《轮机工程基础大管轮》-第2节简谐运动

随时间按余弦(或正弦)规律进行的运动,称为简谐运动,又称简谐振动。简谐运动是往复运动,也是最基本、最简单的机械振动。一、简谐运动的方程一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动。(一)简谐运动曲线简谐运动的运动量按正弦函数或余弦函数的规律随时间变化,任何复杂的运动都可以看作若干个简谐运动的合成。取φ=0,画出的简谐运动的位移-时间图(x-t图)、速度-时间图(v-t图)和加速度-时间图(a-t图),称为简谐运动曲线(二)简谐运动量变规律(1)振动中的位移x是以平衡位置O为起点的,方向从平衡位置指向末位置,大小为这两位置间的直线距离,在两个端点最大,在平衡位置O为零。(2)加速度a的变化与x的变化是一致的,在两个端点最大,在平衡位置O为零,方向总是指向平衡位置。(3)速度v的大小与加速度a的变化恰好相反,在两个端点为零,在平衡位置O最大。除两个端点外任一个位置的速度方向都有两种可能。(三)简谐运动回复力与固有频率1.回复力回复力的效果是把物体拉回到平衡位置。回复力的方向总是与位移x的方向相反,即总是指向平衡位置。F=-kx“-”表明回复力与位移方向始终相反;回复力与物体的位移大小成正比。k是一个常数,由简谐运动系统决定,在本系统(做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影)中k=mω2。2.固有频率振动系统的自振频率完全由该系统本身的各个参数决定,因此称它为固有频率。式中:k为常数;m为物体的质量。(四)简谐运动方程的运算已知简谐运动的位移方程x=Rcos(ωt+φ)，如何求其速度和加速度？(四)简谐运动方程的运算已经知道简谐运动加速度方程a=-Rω2cos(ωt+φ)，如何求其速度和加速度？二、简谐运动的能量简谐运动的能量就是振动系统的机械能。动能机械能势能重力势能弹性势能由质量和速度决定由质量和高度决定由刚度系数和变形量决定二、简谐运动的能量系统的动能为：系统的势能为：系统的机械能为：二、简谐运动的能量系统不受外力作用,并且内力为保守力(力所做的功与路径无关,仅由质点的始末位置决定,如重力),故在简谐运动的过程中,动能与势能随时间周期性相互转化。(2)能量守恒机械能保持不变且与位移无关,与振幅R的平方成正比。在最大位移处,势能最大,动能为零;在平衡位置处,动能最大,势能最小。(1)能量转化方式振动系统的机械能跟振幅有关,振幅越大,机械能就越大,振动也就越强。能量与振幅R的平方成正比。在简谐运动中,振动系统的机械能守恒,所以简谐运动是等幅振动。(3)决定能量大小的因素E=Ek+Ep三、简谐运动的三要素振幅R、角频率ω、初相位φ,称为简谐振动三要素。匀速圆周运动是不是简谐运动？1.匀速圆周运动的物体(一)匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动ψ=ωt+φ角位移:角速度:ω=常数角加速度：ξ=0匀速圆周运动具有简谐运动三要素中的角频率和初相位,但缺少振幅这一要素;另外,这种运动的角位移、角速度和角加速度随时间的变化也不服从三角函数规律,故匀速圆周运动不是简谐运动。2.运动的分解与合成由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫作运动的合成;由已知的合运动求跟它等效的分运动叫作运动的分解。①等时性:合运动和分运动经历的时间相等,即同时开始,同时进行,同时停止。②独立性:一个物体同时参与几个分运动,各分运动独立进行,不受其他分运动影响。③等效性:各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果(1)基本特征(2)运算原则①两个分运动在同一直线上时,矢量运算转化为代数运算。