2025年湖北省武汉市武昌区高考数学质检试卷

第44页（共44页）2025年湖北省武汉市武昌区高考数学质检试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）（2025•武昌区模拟）已知集合A＝{x|lgx＜1}，B＝{x|x＝4k+1，k∈Z}，则A∩B＝（）A．{3，6，9} B．{1，5，9} C．{5，9} D．{1，3，5，7，9}2．（5分）（2025•武昌区模拟）已知复数z满足（2+i）z＝1，则z⋅A．15 B．55 C．19 3．（5分）（2025•武昌区模拟）抛物线x2＝8y的准线方程为（）A．x＝﹣4 B．y＝﹣2 C．x＝4 D．y＝24．（5分）（2025•武昌区模拟）如图，某社区为墙面A、B、C、D四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂法有（）ABCDA．12种 B．24种 C．48种 D．144种5．（5分）（2025•武昌区模拟）已知等比数列{an}为递增数列，若a1a8＝2a4，a3+a7A．18 B．14 C．4 D6．（5分）（2025•武昌区模拟）已知函数f（x）＝x3﹣6x+7，直线l是曲线y＝f（x）的切线，如果切线l与曲线y＝f（x）有且只有一个公共点，那么这样的直线l有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条7．（5分）（2025•武昌区模拟）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠A1AD＝∠A1AB＝60°，设AB→=a→，AD→=b→A．a→-b→-c→ B．a→8．（5分）（2025•武昌区模拟）已知服从二项分布的似然函数为L(p)=Cnkpk(1-p)n-k（其中p表示成功的概率，n为样本总数，k为成功次数）．现有一个研究团队研究发现概率p与参数θ（0＜θ＜1）的取值有关，该团队提出函数模型为p=18(log2θ+5)，在统计学中，若参数θ＝θ0时使得概率A．116 B．18 C．14 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分。（多选）9．（6分）（2025•武昌区模拟）已知函数f(A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）在区间(0，πC．f（x）的一个对称中心为(7D．f（x）图象上所有的点向左平移π6个单位长度后关于y（多选）10．（6分）（2025•武昌区模拟）已知圆O：x2+y2＝8，直线l与圆O交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，点P为圆O上异于A，B的任意一点，若x1x2+y1y2＝﹣4，x1+y1＝x2+y2＞0，则（）A．∠AOBB．△PAB面积的最大值为63C．直线l的方程为y＝﹣2x+2 D．满足到直线l的距离为2的点P有且仅有3个（多选）11．（6分）（2025•武昌区模拟）某乒乓球比赛采用单淘汰制，即参赛选手按照随机组合方式逐轮进行比赛，每场比赛负方淘汰，胜方晋级到下一轮，直到最终决出冠亚军．现有运动员k（k∈N*且k≥2）名，随机编号到对阵位置，且所有运动员在任何一场比赛中获胜的概率均为12A．若k＝8，则甲、乙在第1轮比赛中相遇的概率为17B．若k＝16，则甲、乙在第2轮比赛中相遇的概率为215C．若k＝2n（n∈N*且n≥4），则甲、乙两人在第4轮比赛中相遇的概率为18(D．若k＝2n（n∈N*），则甲、乙两人在比赛中相遇的概率为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）（2025•武昌区模拟）某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的下四分位数为．13．（5分）（2025•武昌区模拟）已知sin(α-β)=13，且tanαtanβ=3，则cos（2α14．（5分）（2025•武昌区模拟）在几何中，单叶双曲面是一种典型的直纹面如图1所示，因其具有优良的稳定性和美观性，常被应用于大型建筑结构（如广州电视塔）．单叶双曲面的形成过程可通过“双曲狭缝”演示：如图2，直杆m与固定轴l成一定夹角，且均和连杆垂直．当直杆m绕固定轴l旋转时，其轨迹形成单叶双曲面．若用过单叶双曲面固定轴的平面截取该曲面，所得交线为双曲线的一部分．在某科技馆的演示中，立板上的双曲狭缝即为直杆运动轨迹（双曲面）被立板面截取的双曲线的一部分，因此直杆旋转时可始终穿过两条弯曲的狭缝．若直杆m与固定轴l所成角的大小为30°，则该双曲线的离心率为．四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）（2025•武昌区模拟）已知函数f（x）＝ex﹣ax，a∈R．（1）若a＝1，求函数f（x）的单调区间；（2）当x≥0时，f（x）≥x，求实数a的取值范围．16．（15分）（2025•武昌区模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB=79，a＝4，角B的角平分线交AC于点D（1）求CD的长；（2）求△ABC的面积．17．（15分）（2025•武昌区模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1AC⊥平面A1B1C1，A1C1⊥A1B，AC＝23，AB＝AA1＝2，∠CAB=π（1）证明：A1B⊥平面AB1C；（2）求BC1的长；（3）求平面AA1B与平面A1BC夹角的余弦值．18．（17分）（2025•武昌区模拟）图1是一种可以作出椭圆的工具．O是滑槽AB（AB足够长）的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON，MD＝2DN．当栓子D在滑槽AB内做往复运动时，带动N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线为椭圆．当MN＝k（k＞0）时，记画出的曲线为∁k．