2026届陕西省汉中市高三上学期第一次校际联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省汉中市2026届高三上学期第一次校际联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由集合，，得，故选：B.2.一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（）A.极差 B.中位数 C.平均数 D.众数【答案】C【解析】对于A，去掉最大值后，新极差为原次大值与最小值之差，若原次大值等于最大值，则极差不变，若原次大值不等于最大值，则极差改变，故A错误；对于B，去掉最大值后，中位数可能改变，可能不变，如原数据为，中位数为2，去掉3后，数据为，中位数还是2，故B错误；对于C，设原平均数为，且按照从小到大的顺序，假设去掉最大值后平均数不变，则，所以，解得，由于原数据不全相等，则，故矛盾，所以平均数一定改变，故C正确；对于D，众数不一定改变，如数据为，众数为2，去掉4后，众数仍为2，故D错误.故选：C.3.已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（）A.3 B. C.4 D.5【答案】A【解析】因为为抛物线的焦点，所以，设，因为，则，故到轴的距离为3.故选：A．4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解得，，小于表示的范围.所以，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.函数是（）A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数【答案】A【解析】∵函数，∴函数为最小正周期为的奇函数.故选：A.6.已知是等比数列的前项和，若，，则（）A.1028 B.1023 C.1024 D.1025【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由题意可得，解得，则.故选：B.7.若用长为4cm，宽为2cm的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为（）A.cm3 B.cm3 C.cm3 D.cm3【答案】D【解析】若圆柱的底面周长为4cm，则底面半径，，此时圆柱的体积，若圆柱的底面周长为2cm，则底面半径，，此时圆柱的体积∴圆柱的最大体积为cm3.故选：D．8.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.表格给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（）等级风速大小m/s名称21.1~3.3轻风33.4~5.4微风45.5~7.9和风58.0~10.1劲风A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风【答案】A【解析】由题意及图得，视风风速对应的向量为：，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，船速方向和船行风速的向量方向相反，设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，∴，船行风速：，∴，，∴由表得，真风风速为轻风，故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设数列是等差数列；公差为，是其前项和，且，则（）A. B.C.有最大值 D.有最小值【答案】ABC【解析】由是等差数列，且，故，A正确，，B正确，由于且，故，当时，，故当或8时，取最大值，无最小值，C正确，D错误，故选：ABC.10.已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是（）A. B.，C. D.方程有唯一实数解【答案】BC【解析】对于A，因为为偶函数，所以，故A错误；对于B，由偶函数在对称区间上的单调性是相反的可知，时，函数为增函数，所以，故B正确；对于C，由偶函数的对称性质可得1位于增区间，2位于减区间，所以，故C正确；对于D，由函数图象结合偶函数性质可知，函数的极值点最少有两个且不相同，所以方程最少有两个不同解，故D错误.故选：BC.11.已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，两点，直线与椭圆相交于，两点，则（）A.椭圆的焦距为2B.为定值C.当以，，，四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为D.直线和的斜率的乘积为【答案】ABD【解析】对于A，由，得到，可得椭圆C的焦距为2，故A正确；对于B，如图，设椭圆的左焦点为，连接由椭圆的对称性有，故B正确；对于C，由题意得，且，又因为四边形为平行四边形，有，可得点的坐标为，代入椭圆中，得到，解得，即的坐标为，则平行四边形的面积为，故C错误；对于D，由，设点的坐标分别为，代入椭圆中有．又由，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.复数的虚部为____________．【答案】【解析】由复数的运算法则，可得，所以复数的虚部为.故答案为：.13.若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为____________．【答案】【解析】是定义在上的奇函数，且当时，，所以，时，，时，，解得，时，，解得，故答案为：.14.已知，则的值为____________．【答案】【解析】由正弦的和差角公式得：，，代入方程：，得，得，解得：，利用倍角公式得：，

代入得：.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在锐角中，角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的周长.【答案】解：（1）由，利用正弦定理得，因为，所以.又因为为锐角，所以.（2）由，所以，又，即，则，即.又，所以.所以的周长为.16.已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点．（1）求双曲线的方程；（2）若的中点为，求直线的方程．【答案】解：（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则，解得，所以双曲线的方程为.（2）由（1）知，双曲线的方程为，设，，联立，化简得，则，且，，由为的中点，得，解得，，且满足，所以直线的方程为.17.如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面夹角的正弦值．【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接，，平面，平面，平面平面，为等边三角形，，又平面平面，平面，平面.，点为中点，，且，又，，，四边形是平行四边形，，平面.（2）解：由（1）可知平面，平面，，，两两垂直，故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.，，.设平面的法向量，则即令，则，，.设直线与平面的夹角为，则，直线与平面夹角的正弦值为.18.已知函数，其中．（1）求在处的切线方程；（2）求函数的极值；（3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．【答案】解：（1），，，且，在处的切线方程为：.（2）令，得或，当和时，，则函数单调递增；当时，，则函数单调递减，为函数的极大值点，极大值为；为函数的极小值点，极小值为.（3）根据题意关于的不等式在上有解，即在上有解，设，，，，由于，在上单调递增，，在上单调递减，，则，解得，实数的取值范围为.19.已知排球比赛的规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分.才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩：123456甲252127272325乙182525252517假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立．（1）估计甲队每局获胜的概率；（2）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分的概率分布列和数学期望；（3）如果甲、乙两队约定比赛2场，求两队积分相等的概率．【答案】解：（1）用频率估计概率，6局中甲共赢4局，则甲队每局获胜的概率为.（2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，，可得的分布列为：0123所以.（3）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A，设第场甲、乙两队积分分别为，，则，其中，因为两队积分相等，则，即，可得，又因为，，，，所以.

