2026届辽宁省七校协作体高三上学期期初联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省七校协作体2026届高三上学期期初联考数学试题考试时间：120分钟满分150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知全集，集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，全集，故.故选：C.2.“成立”是“成立”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由得或由，得且，所以“成立”是“成立”的必要不充分条件，故选：B．3.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以.即，可得，解得.故选：D.4.根据中国报告大厅对2023年3月—10月全国太阳能发电量进行监测统计，太阳能发电量（亿千瓦时）月度数据统计如下表，则（）月份345678910发电量242.94230.87240.59259.33258.9269.19246.06244.31A.中位数是259.115 B.极差是36.32C.第85百分位数是257.33 D.第25百分位数是241.765【答案】D【解析】将数据从小到大排序可得230.87，240.59，242.94，244.31，246.06，258.9，259.33，269.19，共8个数据，所以中位数是，A错误；极差是，B错误；因为，所以第85百分位数是第7个数，即259.33，C错误；因为，所以第25百分位数是，D正确．故选：D.5.记为事件A的对立事件，且，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，，因为，得，则.故选：C.6.已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（）A.e B.1 C. D.【答案】D【解析】因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立．令，则在上恒成立，所以在区间上单调递减，所以，故．故选：D.7.已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2026【答案】B【解析】数列中，满足，当时，可得，两式相减，可得，即，所以，又由，则.故选：B.8.已知在上恒成立，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，则，为增函数，故，即解集为.故选：B．二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（）A.P(X＞32)＞P(Y＞32)B.P(X≤36)＝P(Y≤36)C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车【答案】BCD【解析】A，由条件可知，，根据对称性可知，故A错误；B，,，所以，故B正确；C，=，所以，故C正确；D，，，所以，故D正确.故选：BCD.10.等差数列的前n项和为，已知，，则下列选项中正确的是（）A.， B.等差数列的公差C.使成立的n最小为10 D.当时，取得最小值【答案】BC【解析】对于A选项，因数列为等差数列，，则，且，则，所以，A错误；对于B选项，由A知，则，则，则公差，B正确；对于C选项，由，得或，因为n为正整数，所以n最小值为10，C正确；对于D选项，因为n为正整数，所以D错误.故选：BC.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若，，则在单调递减B.若，则C.若，则有最小值D.若有解，则实数c的最小值为－1【答案】BCD【解析】易得，对于A，若，，则，，当时，，则在单调递增，A错误；对于B，若，则，，当时，单减，当时，单增，则，B正确；对于C，，令，，显然，设两根为，则，两根异号，不妨设，则当时，单减，当时，单增，则有最小值，C正确；对于D，有解，等价于有解，令，则，当时，单减，当时，单增，则，则，则实数c的最小值为－1，D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知离散型随机变量X的分布列如下表：若离散型随机变量，则_______.X0123Pa5a【答案】【解析】由分布列的性质可知：解得，由，等价于，由表可知；故答案为：.13.已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则_________．【答案】【解析】因为，所以，，因为在公共点处有相同的切线，所以即，所以故答案为：.14.若数列满足（，d为常数），则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为______.【答案】【解析】因为数列为调和数列，所以，故为等差数列．由，得，所以，所以，故，故，当且仅当或时取等号，由于，当且仅当时取得最大值，故的最大值为．故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.数列中，，满足.（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）证明：由，得，又，所以是首项为，公比为的等比数列.（2）解：由（1）得（，.所以.16.设函数，函数.（1）若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围；（2）若存在，使得成立，求实数的最大值.【答案】解：（1）对于任意的，总存在，使得，即，其中，，当且仅当，即时，等号成立，故，因为是减函数，所以当时，，所以，解得.（2）时，可得，，即，因为，分离参数可得，由题意，不等式在存在解集，则因为，当且仅当，即时等号成立，所以，解得，所以的最大值为1.17.已知．（1）若，求不等式的解集；（2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；【答案】解：（1）因为，故，故，故，故即为，设，则，故在上为增函数，而即为，故，故原不等式的解为.（2）在有极大值即为有极大值点.，若，则时，，时，，故为的极小值点，无极大值点，故舍；若即，则时，，时，，故为的极大值点，符合题设要求；若，则时，，无极值点，舍；若即，则时，，时，，故为的极大值点，符合题设要求；综上，且.18.有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是（有放回摸球）每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是（不放回摸球）每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y．（1）若，（ⅰ）求随机变量Y的分布列和数学期望；（ⅱ）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小．（2）若，当取得最大时的k值满足（，），若函数与有两个不同的公共点，求a的取值范围．【答案】解：（1）（ⅰ）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，可取0，1，2，3，4，，；；；；；服从超几何分布，的分布列为：01234，所以；（ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，，则；；；故，由（ⅰ）可知，因为，所以；（2）当，则，若最大，则，即，得又，，故，，由题得方程有两个不相等的正实根，两边取对数得有两个不相等的正实根，构造函数，求导得，令，解得；当时，；当时，；易知在单调递增，在单调递减，且，可知的图象如下图所示：由数形结合得，，所以.19.