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C3的方程；（2）过坐标原点O的任一直线l与曲线C3交于E，F两点，与曲线C1交于A1B1两点，过点A1的任一直线与C3交于P，Q两点．（i）求证：|EF|＝3|A1B1|；（ii）求四边形PEQF面积的取值范围．19．（17分）（2025•武昌区模拟）用符号|A|表示集合A中元素的个数．对于实数集合A和B，且|A|≥2，|B|≥2，定义两个集合：①和集A+B＝{a+b|a∈A，b∈B}；②邻差集D（A）＝{ak+1﹣ak|k＝1，2，…，|A|﹣1}，其中a1，a2，…，a|A|为集合A中元素按照从小到大排列．（1）已知集合A＝{1，3，5}，B＝{2，4}，求|D（A+B）|，|D（A）∪D（B）|的值；（2）已知集合A＝{2n|n＝1，2，⋯，100}，B＝{4n|n＝1，2，⋯，100}，求|A+B|的值；（3）若A与B都是由m（m≥3，m∈N*）个实数构成的集合，证明：|A+B|＝2m﹣1的充要条件是|D（A）∪D（B）|＝1．

2025年湖北省武汉市武昌区高考数学质检试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BABCABDB二．多选题（共3小题）题号91011答案ABCBDACD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）（2025•武昌区模拟）已知集合A＝{x|lgx＜1}，B＝{x|x＝4k+1，k∈Z}，则A∩B＝（）A．{3，6，9} B．{1，5，9} C．{5，9} D．{1，3，5，7，9}【考点】指、对数不等式的解法；求集合的交集．【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解．【答案】B【分析】求解对数不等式化简A，再由交集运算的定义得答案．【解答】解：由A＝{x|lgx＜1}＝{x|0＜x＜10}，B＝{x|x＝4k+1，k∈Z}，得A∩B＝{x|0＜x＜10}∩{x|x＝4k+1，k∈Z}＝{1，5，9}．故选：B．【点评】本题交集及其运算，考查对数不等式的解法，是基础题．2．（5分）（2025•武昌区模拟）已知复数z满足（2+i）z＝1，则z⋅A．15 B．55 C．19 【考点】复数的运算；共轭复数．【专题】对应思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】A【分析】由已知求解|z|，再由z⋅【解答】解：由（2+i）z＝1，得z=12+i∴z⋅故选：A．【点评】本题考查复数的乘除运算及复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3．（5分）（2025•武昌区模拟）抛物线x2＝8y的准线方程为（）A．x＝﹣4 B．y＝﹣2 C．x＝4 D．y＝2【考点】求抛物线的准线方程．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】B【分析】由抛物线x2＝8y的方程，利用准线方程的定义即可得出结论．【解答】解：抛物线x2＝8y的准线方程为y=-84，即y＝﹣故选：B．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其准线方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）（2025•武昌区模拟）如图，某社区为墙面A、B、C、D四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂法有（）ABCDA．12种 B．24种 C．48种 D．144种【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．【专题】常规题型；计算题；分类讨论；数学模型法；排列组合；运算求解．【答案】C【分析】利用分步相乘计数原理求解即可．【解答】解：因为每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，所以A墙面有4种涂法，B墙面有3种涂法，C墙面有3种涂法，这3种涂法中，分两类，一类和B墙面相同，一类和B墙面不同，当B墙面和C墙面涂色相同时，D墙面有2种涂法，当和当B墙面和C墙面涂色不相同时，D墙面有2种涂法，所以一共有4×3×（1×2+2×1）＝48．故选：C．【点评】本题主要考查了分步计数原理，属于中档题．5．（5分）（2025•武昌区模拟）已知等比数列{an}为递增数列，若a1a8＝2a4，a3+a7A．18 B．14 C．4 D【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；待定系数法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】A【分析】利用等比数列的通项公式求解即可．【解答】解：因为a1•a8＝2a4，a3所以a1⋅a解得：q2=14，或q因为{an}为递增数列，所以q＞1．所以q2＝4，所以a1故选：A．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式，属于简单题．6．（5分）（2025•武昌区模拟）已知函数f（x）＝x3﹣6x+7，直线l是曲线y＝f（x）的切线，如果切线l与曲线y＝f（x）有且只有一个公共点，那么这样的直线l有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据三次函数的性质可知，仅有拐点处的切线与函数有一个公共点，从而可得解．【解答】解：因为f（x）＝x3﹣6x+7，所以f′（x）＝3x2﹣6，所以f″（x）＝6x，令f″（x）＝6x＝0，可得x＝0，又f（0）＝7，检验可知f（﹣x）+f（x）＝14，所以f（x）的对称中心点为（0，7），所以（0，7）为f（x）的唯一拐点，且此时f（x）在拐点（0，7）处的切线方程为y＝﹣6x+7，联立y=-6x+1y=x3-6根据三次函数的性质可知，仅有拐点处的切线与函数有一个公共点，而该三次函数仅有一个拐点，所以满足题意的切线仅有一条．故选：B．【点评】本题考查三次函数的性质的应用，属基础题．7．