2026届浙江省名校协作体高三上学期开学联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省名校协作体2026届高三上学期开学联考数学试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，，则.故选：D.2.已知为虚数单位，若，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，则，所以.故选：B.3.已知11位同学的身高（单位：cm）分别是167，172，172，175，178，178，182，185，186，188，190，则这组数据的第80百分位数是（）A.185 B.185.5C.186 D.186.5【答案】C【解析】因为，所以第80百分位数是从小到大第9个，所以为186.故选：C.4.的展开式中的系数为（）A. B.C.10 D.30【答案】A【解析】的展开式通项为，当第一个括号取1，第二个括号取含项时，展开式中的系数为；当第一个括号取，第二个括号取含项时，展开式中的系数为，故展开式中的系数为.故选：A5.已知向量.若向量在向量上的投影向量为，则（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】因为向量，所以.所以向量在向量上的投影向量为：.所以，解得.故选：B.6.已知，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，则（1），由，可得，所以（2），将（1）代入上式，，即，代入（2），可得，故.故选：B.7.已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第（）项.A.2026 B.2027 C.4048 D.4049【答案】A【解析】由，则，，，因此等差数列为递增数列，而，，则时，，，即；当时，，要使最小，则，此时，数列为递增数列，则随着的增大，增大，减小，增大，但，，则增大，因此，当时，最小.故选：A.8.已知函数，则在区间（）上一定存在极值点.A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，则，要使存在极值点，则一定有两个变号零点，可设，，则当时，函数开口向上，且，要使在上存在极值点，则，即，而的取值不确定，则在上不一定存在极值点；要使在上存在极值点，则，即，而的取值不确定，则在上不一定存在极值点；要使在上存在极值点，则或，即或，则，所以在上一定存在极值点；要使在上存在极值点，则或，即或，而的取值不确定，所以在上不一定存在极值点.同理，当时，函数开口向下，且，要使在上存在极值点，则，即，而的取值不确定，则在上不一定存在极值点；要使在上存在极值点，则，即，而的取值不确定，则在上不一定存在极值点；要使在上存在极值点，则或，即或，则，所以在上一定存在极值点；要使在上存在极值点，则或，即或，而的取值不确定，所以在上不一定存在极值点.综上所述，函数在一定存在极值点.故选：C.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列选项正确的是（）A.的最小正周期为B.在区间上单调递增C.在上存在个零点D.点是图像的一个对称中心【答案】ABD【解析】函数的最小正周期，故A选项正确.函数单调递增时，，.解得，取时，即是的单调增区间，而，故在区间上单调递增.故B选项正确.函数的零点，.解得，只有当或时，即或时，在区间内，所以在上存在个零点.故C选项错误.图像的对称中心，即函数的零点.，所以点是图像的一个对称中心.故D选项正确.故选：ABD.10.已知双曲线分别为其左、右焦点，为坐标原点，过作直线与双曲线两支和两条渐近线交于4个不同点，从左到右依次为，则下列选项正确的是（）A. B.C.若，则 D.若，则【答案】ABD【解析】由双曲线，则，则双曲线的渐近线方程为，且，如图，不妨设都在轴上方.对于A，由图可知，当直线趋近于轴时，此时最小，但此时直线与两条渐近线交于原点，不满足题意，则，故A正确；对于B，设直线的方程为，联立，得，则，且，则，则，，即中点为，联立，解得，，即，联立，解得，，即，则中点为，即为，所以中点即为中点，设为，则，所以，故B正确；对于C，因为渐近线方程为，则，由于，，所以，，则，故C错误；对于D，由B知，为中点，若，则，则，即，解得（负值舍去），则，则，故D正确.