2025-2026学年浙江省六校联盟高一上学期10月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省六校联盟2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，得到，所以，又，所以，故选：C.2.命题，的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】因为命题，，所以其否定为：，.故选：A.3.设集合.，那么“且”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当且成立时，根据集合的交集定义可知：，当成立时，根据集合的交集定义可知：且，故“且”是“”的充分必要条件，故选：C.4.设，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】当时，不成立，故A错误；当时，不成立，故B错误；当时，不成立，故C错误；因为，由不等式性质知，故D正确.故选：D.5.已知，设：，：.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设集合，集合，因为p是q的充分不必要条件，所以是的真子集，则，解得.故选：C.6.已知函数，若，则实数的值等于（）A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】，据此结合题意分类讨论：当时，，由得，解得，舍去；当时，，由得，解得，满足题意.故选：A．7.19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数若函数，则下列实数中不属于函数值域的是（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】，因为，故A正确；因为，当是有理数时，即，即，与有理数矛盾，当是无理数时，即，即，与无理数矛盾，所以在有理数和无理数范围内均无解，故B错误；因为，故C正确；因为，故D正确.故选：B.8.用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】B【解析】，要使，则或.当时，，满足.当时，首先有两个不同的解或，其次，对于，，当时，或，当时，，，此时，满足.当时，，，此时，满足.当，即时，无解，不符合题意.当，即或时，的解为或，不是的解，由，解得，当时，，满足，当时，，满足，当时，，不符合题意.综上所述，.故选：B.二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.已知函数，若的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因为不等式的解集为，则，故B正确；可知相应的二次函数的图象开口向下，所以，所以A错误；由二次不等式可知的解集为，则，，所以C错误，D正确；故选：BD.10.已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（）A. B.若，则的值是或C.的值域为 D.的解集为【答案】AC【解析】对A：因为，则，故A正确；对B：当时，，解得（舍去），当时，，解得或（舍去），故B错误；对C：当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故C正确；对D：当时，，解得，当时，，解得，所以的解集为；故D错误故选：AC.11.若正实数满足，则下列说法正确的是（）A.有最大值B.有最小值C.有最大值为D.的最小值为【答案】ABD【解析】对于A，由正实数满足，得，当且仅当时取等号，正确；对于B，，当且仅当，即时取等号，正确；对于C，，根据二次函数性质，因为，所以当时，，不是，错误；对于D，，又，由，则，，所以，当且仅当时取等号，正确；故选：ABD.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知集合，，若，则实数的取值集合为_______.【答案】【解析】，，，当时，满足条件；当，即时，满足条件；当，即时，满足条件.故集合为.故答案为：.13.已知，则的最小值为__________.【答案】【解析】因为，所以，由，所以，因为，当且仅当，即当时取等号，所以有.所以当时，有最小值，故答案为：.14.定义在上的函数满足：，，则______.【答案】【解析】由题意令有：，令有：，又，所以，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，全集．（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围.解：（1）当时，集合，或，，解不等式得，，或或．（2），，若，，解得；若，，解得，又，，解得，时，，综上，实数a的取值范围为：．16.给定函数，，．（1）在图一的直角坐标系中画出函数，的图象；（2）观察图象，直接写出不等式的解；（3），用表示，中的较大者，记.例如，当时，.请在图二中画出函数的图象并求其解析式.解：（1）画出函数，的图象如图：（2）观察图象，可得不等式的解为或.（3）结合（1）可用图象法表示如图：由可得或，故.17.已知函数（1）若不等式的解集为R，求实数a的取值范围；（2）若，求关于的不等式的解集.解：（1）因即的解集为R，则，解得，即实数a的取值范围为.（2）不等式即，整理得：，分解因式可得：，因，则当时，，此时不等式的解集为；当时，不等式为，则其解集为；当时，，则不等式的解集为.18.据了解，某企业研发部原有100名技术人员，年人均投入50万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少人；（2）若技术人员在已知范围内调整后，必须要求研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求正整数m的最大值.解：（1）由题可得：，化简后可得：，结合，可得.故调整后的技术人员的人数x最多为65人；（2）由（1），研发人员的年总投入为：，技术人员的年总投入为：.由题可得：，化简后可得：，为使恒成立，则，由基本不等式，，当且仅当，即时取等号，则.结合为正整数，可得正整数m的最大值为5.19.柯西不等式在数学中有广泛应用，其二阶形式如下：对任意实数，有当时，等号成立．