2025年上海市徐汇区高考数学二模试卷

第64页（共64页）2025年上海市徐汇区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）（2025•徐汇区二模）已知全集U＝{x||x﹣1|≤2，x∈R}，A＝[1，3]，则A=2．（4分）（2025•徐汇区二模）复数z=11-i（其中i为虚数单位）的虚部是3．（4分）（2025•徐汇区二模）在空间直角坐标系中，向量a→=(-m，6，3)，b→=(2，n，4．（4分）（2025•徐汇区二模）已知幂函数y＝f（x）的图像过点(3，33)，则该幂函数的值域是5．（4分）（2025•徐汇区二模）如图是一个2×2列联表，则s＝．y1y2总计x1a3545x27bn总计m73s6．（4分）（2025•徐汇区二模）已知cosθ=-35，θ∈(0，π)7．（5分）（2025•徐汇区二模）已知PA⊥平面ABC，△ABC是直角三角形，且AB＝AC＝2，PA＝4，则点P到直线BC的距离是．8．（5分）（2025•徐汇区二模）已知ABCD是正方形，点M是AB的中点，点E在对角线AC上，且AE→=3EC→，则∠MED的大小为9．（5分）（2025•徐汇区二模）已知两个随机事件A，B，若P(A)=15，P(B)=1410．（5分）（2025•徐汇区二模）已知F1为双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞11．（5分）（2025•徐汇区二模）如图，某处有一块圆心角为23π的扇形绿地AOB，扇形的半径为20米，AB是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路OC，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料．为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路AB与新直路OC的交叉点D到O的距离为12．（5分）（2025•徐汇区二模）设实数ω＞0，若f（x）＝sinωx满足对任意x1∈[0，π]，都存在x2∈[π，2π]，使得f（x1）+f（x2）＝0成立，则ω的最小值是．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（4分）（2025•徐汇区二模）已知A、B为两个随机事件，则“A、B为互斥事件”是“A、B为对立事件”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件14．（4分）（2025•徐汇区二模）在研究线性回归模型时，若样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）所对应的点都在直线y=-13x+2上，则两组数据xi和yi（i＝1，2，3A．﹣1 B．1 C．-13 D15．（5分）（2025•徐汇区二模）在桌面上有一个质地均匀的正四面体D﹣ABC．从该正四面体与桌面贴合的面上的三条棱中等可能地选取一条棱，沿其翻转正四面体至正四面体的另一个面与桌面贴合，如此翻转称为一次操作．如图，开始时，正四面体与桌面贴合的面为ABC，操作n（n＝1，2，3，⋯）次后，正四面体与桌面贴合的面是ABC的概率记为Pn．现有下列两个结论：①P2=13；②P25A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都正确 D．①、②都错误16．（5分）（2025•徐汇区二模）已知函数y＝f（x）的定义域和值域都为R，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数y＝f′（x）的值如表：x（﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+0﹣0+设D⊆R，若集合{y|y＝f（x），x∈D}＝{a，b，c}，其中a，b，c为常数，则符合要求的集合D的个数不可能是（）A．3 B．27 C．63 D．343三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。17．（14分）（2025•徐汇区二模）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm．（1）求正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的侧面BCC1B1与底面ABCD所成二面角的大小；（2）现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比．18．（14分）（2025•徐汇区二模）已知函数y＝f（x），其中f（x）＝log2x．（1）解关于x的不等式f（3x﹣2）＜f（2x+1）；（2）若存在唯一的实数x0，使得f（x0），f（x0﹣a），f（2）依次成等差数列，求实数a的取值范围．19．（14分）（2025•徐汇区二模）某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差．已知每包糖果的实际净含量ξ（单位：g）服从正态分布N（500，2.52）．（1）随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到0.001）；（2）随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为X．求X的分布和期望（精确到0.001）．参考数据：Φ（1）≈0.8413，Φ（2）≈0.9772，Φ（3）≈0.9987，其中y＝Φ（x）为标准正态分布函数．20．（18分）（2025•徐汇区二模）已知抛物线C：y2＝4x，点F是抛物线C的焦点．（1）求点F的坐标及点F到准线l的距离；（2）过点F作相互垂直的两条直线l1，l2，l1交抛物线C于点P1、P2，l2交抛物线C于点Q1、Q2，求证：1|（3）过点F且斜率为3的直线交抛物线C于A、B两点，设点P不在直线AB上且PF为△PAB的内角平分线，求△PAB面积的最大值．21．（18分）（2025•徐汇区二模）对于函数y＝h（x），记h（0）（x）＝h（x），h（1）（x）＝（h（x））′，…，h（n+1）（x）＝（h（n）（x））′（n∈N）．如果n是满足h（n）（x）＝h（x）的最小正整数，则称n是函数y＝h（x）的“最小导周期”．（1）已知函数y＝f（x），其中f（x）＝asin（x+t）+bcos（x+t），求证：对任意实数a，b，t，都有f（4）（x）＝f（x）；（2）设m，n∈R，g（x）＝emx+ncosx，若函数y＝g（x）的最小导周期为2，记M(a，b)=(a-b)2（3）设ω＞1，h（x）＝cosωx，若函数y＝h（x）满足h（2）（x）≤x对x∈（0，+∞）恒成立，且存在x0∈（0，+∞）使得h（2）（x0）＝x0，试用ω表示x0，并证明π2