先选定一正方向,凡与正方向相同的取正,相反的取负。合运动为各分运动的代数和。②不在同一直线上,按照平行四边形法则合成。③也可两分运动垂直或正交分解后再合成。④两个分运动必须是同一质点在同一时间内相对于同一参考系的运动。3.圆周运动与简谐运动一个匀速圆周运动可以分解为两个简谐运动;反之,两个有共同平衡位置的简谐运动,若振幅相同、角频率相同,当它们的初相位差等于零时也可以合成为一个匀速圆周运动。虽然匀速圆周运动不是简谐运动,但其在一条直径上的投影所做的运动却是简谐运动。简谐运动的振幅R就是质量为m的物体牵绳的长度;简谐运动的角频率ω就是圆周运动的角速度;简谐运动的初相位φ就是圆周运动在初始时刻t0时的角位移.4.简谐运动(1)恢复力比例系数k恢复力比例系数k是一个常数,由简谐运动系统决定。做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影中k=mω2,即恢复力比例系数k等于质量为m的物体与匀速圆周运动角速度平方的乘积(2)频率频率是振体在每秒内振动的次数，用f表示，单位赫兹（Hz)。(4)周期：振体作一次全振动所需的时间，用T表示。简谐运动中每经过一个周期，相位增加：(3)圆频率圆频率是振体在2π秒内振动的次数，用表示，单位弧度/秒。(二)单摆运动匀速圆周运动,其角速度使质量为m的物体产生的离心力必须远远大于重力。当其角速度下降至时,其运动形式将转变为单摆变速运动。1.角动量方程M为力矩,M=lF;I为单摆的转动惯量,I=ml2;β为角加速度,β=d2α/dt2

。M=Iβ(二)单摆运动2.小角近似周期单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动,其运动周期为l为悬绳长度;g为重力加速度。单摆的初相位就是没有扰动时的相位,此时它与重力线是重合的,即0°为初相位。3.振幅与初相位单摆的振幅取决于扰动(拉开放手)提供的能量,能量越大,振幅越大2.弹性恢复力：总是指向平衡位置，并力图使振动回到平衡位置。1.自由振动：系统受到暂时干扰后仅在弹性恢复力作用下的振动。四、振动的弹簧质量系统3.自由振动的微分方程作用在振体上的外力为：O为平衡位置，弹性力为：振体振动微分方程为：即：令：振体振动微分方程为：简谐运动的运动方程的解：A:振幅振动的初相位也与外界给振体的初始干扰有关，即与振体所具有的初速度和初位移有关。圆频率1.自由振动为简谐振动，其位移是时间的正弦函数。2.频率、圆频率和周期只与系统的结构（m,k）有关，与运动初始条件和作用在振体上的常力无关。3.速度、加速度、振幅和初相位与运动的初始条件有关。4.自由振动的频率等于系统的固有频率。三、自由振动的特点：五、飞轮和齿轮的振动安装在垂直悬杆下端的一个圆盘,以悬杆为轴作扭转振动的摆,称为扭摆。1.角动量方程2.圆盘转角简谐运动固有频率五、飞轮和齿轮的振动3.扭摆能量转换若在圆盘上加上一静扭转力矩,使圆盘旋转φ角,此时悬线下端也相应地转了φ角,悬线具备了一定的弹性势能。一旦将力矩释放,圆盘在悬线带动下向平衡位置O转动。在转动过程中,悬线的弹性势能减小,而圆盘的动能增加。抵达平衡位置O时,轴段的弹性势能完全转变为圆盘的动能(不考虑阻力);由于惯性作用,圆盘将按原转动方向越过平衡位置O;此时轴段的弹性势能增加,而圆盘的动能减小。当圆盘的动能完全转变为悬杆的弹性势能后,圆盘将反方向转动。如此循环不息。六、共振无阻尼自由振动：简谐运动的振幅不随时间变化,这就是说,振动一经发生,就能够永远不停地以相同的振幅振动下去。这是一种理想的情况,称为无阻尼自由振动。