（5分）（2025•武昌区模拟）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠A1AD＝∠A1AB＝60°，设AB→=a→，AD→=b→A．a→-b→-c→ B．a→【考点】平面的法向量．【专题】数形结合；向量法；空间向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】根据题意，分别用基底表示AB1→和AD1→，求出a→⋅b→、a→⋅c→和b【解答】解：由已知，AB1→a→⋅b设平面AB1D1的一个法向量为n→=xa→+y则n→⋅AB1→=故选：D．【点评】本题主要考查求平面的法向量，属于基础题．8．（5分）（2025•武昌区模拟）已知服从二项分布的似然函数为L(p)=Cnkpk(1-p)n-k（其中p表示成功的概率，n为样本总数，k为成功次数）．现有一个研究团队研究发现概率p与参数θ（0＜θ＜1）的取值有关，该团队提出函数模型为p=18(log2θ+5)，在统计学中，若参数θ＝θ0A．116 B．18 C．14 【考点】n重伯努利试验与二项分布．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】令f（p）＝lnL（p），利用对数的运算性质变形，再由导数求最值，即可求解最大似然估计θ0．【解答】解：lnL（p）＝ln[Cnkp令f（p）＝lnCnk+klnp+（n﹣k）ln（1则f′（p）=kp-n-k1-p，令f′所以参数p的极大似然估计值为kn在团队提出函数模型p=18(log2θ+5)令p（θ）=14，解得故最大似然估计θ0为18故选：B．【点评】本题考查n重伯努利试验与二项分布，考查对数的运算性质，是中档题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分。（多选）9．（6分）（2025•武昌区模拟）已知函数f(A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）在区间(0，πC．f（x）的一个对称中心为(7D．f（x）图象上所有的点向左平移π6个单位长度后关于y【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】数形结合；函数思想；数学模型法；三角函数的图象与性质；逻辑思维．【答案】ABC【分析】利用正弦函数的性质求解即可．【解答】解：函数f(x)=sin(2令-π2+2kπ＜解得：-π6+kπ＜x＜π3令2x-π令k＝1，则x=所以f（x）的一个对称中心为(7π12f（x）图像上所有的点向左平移π6个函数变为f(此时令x＝0，则f(0)=12≠1，故此时函数故选项D错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质，属于中档题．（多选）10．（6分）（2025•武昌区模拟）已知圆O：x2+y2＝8，直线l与圆O交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，点P为圆O上异于A，B的任意一点，若x1x2+y1y2＝﹣4，x1+y1＝x2+y2＞0，则（）A．∠AOBB．△PAB面积的最大值为63C．直线l的方程为y＝﹣2x+2 D．满足到直线l的距离为2的点P有且仅有3个【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．【答案】BD【分析】根据x1x2+y1y2＝﹣4，结合圆的方程运用平面向量的夹角公式算出∠AOB=2π3，从而判断出A项的正误；根据圆心到直线l的距离d=2，算出点P到直线l距离的最大值，由此求出△PAB面积的最大值，即可判断出B项的正误；根据x1+y1＝x2+y2＞0，设直线l：x+y＝m，将其与圆O方程联解，结合x1x2+y1y2＝﹣4算出m＝2，可得直线l的方程，进而判断出C项的正误；根据圆心到直线l的距离、圆的半径长，判断出满足到直线l的距离为2的点【解答】解：根据题意，圆O：x2+y2＝8的圆心为O（0，0），半径r=22由题意得OA→=（x1，y1），OB→=（x2可得|OA→|＝|OB→|=22，OA→•OB→=x1x2+y所以cos∠AOB=OA→⋅OB→|OA因为直线l到圆心O的距离d＝rcosπ3所以圆上的点P到直线l距离的最大值等于d+r=32结合|AB|＝2rsinπ3=26，可知△PAB面积的最大值等于12|AB|•32=由x1+y1＝x2+y2＞0，设直线l方程为x+y＝m（m＞0），与圆O方程消去y，整理得2x2﹣2mx+m2﹣8＝0，可得x1+x2＝m，x1x2=12m2﹣所以y1y2＝（m﹣x1）（m﹣x2）＝m2﹣m（x1+x2）+x1x2=12m2﹣结合x1x2+y1y2＝﹣4，可得12m2﹣4+12m2﹣4＝﹣4，解得m所以直线l的方程为x+y＝2，即y＝﹣x+2，可知C项不正确；根据圆心O到直线l的距离d=2，且圆的半径r=2可知在直线l的两旁有距离为2的两条直线，这两条直线有一条与圆O相切，另一条经过圆心，它们与圆O共有3个公共点，因此满足到直线l的距离为2的点P有且仅有3个，可知D项正确．故选：BD．【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、平面向量的夹角公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．（多选）11．（6分）（2025•武昌区模拟）某乒乓球比赛采用单淘汰制，即参赛选手按照随机组合方式逐轮进行比赛，每场比赛负方淘汰，胜方晋级到下一轮，直到最终决出冠亚军．现有运动员k（k∈N*且k≥2）名，随机编号到对阵位置，且所有运动员在任何一场比赛中获胜的概率均为12A．若k＝8，则甲、乙在第1轮比赛中相遇的概率为17B．若k＝16，则甲、乙在第2轮比赛中相遇的概率为215C．若k＝2n（n∈N*且n≥4），则甲、乙两人在第4轮比赛中相遇的概率为18(D．若k＝2n（n∈N*），则甲、乙两人在比赛中相遇的概率为1【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】ACD【分析】直接利用古典概型求概率公式，列式判断A，B选项；通过A，B选项的求解找到甲乙在比赛中相遇的概率的规律，从而判断C，D选项．