故选：ABD.11.如图，现有两种碎片各若干个，且两种碎片均由等大小的正三角形按图示拼凑而成.若一个大正三角形恰好分割成个碎片和个碎片，则可以是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】根据题意作图：由图观察可知，一个大正三角形可以拆成：个小正三角形，要想一个大正三角形恰好分割成个碎片和个碎片，显然需满足.观察得到碎片中有2个小正三角形，碎片中有3个小正三角形，若一个大正三角形恰好分割成个碎片和个碎片，则共有个小正三角形.当时，，则只能是，故为.每一排的小三角形个数均为奇数，由正三角形的对称性可知：每增加一排则至少增加1个碎片，∴，对于A选项，时，，即，满足条件，A选项正确；如图对于B选项，时，，不是完全平方数，B选项排除；对于C选项，时，，，如图满足条件，C选项正确；对于D选项，时，，，不满足条件，D选项错误；故选：AC.非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.抛物线的焦点坐标为_______________．【答案】【解析】抛物线中，∴焦点坐标为．故答案为：.13.已知正四棱台的上下底面边长分别为2、4，侧棱长为，则该正四棱台外接球的表面积为________________.【答案】【解析】如图，将正四棱台补形为正四棱锥，因为四棱台的上下底面边长分别为2、4，所以分别为的中点，所以，作正四棱锥的高，垂足为，则为正方形的中心，连接交于点，连接交于点，则，设该正四棱台外接球的球心为，半径为，根据对称性可知，在上，在中，，即，即，①在中，，即，即，②联立①②解得，，所以该正四棱台外接球的表面积为，故答案为：.14.已知且，若对于任意的，都有，则________________.【答案】【解析】，，，，，是等比数列，公比，首项为，，，，，，设，则，，，设，，的对称轴为，又在前后震荡，若对称轴在的左侧，则会总存在一个，使得，，等在对称轴的右侧且在附近左右摆动，就不满足对于任意的，都有成立，对称轴在的左侧不成立；若对称轴在的右侧，则会总存在一个，使得，，等在对称轴的左侧且在附近左右摆动，就不满足对于任意的，都有成立，对称轴在的右侧不成立；对称轴只能是，即，解得，，.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某商场推出购物抽奖活动，盒子里放有10个相同小球，其中4个红球，6个蓝球，顾客从盒中不放回地抽取3个球，若恰好抽到3个红球为一等奖，奖金为100元，恰好抽到2个红球为二等奖，奖金为50元，其余不设奖.（1）在抽取的前两个球为1个红球1个蓝球的条件下，则该次抽奖获得二等奖概率是多少？（2）求抽奖一次获得奖金的期望.【答案】解：（1）在抽取的前两个球为1个红球1个蓝球的条件下，要使该次抽奖获得二等奖，则抽取的第3个球一定为红球，而此时总共有8个球，其中有3个红球，5个蓝球，因此，在抽取的前两个球为1个红球1个蓝球的条件下，该次抽奖获得二等奖概率是.（2）设抽奖一次获得奖金为，则的取值为，所以，，则，则.16.如图，已知直角梯形绕旋转得到四边形，其中.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明：由题意，平面平面，，，因为平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，则，设平面的一个法向量为，则，取，得，易得平面的一个法向量为，所以，由图可知，二面角为锐二面角，则二面角的余弦值为.17.在中，分别是角所对的边，且满足.（1）求的大小；（2）点是边上一点，且满足，求的值.【答案】解：（1）因为,由正弦定理可得：.所以,由于在中，,所以,化简得：,由于，则不为0，则由于，所以.（2）由于,则,在中，由正弦定理可得：在中，由正弦定理可得：所以,由于满足，所以，由于在中，,所以,即，所以，所以,由于，则，所以则或,解得或，当时，，所以，当时，,不满足.综上，.18.已知椭圆过点.（1）求椭圆的方程；（2）斜率为1的直线与椭圆交于两点，点P坐标为，直线与椭圆的另一个交点为点M，直线PD与椭圆的另一个交点为点N.①已知点M坐标为，求点横坐标（用表示）；②过点作于点G，是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）由题意，，解得，所以椭圆的方程为.