已知函数，其中，e为自然对数的底数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数存在极小值点，且，求实数a的取值范围；（3）若函数有两个零点，，求证：.【答案】（1）解：当时，，可知的定义域为，且，设，则，可知在单调递增，且，当时，，即；当时，，即；所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）解：由题意可知：的定义域为，且，设，则，可知在单调递增，因为函数存在极小值点，所以在存在零点，即，可得.则，可得，设，且，当，，则；当，，则.可得，，所以实数a的取值范围为.（3）证明：令，可得，由题意可得：，构建，则，不妨设，可得，令，解得；令，解得；可知函数在上单调递增，在上单调递减，且，可得，构建，，则，可知函数在上单调递增，则，即，则，且，又因为在上单调递减，所以，即.辽宁省七校协作体2026届高三上学期期初联考数学试题考试时间：120分钟满分150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知全集，集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，全集，故.故选：C.2.“成立”是“成立”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由得或由，得且，所以“成立”是“成立”的必要不充分条件，故选：B．3.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以.即，可得，解得.故选：D.4.根据中国报告大厅对2023年3月—10月全国太阳能发电量进行监测统计，太阳能发电量（亿千瓦时）月度数据统计如下表，则（）月份345678910发电量242.94230.87240.59259.33258.9269.19246.06244.31A.中位数是259.115 B.极差是36.32C.第85百分位数是257.33 D.第25百分位数是241.765【答案】D【解析】将数据从小到大排序可得230.87，240.59，242.94，244.31，246.06，258.9，259.33，269.19，共8个数据，所以中位数是，A错误；极差是，B错误；因为，所以第85百分位数是第7个数，即259.33，C错误；因为，所以第25百分位数是，D正确．故选：D.5.记为事件A的对立事件，且，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，，因为，得，则.故选：C.6.已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（）A.e B.1 C. D.【答案】D【解析】因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立．令，则在上恒成立，所以在区间上单调递减，所以，故．故选：D.7.已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2026【答案】B【解析】数列中，满足，当时，可得，两式相减，可得，即，所以，又由，则.故选：B.8.已知在上恒成立，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，则，为增函数，故，即解集为.故选：B．二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（）A.P(X＞32)＞P(Y＞32)B.P(X≤36)＝P(Y≤36)C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车【答案】BCD【解析】A，由条件可知，，根据对称性可知，故A错误；B，,，所以，故B正确；C，=，所以，故C正确；D，，，所以，故D正确.故选：BCD.10.等差数列的前n项和为，已知，，则下列选项中正确的是（）A.， B.等差数列的公差C.使成立的n最小为10 D.当时，取得最小值【答案】BC【解析】对于A选项，因数列为等差数列，，则，且，则，所以，A错误；对于B选项，由A知，则，则，则公差，B正确；对于C选项，由，得或，因为n为正整数，所以n最小值为10，C正确；对于D选项，因为n为正整数，所以D错误.故选：BC.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若，，则在单调递减B.若，则C.若，则有最小值D.若有解，则实数c的最小值为－1【答案】BCD【解析】易得，对于A，若，，则，，当时，，则在单调递增，A错误；对于B，若，则，，当时，单减，当时，单增，则，B正确；对于C，，令，，显然，设两根为，则，两根异号，不妨设，则当时，单减，当时，单增，则有最小值，C正确；对于D，有解，等价于有解，令，则，当时，单减，当时，单增，则，则，则实数c的最小值为－1，D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知离散型随机变量X的分布列如下表：若离散型随机变量，则_______.X0123Pa5a【答案】【解析】由分布列的性质可知：解得，由，等价于，由表可知；故答案为：.13.已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则_________．【答案】【解析】因为，所以，，因为在公共点处有相同的切线，所以即，所以故答案为：.14.若数列满足（，d为常数），则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为______.【答案】【解析】因为数列为调和数列，所以，故为等差数列．由，得，所以，所以，故，故，当且仅当或时取等号，由于，当且仅当时取得最大值，故的最大值为．故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.数列中，，满足.（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）证明：由，得，又，所以是首项为，公比为的等比数列.（2）解：由（1）得（，.所以.16.设函数，函数.（1）若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围；（2）若存在，使得成立，求实数的最大值.【答案】解：（1）对于任意的，总存在，使得，即，其中，，当且仅当，即时，等号成立，故，因为是减函数，所以当时，，所以，解得.（2）时，可得，，即，因为，分离参数可得，由题意，不等式在存在解集，则因为，当且仅当，即时等号成立，所以，解得，所以的最大值为1.17.已知．（1）若，求不等式的解集；（2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；【答案】解：（1）因为，故，故，故，故即为，设，则，故在上为增函数，而即为，故，故原不等式的解为.（2）在有极大值即为有极大值点.，若，则时，，时，，故为的极小值点，无极大值点，故舍；若即，则时，，时，，故为的极大值点，符合题设要求；若，则时，，无极值点，舍；若即，则时，，时，，故为的极大值点，符合题设要求；综上，且.18.有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是（有放回摸球）每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是（不放回摸球）每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y．（1）若，（ⅰ）求随机变量Y的分布列和数学期望；（ⅱ）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