【解答】解：对于A：当k＝8时，甲的位置确定后，乙需在剩余7个位置中选择同一组的1个位置，概率为17，故A对于B：当k＝16时，甲、乙在第2轮相遇，则甲、乙需在第一轮均晋级，概率为14且在第2轮同一组，概率为1415×17=选项C：当k＝2n（n≥4）时，甲、乙两人在第m轮比赛中相遇的概率为12所以甲、乙两人在第4轮比赛中相遇的概率为124-1(选项D：若k＝2n（n∈N*）时，甲、乙两人在比赛中相遇的概率为12n-故选：ACD．【点评】本题考查古典概型求概率，结合数列求和公式等知识，属于难题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）（2025•武昌区模拟）某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的下四分位数为88．【考点】百分位数．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】88．【分析】直接利用百分位数的定义求解．【解答】解：一组数据80，87，88，89，91，92，93，95，95，96共10个数，其下四分位数即第25分位数，由10×25%＝2.5，则其四分位数为该组数据的第三个数，等于88．故答案为：88．【点评】本题考查百分位数的求法，是基础题．13．（5分）（2025•武昌区模拟）已知sin(α-β)=13，且tanαtanβ=3，则cos（2α【考点】两角和与差的三角函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】19【分析】利用正弦的差角公式以及切化弦求出sinαcosβ，cosαsinβ的值，由此得出sin（α+β）的值，再利用余弦的倍角公式化简即可求解．【解答】解：由sin（α﹣β）=13可得：sinαcosβ﹣cosαsinβ=由tanαtanβ=3可得：sinαcosβ＝3cosαsinβ①②联立可得：sinαcosβ=12，cos则sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ=1所以cos（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2×4故答案为：19【点评】本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，涉及到余弦的倍角公式，属于基础题．14．（5分）（2025•武昌区模拟）在几何中，单叶双曲面是一种典型的直纹面如图1所示，因其具有优良的稳定性和美观性，常被应用于大型建筑结构（如广州电视塔）．单叶双曲面的形成过程可通过“双曲狭缝”演示：如图2，直杆m与固定轴l成一定夹角，且均和连杆垂直．当直杆m绕固定轴l旋转时，其轨迹形成单叶双曲面．若用过单叶双曲面固定轴的平面截取该曲面，所得交线为双曲线的一部分．在某科技馆的演示中，立板上的双曲狭缝即为直杆运动轨迹（双曲面）被立板面截取的双曲线的一部分，因此直杆旋转时可始终穿过两条弯曲的狭缝．若直杆m与固定轴l所成角的大小为30°，则该双曲线的离心率为2．【考点】求双曲线的离心率；曲线与方程．【专题】数形结合；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解；结构不良题．【答案】2．【分析】把模型转换画图，求出对应双曲线的方程，再由离心率公式求解．【解答】解：模型转换后如图所示，OA⊥AB，CB⊥平面OAB，由题意可知∠ACB＝30°，设|OB|＝x，|CB|＝y，在Rt△ABC中，由|CB|＝y，∠ACB＝30°，得|AB|=在Rt△OAB中，可得x2-y则双曲线的离心率为|OA|故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的标准方程与离心率的求法，理解题意是关键，是中档题．四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）（2025•武昌区模拟）已知函数f（x）＝ex﹣ax，a∈R．（1）若a＝1，求函数f（x）的单调区间；（2）当x≥0时，f（x）≥x，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解函数的最值．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】（1）单调递减区间为（﹣∞，0），递增区间为（0，+∞）；（2）（﹣∞，e﹣1]．【分析】（1）先求导，再根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间；（2）对x进行分情况讨论求解即可．【解答】解：（1）定义域为R，当a＝1时，f（x）＝ex﹣x，f'（x）＝ex﹣1，当x＜0时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞0时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，所以f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），递增区间为（0，+∞）；（2）当x＝0时，f（x）﹣x＝ex﹣ax﹣x≥0成立；当x∈（0，+∞）时，由ex﹣ax﹣x≥0，得a+1≤令g(x)=当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增，所以g（x）min＝g（1）＝e，因此a+1≤e，即a≤e﹣1，综上，实数a的取值范围是（﹣∞，e﹣1]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．16．（15分）（2025•武昌区模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB=79，a＝4，角B的角平分线交AC于点D（1）求CD的长；（2）求△ABC的面积．【考点】解三角形．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；运算求解．