（2）①设直线的方程为，且，，即，联立，得，则，即，且，则，即点横坐标为.由①知，，，则，即，设，与①同理可得，则，则，设直线，则，则，又，则，则直线，所以直线过定点，则为中点时，则，，则，因此，存在定点，使得为定值.19.已知函数.（1）若，求函数的单调递减区间；（2）若存在实数b，使得函数有三个不同的零点.①求a的取值范围；②若成等差数列，求证：.【答案】（1）解：，定义域为，，令得，故的单调递减区间为；（2）①解：，即，故，有三个不同的零点，故有3个不同的正根，令，定义域为，则需有两个极值点，则需有两个不同的变号零点，令，则，令得，令得，令得，故在上单调递减，在上单调递增，又，，故当时，，又时，恒成立，故要想有两个不同的变号零点，需满足，此时存在实数b，使得有3个不同的正根，a的取值范围为；②证明：，即，，两式相加得，即，成等差数列，故，故，，故，即，又，故，故，即，，下面推导对数平均不等式，，，只需证，即证，令，只需证，令，，则恒成立，故在上单调递增，又，故，证毕，，又，故等号取不到，所以，即，所以，由①知，，故，证毕.浙江省名校协作体2026届高三上学期开学联考数学试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，，则.故选：D.2.已知为虚数单位，若，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，则，所以.故选：B.3.已知11位同学的身高（单位：cm）分别是167，172，172，175，178，178，182，185，186，188，190，则这组数据的第80百分位数是（）A.185 B.185.5C.186 D.186.5【答案】C【解析】因为，所以第80百分位数是从小到大第9个，所以为186.故选：C.4.的展开式中的系数为（）A. B.C.10 D.30【答案】A【解析】的展开式通项为，当第一个括号取1，第二个括号取含项时，展开式中的系数为；当第一个括号取，第二个括号取含项时，展开式中的系数为，故展开式中的系数为.故选：A5.已知向量.若向量在向量上的投影向量为，则（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】因为向量，所以.所以向量在向量上的投影向量为：.所以，解得.故选：B.6.已知，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，则（1），由，可得，所以（2），将（1）代入上式，，即，代入（2），可得，故.故选：B.7.已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第（）项.A.2026 B.2027 C.4048 D.4049【答案】A【解析】由，则，，，因此等差数列为递增数列，而，，则时，，，即；当时，，要使最小，则，此时，数列为递增数列，则随着的增大，增大，减小，增大，但，，则增大，因此，当时，最小.故选：A.8.已知函数，则在区间（）上一定存在极值点.A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，则，要使存在极值点，则一定有两个变号零点，可设，，则当时，函数开口向上，且，要使在上存在极值点，则，即，而的取值不确定，则在上不一定存在极值点；要使在上存在极值点，则，即，而的取值不确定，则在上不一定存在极值点；要使在上存在极值点，则或，即或，则，所以在上一定存在极值点；要使在上存在极值点，则或，即或，而的取值不确定，所以在上不一定存在极值点.同理，当时，函数开口向下，且，要使在上存在极值点，则，即，而的取值不确定，则在上不一定存在极值点；要使在上存在极值点，则，即，而的取值不确定，则在上不一定存在极值点；要使在上存在极值点，则或，即或，则，所以在上一定存在极值点；要使在上存在极值点，则或，即或，而的取值不确定，所以在上不一定存在极值点.综上所述，函数在一定存在极值点.故选：C.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列选项正确的是（）A.的最小正周期为B.在区间上单调递增C.在上存在个零点D.点是图像的一个对称中心【答案】ABD【解析】函数的最小正周期，故A选项正确.函数单调递增时，，.解得，取时，即是的单调增区间，而，故在区间上单调递增.故B选项正确.函数的零点，.