陕西省汉中市2026届高三上学期第一次校际联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由集合，，得，故选：B.2.一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（）A.极差 B.中位数 C.平均数 D.众数【答案】C【解析】对于A，去掉最大值后，新极差为原次大值与最小值之差，若原次大值等于最大值，则极差不变，若原次大值不等于最大值，则极差改变，故A错误；对于B，去掉最大值后，中位数可能改变，可能不变，如原数据为，中位数为2，去掉3后，数据为，中位数还是2，故B错误；对于C，设原平均数为，且按照从小到大的顺序，假设去掉最大值后平均数不变，则，所以，解得，由于原数据不全相等，则，故矛盾，所以平均数一定改变，故C正确；对于D，众数不一定改变，如数据为，众数为2，去掉4后，众数仍为2，故D错误.故选：C.3.已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（）A.3 B. C.4 D.5【答案】A【解析】因为为抛物线的焦点，所以，设，因为，则，故到轴的距离为3.故选：A．4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解得，，小于表示的范围.所以，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.函数是（）A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数【答案】A【解析】∵函数，∴函数为最小正周期为的奇函数.故选：A.6.已知是等比数列的前项和，若，，则（）A.1028 B.1023 C.1024 D.1025【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由题意可得，解得，则.故选：B.7.若用长为4cm，宽为2cm的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为（）A.cm3 B.cm3 C.cm3 D.cm3【答案】D【解析】若圆柱的底面周长为4cm，则底面半径，，此时圆柱的体积，若圆柱的底面周长为2cm，则底面半径，，此时圆柱的体积∴圆柱的最大体积为cm3.故选：D．8.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.表格给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（）等级风速大小m/s名称21.1~3.3轻风33.4~5.4微风45.5~7.9和风58.0~10.1劲风A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风【答案】A【解析】由题意及图得，视风风速对应的向量为：，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，船速方向和船行风速的向量方向相反，设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，∴，船行风速：，∴，，∴由表得，真风风速为轻风，故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设数列是等差数列；公差为，是其前项和，且，则（）A. B.C.有最大值 D.有最小值【答案】ABC【解析】由是等差数列，且，故，A正确，，B正确，由于且，故，当时，，故当或8时，取最大值，无最小值，C正确，D错误，故选：ABC.10.已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是（）A. B.，C. D.方程有唯一实数解【答案】BC【解析】对于A，因为为偶函数，所以，故A错误；对于B，由偶函数在对称区间上的单调性是相反的可知，时，函数为增函数，所以，故B正确；对于C，由偶函数的对称性质可得1位于增区间，2位于减区间，所以，故C正确；对于D，由函数图象结合偶函数性质可知，函数的极值点最少有两个且不相同，所以方程最少有两个不同解，故D错误.故选：BC.11.已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，两点，直线与椭圆相交于，两点，则（）A.椭圆的焦距为2B.为定值C.当以，，，四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为D.直线和的斜率的乘积为【答案】ABD【解析】对于A，由，得到，可得椭圆C的焦距为2，故A正确；对于B，如图，设椭圆的左焦点为，连接由椭圆的对称性有，故B正确；对于C，由题意得，且，又因为四边形为平行四边形，有，可得点的坐标为，代入椭圆中，得到，解得，即的坐标为，则平行四边形的面积为，故C错误；对于D，由，设点的坐标分别为，代入椭圆中有．又由，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.复数的虚部为____________．【答案】【解析】由复数的运算法则，可得，所以复数的虚部为.故答案为：.13.若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为____________．【答案】【解析】是定义在上的奇函数，且当时，，所以，时，，时，，解得，时，，解得，故答案为：.14.已知，则的值为____________．【答案】【解析】由正弦的和差角公式得：，，代入方程：，得，得，解得：，利用倍角公式得：，

代入得：.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在锐角中，角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的周长.【答案】解：（1）由，利用正弦定理得，因为，所以.又因为为锐角，所以.（2）由，所以，又，即，则，即.又，所以.所以的周长为.16.已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点．（1）求双曲线的方程；（2）若的中点为，求直线的方程．【答案】解：（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则，解得，所以双曲线的方程为.（2）由（1）知，双曲线的方程为，设，，联立，化简得，则，且，，由为的中点，得，解得，，且满足，所以直线的方程为.17.如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面夹角的正弦值．【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接，，平面，平面，平面平面，为等边三角形，，又平面平面，平面，平面.，点为中点，，且，又，，，四边形是平行四边形，，平面.（2）解：由（1）可知平面，平面，，，两两垂直，故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.，，.