【答案】（1）CD=2（2）322【分析】（1）结合二倍角公式及余弦定理即可求解；（2）先求出sinB2【解答】解：（1）因为cosB=79=2所以cosB2△BCD中，BD=32，a＝由余弦定理可得，cosB2解得CD=2（2）由（1）可得sinB=429，因为S△BCD+S△BAD＝S△ABC，所以12解得，c=36则△ABC的面积S=1【点评】本题主要考查了余弦定理，二倍角公式，三角形面积公式的应用，属于中档题．17．（15分）（2025•武昌区模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1AC⊥平面A1B1C1，A1C1⊥A1B，AC＝23，AB＝AA1＝2，∠CAB=π（1）证明：A1B⊥平面AB1C；（2）求BC1的长；（3）求平面AA1B与平面A1BC夹角的余弦值．【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面垂直．【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用；立体几何；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）证明见解析；（2）BC（3）57【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理，结合题意即可得证；（2）先由余弦定理求出BC＝2，取AC的中点O，连接OA1，OB，然后由已知条件结合勾股定理即可得解；（3）由（2），以O为坐标原点，直线OB，OC，OA1所在方向分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，然后由向量法即可得解．【解答】解：（1）证明：因为AB＝AA1，所以四边形ABB1A1是菱形，所以A1B⊥AB1，又A1C1⊥A1B，且A1C1∥AC，所以AC⊥A1B，因为AC∩AB1＝A，AC⊂平面AB1C，AB1⊂平面AB1C，所以A1B⊥平面AB1C；（2）在△ABC中，由AC=23，AB＝2，所以BC=AC如图，取AC的中点O，连接OA1，OB，因为AB＝BC，所以OB⊥AC，因为平面A1AC⊥平面ABC，平面A1AC∩平面ABC＝AC，所以OB⊥平面A1AC，因为OA1⊂平面A1AC，所以OB⊥OA1，因为AC⊥A1B，AC⊥OB，A1B，OB⊂平面OBA1，且A1B∩OB＝B，所以AC⊥平面OBA1，因为OA1⊂平面OBA1，所以AC⊥OA1因为AC的中点为O，所以A1C＝AA1＝2，在Rt△AOA1和Rt△ABO中，可知A1O＝OB＝1，在Rt△BOA1中，可知A1因为A1C1⊥A1B，所以A1解得：BC（3）由（2），以O为坐标原点，直线OB，OC，OA1所在方向分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，-3，0)，C(0，3，0)，B（1，0所以A1B→=（1，0，﹣1）设平面AA1B的法向量为n1则n1→⋅A1设平面A1BC的法向量为m→则m→⋅A1B→=0m→⋅A1所以平面A1BC的一个法向量为m→设平面AA1B与平面A1BC的夹角为θ，则cosθ＝|cos＜n1→所以平面AA1B与平面A1BC夹角的余弦值为57【点评】本题考查了空间几何体中几何法与向量法的综合应用，属于难题．18．（17分）（2025•武昌区模拟）图1是一种可以作出椭圆的工具．O是滑槽AB（AB足够长）的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON，MD＝2DN．当栓子D在滑槽AB内做往复运动时，带动N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线为椭圆．当MN＝k（k＞0）时，记画出的曲线为∁k．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C3的方程；（2）过坐标原点O的任一直线l与曲线C3交于E，F两点，与曲线C1交于A1B1两点，过点A1的任一直线与C3交于P，Q两点．（i）求证：|EF|＝3|A1B1|；（ii）求四边形PEQF面积的取值范围．【考点】直线与椭圆的综合．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）x2（2）（i）证明见解析；（ii）(0，【分析】（1）当k＝3时，设点D（t，0）（|t|≤2），N（x0，y0），M（x，y），由题意可得MD→=2DN→且|DN→|=|ON→|=1，根据坐标关系可得t-（2）（i）同理确定曲线C1的方程，不妨设OA1→与OE→同向，A1（x1，y1），E（x2，y（ii）分析可得四边形PEOF面积是△OPQ面积的6倍，分别求解直线PQ的斜率不存在与存在时S△OPQ，结合函数思想求得取值范围即可．【解答】解：（1）当k＝3时，设点D（t，0）（|t|≤2），N（x0，y0），M（x，y），依题意，得MD→=2DN所以（t﹣x，0﹣y）＝2（x0﹣t，y0﹣0），且(x即t-x=2x0-2ty=-2y由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，于是t＝2x0，所以x0=x代入x02+所以C3的方程为x2（2）（i）证明：同理可得曲线C1的方程为x2不妨设OA1→与OE→同向，A1（x1，y1），E（x2当直线l斜率不存在时，OE＝3OA1；当直线l斜率存在时，设直线方程为y＝tx，联立x216+所以OE2=(1+因此OE＝3OA1，对于任意直线均满足OE＝3OA1，所以|EF|＝3|A1B1|；（ii）由（i）可知，四边形△PEQF面积是△OPQ面积的6倍，当直线PQ的斜率不存在时，设直线PQ的方程x=所以S△当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程y＝kx+m，m≠0，P（x3，y3），Q（x4，y4），联立x216+y24=1y=kx+m，化简得（4k2+1）所以x3因为直线PQ与C1有公共点，联立x216+所以Δ=2569所以S=2-令m2则S△所以四边形PEQF面积的取值范围是(0，【点评】本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，属于难题．