解得，只有当或时，即或时，在区间内，所以在上存在个零点.故C选项错误.图像的对称中心，即函数的零点.，所以点是图像的一个对称中心.故D选项正确.故选：ABD.10.已知双曲线分别为其左、右焦点，为坐标原点，过作直线与双曲线两支和两条渐近线交于4个不同点，从左到右依次为，则下列选项正确的是（）A. B.C.若，则 D.若，则【答案】ABD【解析】由双曲线，则，则双曲线的渐近线方程为，且，如图，不妨设都在轴上方.对于A，由图可知，当直线趋近于轴时，此时最小，但此时直线与两条渐近线交于原点，不满足题意，则，故A正确；对于B，设直线的方程为，联立，得，则，且，则，则，，即中点为，联立，解得，，即，联立，解得，，即，则中点为，即为，所以中点即为中点，设为，则，所以，故B正确；对于C，因为渐近线方程为，则，由于，，所以，，则，故C错误；对于D，由B知，为中点，若，则，则，即，解得（负值舍去），则，则，故D正确.故选：ABD.11.如图，现有两种碎片各若干个，且两种碎片均由等大小的正三角形按图示拼凑而成.若一个大正三角形恰好分割成个碎片和个碎片，则可以是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】根据题意作图：由图观察可知，一个大正三角形可以拆成：个小正三角形，要想一个大正三角形恰好分割成个碎片和个碎片，显然需满足.观察得到碎片中有2个小正三角形，碎片中有3个小正三角形，若一个大正三角形恰好分割成个碎片和个碎片，则共有个小正三角形.当时，，则只能是，故为.每一排的小三角形个数均为奇数，由正三角形的对称性可知：每增加一排则至少增加1个碎片，∴，对于A选项，时，，即，满足条件，A选项正确；如图对于B选项，时，，不是完全平方数，B选项排除；对于C选项，时，，，如图满足条件，C选项正确；对于D选项，时，，，不满足条件，D选项错误；故选：AC.非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.抛物线的焦点坐标为_______________．【答案】【解析】抛物线中，∴焦点坐标为．故答案为：.13.已知正四棱台的上下底面边长分别为2、4，侧棱长为，则该正四棱台外接球的表面积为________________.【答案】【解析】如图，将正四棱台补形为正四棱锥，因为四棱台的上下底面边长分别为2、4，所以分别为的中点，所以，作正四棱锥的高，垂足为，则为正方形的中心，连接交于点，连接交于点，则，设该正四棱台外接球的球心为，半径为，根据对称性可知，在上，在中，，即，即，①在中，，即，即，②联立①②解得，，所以该正四棱台外接球的表面积为，故答案为：.14.已知且，若对于任意的，都有，则________________.【答案】【解析】，，，，，是等比数列，公比，首项为，，，，，，设，则，，，设，，的对称轴为，又在前后震荡，若对称轴在的左侧，则会总存在一个，使得，，等在对称轴的右侧且在附近左右摆动，就不满足对于任意的，都有成立，对称轴在的左侧不成立；若对称轴在的右侧，则会总存在一个，使得，，等在对称轴的左侧且在附近左右摆动，就不满足对于任意的，都有成立，对称轴在的右侧不成立；对称轴只能是，即，解得，，.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某商场推出购物抽奖活动，盒子里放有10个相同小球，其中4个红球，6个蓝球，顾客从盒中不放回地抽取3个球，若恰好抽到3个红球为一等奖，奖金为100元，恰好抽到2个红球为二等奖，奖金为50元，其余不设奖.（1）在抽取的前两个球为1个红球1个蓝球的条件下，则该次抽奖获得二等奖概率是多少？（2）求抽奖一次获得奖金的期望.【答案】解：（1）在抽取的前两个球为1个红球1个蓝球的条件下，要使该次抽奖获得二等奖，则抽取的第3个球一定为红球，而此时总共有8个球，其中有3个红球，5个蓝球，因此，在抽取的前两个球为1个红球1个蓝球的条件下，该次抽奖获得二等奖概率是.（2）设抽奖一次获得奖金为，则的取值为，所以，，则，则.16.如图，已知直角梯形绕旋转得到四边形，其中.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明：由题意，平面平面，，，因为平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，则，设平面的一个法向量为，则，取，得，易得平面的一个法向量为，所以，由图可知，二