18、证明见解析【解析】（1）连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）连接，，先由线面平行的判定定理，得到平面，再由（1）的结果，结合面面平行的判定定理，即可证明结论成立.【详解】（1）如图，连接.∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点.又∵是的中点，∴.∵平面，平面，∴平面.（2）连接，，∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点.又∵是中点，∴.∵平面平面，∴平面.由（1）知平面，且，∴平面平面.【点睛】本题主要考查证明线面平行与面面平行，熟记线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理即可，属于常考题型.19、（1）（2）4【解析】（1）求出两直线的交点M的坐标，设直线l的方程为代入点M的坐标可得答案；（2）设，，因为为线段AB的中点，可得，由的面积为可得答案.【小问1详解】由，得，所以点M坐标为，因为，则设直线l的方程为，又l过点，代入得，故直线l方程为.【小问2详解】设，，因为为线段AB的中点，则，所以，故，，则的面积为.20、（1）证明见解析；（2）；（3）存在，点在线段上位于靠近点的四等分点处.【解析】（1）证明平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值；（3）假设存在点，设，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，结合的取值范围可求得的值，即可得出结论.【小问1详解】证明：，，为的中点，则且，四边形为平行四边形，.，即，，又平面平面，平面平面，平面，平面平面，平面平面.【小问2详解】解：，为的中点，.平面平面，且平面平面，平面，平面.如图，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、、，，，则，，异面直线与所成角的余弦值为.【小问3详解】解：假设存在点，设，其中，所以，，且，设平面法向量为，所以，令，可得，由（2）知平面的一个法向量为，二面角为，则，整理可得，因，解得.故存在点，且点在线段上位于靠近点的四等分点处.21、（1）有（2）分布列见解析，【解析】（1）依题意由列联表计算出卡方，与参考数值比较，即可判断；（2）按照分层抽样得到有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”，记“天文爱好者”的人数为X，则X的可能值为0，1，2，即可求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望；【小问1详解】解：由题意，所以有99%的把握认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关.【小问2详解】解：抽取的100人中女性人群有50人，其