19．（17分）（2025•武昌区模拟）用符号|A|表示集合A中元素的个数．对于实数集合A和B，且|A|≥2，|B|≥2，定义两个集合：①和集A+B＝{a+b|a∈A，b∈B}；②邻差集D（A）＝{ak+1﹣ak|k＝1，2，…，|A|﹣1}，其中a1，a2，…，a|A|为集合A中元素按照从小到大排列．（1）已知集合A＝{1，3，5}，B＝{2，4}，求|D（A+B）|，|D（A）∪D（B）|的值；（2）已知集合A＝{2n|n＝1，2，⋯，100}，B＝{4n|n＝1，2，⋯，100}，求|A+B|的值；（3）若A与B都是由m（m≥3，m∈N*）个实数构成的集合，证明：|A+B|＝2m﹣1的充要条件是|D（A）∪D（B）|＝1．【考点】元素与集合的属于关系的应用．【专题】应用题；整体思想；综合法；集合；运算求解．【答案】（1）|D（A+B）|＝1，|D（A）∪D（B）|＝1；（2）|A+B|＝8775；（3）证明见解析．【分析】（1）根据和集和邻差集定义直接求解即可；（2）考虑2i+4j＝2s+2t（*），分别讨论t≥51和t≤50的情况，由集合中元素的性质与和集的定义可得结果；（3）根据|A|与和集的定义易证得充分性；设集合A＝{a1，a2，⋯，am}，B＝{b1，b2，⋯，bm}，其中a1＜a2＜...＜am，b1＜b2＜⋯＜bm，可确定A+B中所有的元素，可证得a2﹣a1＝b2﹣b1；推广可得a2+bk＝a1+bk+1由此可得必要性．【解答】解：（1）∵A＝{1，3，5}，B＝{2，4}，∴A+B＝{3，5，7，9}，∴D（A+B）＝{2}，D（A）＝{2}，D（B）＝{2}，∴|D（A+B）|＝1，[D（A）∪D（B）|＝1；（2）考虑2i+4j＝2s+4t（*），不妨设j＜t，则i＞s，①当t≥51时，4t﹣（4j+2i）≥4t﹣4t﹣1﹣2i＝3•4t﹣1﹣2i≥3×450﹣2100＞0，此时（*）式不成立；②当t≤50时，若i＞2t，则2i﹣（2s+4t）≥2i﹣2i﹣1﹣4t＝2i﹣1﹣4t≥22t﹣22t＝0，此时（*）式不成立；若i＜2t，则，4t﹣（4j+2i）≥4t﹣4t﹣1﹣2i＝3•4t﹣1-2此时（*）式也不成立；若i＝2t，则取s＝2j，此时（*）式成立，由上述分析知：和集中重复的元素个数共50×492=1225∴|A+B|＝100×100﹣1225＝8775；（3）充分性的证明：当|D（A）∪D（B）|＝1时，不妨设D（A）＝D（B）＝{d}，设集合A＝{a1，a2，⋯，am}，B＝{b1，b2，⋯，bm}，其中a1＜a2＜...＜am，b1＜b2＜...＜bm{an}，{bn}（n＝1，2，⋯，m）是公差为d的等差数列，A+B＝{a1+b1，a1+b1+d，⋯，a1+b1+2（m﹣1）d}，A+B里面的元素也是公差为d的等差数列，∴|A+B|＝2m﹣1；必要性的证明：设集合A＝{a1，a2，⋯，am}，B＝{b1，b2，⋯，bm}，其中a1＜a2＜...＜am，b1＜b2＜...＜bm，则a1+b1＜a2+b1＜...＜am+b1＜am+b2＜...＜am+bm，这里共2m﹣1个不同元素，又|A+B|＝2m﹣1，∴上面为和集A+B中的所有元素，又a1+b1＜a1+b2＜...＜a1+bm＜a2+bm＜...＜am+bm，这里共2m﹣1个不同元素，也为和集A+B中的所有元素，∴a2+b1＝a1+b2，即a2﹣a1＝b2﹣b1，一般地，由a1+b1＜a1+b2＜...＜a1+bk＜a2+bk＜...＜am+bk＜am+bk+1＜...＜am+bm，a1+b1＜a1+b2＜...＜a1+bk＜a1+bk+1＜a2+bk+1＜⋯＜am+bk+1＜...＜am+bm，可得a2+bk＝a1+bk+1，即a2﹣a1＝bk+1﹣bk（1≤k≤m﹣1），同理可得：b2﹣b1＝ak+1﹣ak（1≤k≤m﹣1），得证．【点评】本题考查元素与集合的属于关系的应用，属于难题．

考点卡片1．元素与集合的属于关系的应用【知识点的认识】元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．【命题方向】知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）当a+2＝3时，a＝1，…（5分）此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或a=-32，…由a=-32，得A={1故a=-32点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．2．求集合的交集【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）解：因为A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．3．指、对数不等式的解法【知识点的认识】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；③应用化归思想等价转化．注：常用不等式的解法举例（x为正数）：4．正弦函数的单调性【知识点的认识】三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．5．正弦函数的奇偶性和对称性【知识点的认识】正弦函数的对称性正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ+π2，k∈【解题方法点拨】例：函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x＝x=kπ2解：由于函数y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x=2而函数y＝sint的对称轴为t则2x-π4=kπ+则函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x故答案为x=这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把2x-π【命题方向】这个考点非常重要，也很简单，大家熟记这个公式，并能够理解运用就可以了．6．