柯西不等式的三阶形式为对任意实数，有当时，等号成立.（1）证明二阶柯西不等式：（2）若求的最小值；（3）若，求的取值范围．解：（1），当且仅当，即时等号成立，．（2），，，，即，当且仅当时等号成立，结合解得，的最小值为3．（3）根据柯西不等式①，①式可化为，即，，，当且仅当，即时取等号，，，在上单调递增，，，时取最小值，此时，的取值范围为：．浙江省六校联盟2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，得到，所以，又，所以，故选：C.2.命题，的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】因为命题，，所以其否定为：，.故选：A.3.设集合.，那么“且”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当且成立时，根据集合的交集定义可知：，当成立时，根据集合的交集定义可知：且，故“且”是“”的充分必要条件，故选：C.4.设，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】当时，不成立，故A错误；当时，不成立，故B错误；当时，不成立，故C错误；因为，由不等式性质知，故D正确.故选：D.5.已知，设：，：.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设集合，集合，因为p是q的充分不必要条件，所以是的真子集，则，解得.故选：C.6.已知函数，若，则实数的值等于（）A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】，据此结合题意分类讨论：当时，，由得，解得，舍去；当时，，由得，解得，满足题意.故选：A．7.19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数若函数，则下列实数中不属于函数值域的是（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】，因为，故A正确；因为，当是有理数时，即，即，与有理数矛盾，当是无理数时，即，即，与无理数矛盾，所以在有理数和无理数范围内均无解，故B错误；因为，故C正确；因为，故D正确.故选：B.8.用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】B【解析】，要使，则或.当时，，满足.当时，首先有两个不同的解或，其次，对于，，当时，或，当时，，，此时，满足.当时，，，此时，满足.当，即时，无解，不符合题意.当，即或时，的解为或，不是的解，由，解得，当时，，满足，当时，，满足，当时，，不符合题意.综上所述，.故选：B.二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.已知函数，若的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因为不等式的解集为，则，故B正确；可知相应的二次函数的图象开口向下，所以，所以A错误；由二次不等式可知的解集为，则，，所以C错误，D正确；故选：BD.10.已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（）A. B.若，则的值是或C.的值域为 D.的解集为【答案】AC【解析】对A：因为，则，故A正确；对B：当时，，解得（舍去），当时，，解得或（舍去），故B错误；对C：当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故C正确；对D：当时，，解得，当时，，解得，所以的解集为；故D错误故选：AC.11.若正实数满足，则下列说法正确的是（）A.有最大值B.有最小值C.有最大值为D.的最小值为【答案】ABD【解析】对于A，由正实数满足，得，当且仅当时取等号，正确；对于B，，当且仅当，即时取等号，正确；对于C，，根据二次函数性质，因为，所以当时，，不是，错误；对于D，，又，由，则，，所以，当且仅当时取等号，正确；故选：ABD.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知集合，，若，则实数的取值集合为_______.【答案】【解析】，，，当时，满足条件；当，即时，满足条件；当，即时，满足条件.故集合为.故答案为：.13.已知，则的最小值为__________.【答案】【解析】因为，所以，由，所以，因为，当且仅当，即当时取等号，所以有.所以当时，有最小值，故答案为：.14.定义在上的函数满足：，，则______.【答案】【解析】由题意令有：，令有：，又，所以，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，全集．（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围.解：（1）当时，集合，或，，解不等式得，，或或．（2），，若，，解得；若，，解得，又，，解得，时，，综上，实数a的取值范围为：．16.给定函数，，．（1）在图一的直角坐标系中画出函数，的图象；（2）观察图象，直接写出不等式的解；（3），用表示，中的较大者，记.例如，当时，.请在图二中画出函数的图象并求其解析式.解：（1）画出函数，的图象如图：（2）观察图象，可得不等式的解为或.（3）结合（1）可用图象法表示如图：由可得或，故.17.已知函数（1）若不等式的解集为R，求实数a的取值范围；（2）若，求关于的不等式的解集.解：（1）因即的解集为R，则，解得，即实数a的取值范围为.（2）不等式即，整理得：，分解因式可得：，因，则当时，，此时不等式的解集为；当时，不等式为，则其解集为；当时，，则不等式的解集为.18.据了解，某企业研发部原有100名技术人员，年人均投入50万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少人；（2）若技术人员在已知范围内调整后，必须要求研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求正整数m的最大值.解：（1）由题可得：，化简后可得：，结合，可得.故调整后的技术人员的人数x最多为65人；（2）由（1），研发人员的年总投入为：，技术人员的年总投