阻尼振动：实际上,任何振动系统都会受到阻力的作用,系统的能量将因不断克服阻力做功而损耗,振幅将逐渐减小,这种振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。受迫振动：为了获得所需的稳定振动,必须克服阻力的影响而对系统施以周期性外力的作用,这种振动称为受迫振动。周期性外力的频率等于系统固有频率的受迫振动称为共振(一)阻尼振动振幅随时间的变化而减小的振动称为阻尼振动。1.弱阻尼振动弱阻尼振动不是简谐运动。在阻尼不大时,弱阻尼振动可近似地看成是一种振幅逐渐减小的振动2.过阻尼振动3.临界阻尼振动振子恰好从准周期运动变为非周期运动。与弱阻尼和过阻尼比较,在临界阻尼情况下振子回到平衡位置而静止下来所需时间最短偏离平衡位置的振子只能缓慢地回到平衡位置,不再做周期性的往复运动,是一种非周期运动。在阻尼振动中，要维持振动，外界需加一个周期的外力，这个周期性的外力称为策动力或强迫力。（三）受迫振动线性阻尼：阻尼力与速度一次方成正比的阻尼。其数学表达式：Ｒ＝－μｖ弹性恢复力F=－Ｋｘ阻尼力Ｒ＝－μｖ周期性干扰力Ｐ＝ＨｓｉｎＰｔ其中，H为干扰力的力幅，P为干扰力的频率。式中，μ称为沾滞阻力系数，单位N·s/cm，由振体的形状、大小和介质决定。令单自由度系统有阻尼的受迫振动微分方程：单自由度系统受迫振动微分方程的标准形式第一项为阻尼振动，由于阻尼的存在使振幅随时间增长而迅速减少，阻尼越大，衰减越快。第二项为与简谐运动形式相同的等幅振动，是受迫振动的稳定解。策动力补偿了阻尼功的消耗，使振幅B始终保持不变，不因阻尼的存在而衰减。注意：有阻尼的受迫振动的角频率总与干扰力的角频率相同。而自由振动的频率等于系统的固有频率！！通解在稳定状态下,受迫振动的振幅与强迫力的角频率有关。(三)共振当P为某一定值时,受迫振动的振幅达到最大值。我们把受迫振动的振幅达到最大值的现象称为共振。当强迫力的角频率P与固有角频率ω0相差较大时,受迫振动的振幅较小;当P与ω0相差较小时,受迫振动的振幅较大;当P/ω接近于1，干扰力振动频率与系统圆频率十分接近时，在无阻尼或阻尼值很小时，其幅频曲线出现很大峰值，振幅B达到最大值，系统振动最为强烈，称为共振。当P/ω=0.75-1.25范围内，振幅B仍有相当大的值，所以将这一区域称为共振区。当P/ω<0.75时称为低频区，当P/ω>1.25时称为高频区。1.共振角频率与共振振幅系统发生共振时强迫力的角频率称为共振角频率,用ωr表示(2)共振振幅（1）共振角频率在共振区内，阻尼对振幅有明显抑制作用。当无阻尼时，振幅趋于无穷大。随阻尼值的增加，振幅迅速下降。在共振区设法增加有效的阻尼作用2.共振特征(1)共振角频率ωr略小于固有角频率ω0,当阻尼因子β→0而发生共振现象时,共振角频率等于系统的固有角频率,即ωr=ω0

。(2)当β→0,ωr=ω0时,共振振幅趋于无穷大,这种情况称为尖锐共振。当β→0时,在共振情况下,速度与强迫力的相位相同。因为强迫力的方向与物体振动方向相同,强迫力始终对物体做正功,所以输入振动系统的能量最大,振幅具有极大值1）消除振源或设法使振动减弱：干扰力是产生受迫振动的根源。消除振源是消除振动的根本途径。对于无法消除的振源，要尽量远离。(1)减小强迫振动激振源2）减少振幅如：1.柴油机加平衡重平衡惯性力；2.柴油机正确设计各缸的发火顺序；3.柴油机管理上保证各缸发火定时的正确性、各缸爆发压力和功率的均等。3.消减共振现象的措施1.采用阻尼装置或动力消振器，以吸收振动能量使振幅减少；2.提高转动部件的制造和安装精度，3.增加发生共振时的阻尼。①改变刚性:增强轴承座或框架的刚性,夹紧底脚,消除加垫引起的变形或采用减小间隙的轴承。(2)改变系统的固有频率在柴油机的自由端安装适当尺寸的减振飞轮，可改善整个系统的转动惯量和固有频率，使干扰力的频率远离整个系