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换【知识点的认识】函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤两种变换的差异先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个【解题方法点拨】1．一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为T4，利用这一结论可以较快地写出“五点”2．两个区别（1）振幅A与函数y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A=M（2）由y＝sinx变换到y＝Asin（ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于3．三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为|φ|ω，而不是|7．两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα8．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1⇔{an}是递增数列；a1＞00＜q＜1或a1＜9．利用导数求解函数的单调性和单调区间【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B10．利用导数求解函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=1x在（0，+（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】﹣求导：计算函数的导数f'（x）．﹣极值点：求解f'（x）＝0以找到极值点．﹣边界条件：结合函数的定义域边界点计算函数值，比较得到最值．【命题方向】常见题型包括利用导数求解函数的最值，结合函数的定义域进行分析．设函数f(x)=1x解：因为f(所以f'(令f'（x）＞0得x＞12；令f'（x）＜0所以f（x）的单调增区间为(12，所以当x=12时，f（x所以f（x）的最小值为2﹣2ln2．11．利用导数研究曲线上某点切线方程【知识点的认识】利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．【解题方法点拨】例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．12．解三角形【知识点的认识】1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．7．关于三角形面积问题①S△ABC=12aha=12bhb=12chc（ha、hb、hc分别表示②S△ABC=12absinC=12bcsinA=③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）④S△ABC=abc⑤S△ABC=s(s-a)(s-b)(⑥S△ABC＝r•s，（r为△ABC内切圆的半径）在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C＝πA2+B2=π2-C2，余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA=cosB=cosC=a正弦定理asinA=R为△ABC的外接圆半径a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA=a2R，sinB=b射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面积公式①S△=12aha=12bh②S△=12absinC=12acsinB③S△=④S△=s(s-a)(s-b)(⑤S△=12（a+b+c（r为△ABC内切圆半径）sinA=sinB＝2SsinC=13．共轭复数【知识点的认识】实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数Z=a﹣bi【解题方法点拨】共轭复数的常见公式有：|Z|=|Z|；|Z【命题方向】共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，要求能够掌握共轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广．运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题，提高数学符号变换的能力，培优学生类比推广思想，从特殊到一般的方法和探究方法．14．复数的运算【知识点的认识】复数的加、减、乘、除运算法则15．直线与平面垂直【知识点的认识】直线与平面垂直：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线与平面垂直的性质：①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．16．平面的法向量【知识点的认识】1、直线的方向向量：空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量e→以及与e→共线的向量叫做直线①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量n→的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作n→⊥α，如果n→⊥α，那么向量n①法向量一定是非零向量；②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；③向量n→是平面的法向量，向量m→是与平面平行或在平面内，则有n→•④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．4、法向量的求法：（1）设：设出平面法向量的坐标为n→=（u，v，（2）列：根据a→⋅n→=（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量n→17．空间向量法求解二面角及两平面的夹角【知识点的认识】1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．3、二面角的平面角求法：向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为u→和v→，若两个平面的夹角为（1）当0≤＜u→，v→＞≤此时cosθ＝cos＜u→，（2）当π2＜＜u→，v→＞＜π时，θcosθ＝﹣cos＜u→，【解题方法点拨】﹣数量积和模：使用向量数量积和模计算夹角，应用反余弦函数得到结果．【命题方向】﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算两平面之间的夹角．18．点到直线的距离公式【知识点的认识】﹣点到直线距离：点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为：d=【解题方法点拨】﹣计算距离：1．代入直线方程：将点的坐标代入直线方程．2．计算绝对值：计算Ax0+By0+C的绝对值．3．计算模：计算法向量的模A24．求解距离：将绝对值与模相除，即得距离．【命题方向】﹣距离计算：考查点到直线的距离计算，可能涉及多种坐标系变换或应用．19．直线与圆的位置关系【知识点的认识】直线与圆的位置关系【解题方法点拨】判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d=①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由Ax+By①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．20．直线与椭圆的综合【知识点的认识】直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：直线与椭圆相交⇔Δ＞0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ＜0；【解题方法点拨】（1）直线与椭圆位置关系的判断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断；②借助直线和椭圆的几何性质来判断．根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，也是解决此类问题的难点所在．（2）弦长的求法设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=(1+k2注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．（3）中点弦、弦中点常见问题①过定点被定点平分的弦所在直线的方程；②平行弦中点的轨迹；③过定点的弦的中点的轨迹．解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”，这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点．（4）椭圆切线问题①直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点；②过椭圆外一点可以作两条直线与椭圆相切；③过椭圆上一点只能作一条切线．（5）最值与范围问题的解决思路①构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解；②构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解．在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等可利用条件．【命题方向】1．由已知条件求椭圆的方程或离心率；2．由已知条件求直线的方程；3．中点弦或弦的中点问题；4．弦长问题；5．与向量结合求参变量的取值．21．求抛物线的准线方程【知识点的认识】准线是与焦点平行的直线，距离焦点的距离等于p．准线的方程为x=-p2【解题方法点拨】1．确定准线的位置：准线的方程取决于p的值．2．代入标准方程：使用p计算准线的方程．【命题方向】﹣给定抛物线参数，求准线的方程．﹣根据抛物线的标准方程确定准线方程．22．求双曲线的离心率【知识点的认识】双曲线的离心率e是e=ca【解题方法点拨】1．计算离心率：利用公式e=2．求解参数：从双曲线方程中提取参数．【命题方向】﹣给定双曲线的参数，求离心率．﹣根据离心率计算双曲线的标准方程．23．曲线与方程【知识点的认识】在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求解曲线方程关键是要找到各变量的等量关系．【解题方法点拨】例：：定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离．那么平面内到定圆A的距离与它到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（）A：直线B：圆C：椭圆D：双曲线一支．解：对定点B分类讨论：①若点B在圆A内（不与圆心A重合），如图所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由椭圆的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆．②若点B在圆A外，如图2所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．由双曲线的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的一支．③若定点B与圆心A重合，如图3所示：设点P是圆A上的任意一点，取线段AP的中点M，则点M满足条件，因此点M的轨迹是以点A为圆心，以12④若点B在圆A上，则满足条件的点是一个点B．综上可知：可以看到满足条件的点M的轨迹可以是：椭圆、双曲线的一支，圆，一个点，而不可能是一条直线．故选A．这是一个非常好的题，一个题把几个很重要的曲线都包含了，我认为这个题值得每一个学生去好好研究一下