2025年上海市徐汇区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）题号13141516答案BACB一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）（2025•徐汇区二模）已知全集U＝{x||x﹣1|≤2，x∈R}，A＝[1，3]，则A=[﹣1，1）【考点】求集合的补集．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【答案】[﹣1，1）．【分析】根据已知条件，结合补集的定义，即可求解．【解答】解：全集U＝{x||x﹣1|≤2，x∈R}＝{x|﹣1≤x≤3}，A＝[1，3]，则A=[﹣1，1故答案为：[﹣1，1）．【点评】本题主要考查补集的运算，属于基础题．2．（4分）（2025•徐汇区二模）复数z=11-i（其中i为虚数单位）的虚部是【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】根据复数的基本运算求解即可．【解答】解：复数z=1故虚部为：12故答案为：12【点评】本题主要考查复数的基本运算，属于基础题．3．（4分）（2025•徐汇区二模）在空间直角坐标系中，向量a→=(-m，6，3)，b→=(2，n，【考点】空间向量的共线与共面；空间向量线性运算的坐标表示．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】﹣4．【分析】直接利用向量共线的充要条件求出结果．【解答】解：向量a→=(-m，6，3)，b→=(2，n，1)，若a→∥b→故答案为：﹣4．【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量共线的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．4．（4分）（2025•徐汇区二模）已知幂函数y＝f（x）的图像过点(3，33)，则该幂函数的值域是（0，【考点】求幂函数的解析式．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（0，+∞）．【分析】设出幂函数，将点代入，即可求解．【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xα，幂函数y＝f（x）的图像过点(3，则3α=3故f（x）=x-12=故答案为：（0，+∞）．【点评】本题主要考查求幂函数的解析式，属于基础题．5．（4分）（2025•徐汇区二模）如图是一个2×2列联表，则s＝90．y1y2总计x1a3545x27bn总计m73s【考点】分类变量与2×2列联表．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】90．【分析】根据2×2列联表直接求解即可．【解答】解：由题意可知，a＝45﹣35＝10，m＝a+7＝17，所以s＝m+73＝17+73＝90．故答案为：90．【点评】本题主要考查了2×2列联表的计算，属于基础题．6．（4分）（2025•徐汇区二模）已知cosθ=-35，θ∈(0，π)【考点】求两角和与差的三角函数值．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】7．【分析】由已知结合同角基本关系及和差角公式即可求解．【解答】解：因为cosθ=-35，θ∈（0，所以sinθ=45，tan则tan（θ-π4）故答案为：7．【点评】本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．7．（5分）（2025•徐汇区二模）已知PA⊥平面ABC，△ABC是直角三角形，且AB＝AC＝2，PA＝4，则点P到直线BC的距离是32【考点】空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解；空间想象．【答案】32【分析】取BC的中点D，连接AD，PD，证明PD⊥BC，可知点P到直线BC的距离为PD，再利用勾股定理求解即可．【解答】解：取BC的中点D，连接AD，PD，因为△ABC是直角三角形，且AB＝AC＝2，所以AD=12BC因为PA⊥平面ABC，AB、AC、AD⊂平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥AD，又AB＝AC，所以PB＝PC，所以PD⊥BC，即点P到直线BC的距离为PD，在Rt△PAD中，PD=PA2即点P到直线BC的距离为32．故答案为：32【点评】本题考查空间中点到直线距离的求法，熟练掌握点到线距离的定义，线面垂直的性质定理是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8．（5分）（2025•徐汇区二模）已知ABCD是正方形，点M是AB的中点，点E在对角线AC上，且AE→=3EC→，则∠MED的大小为【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】π2【分析】建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用数量积即可求解．【解答】解：以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，设AB＝4，、则有A（0，0），M（2，0），D（0，4），C（4，4），由AE→=3EC→，有AE→=3所以EM→=(-1，所以EM→•ED→=-1×（﹣3）+（﹣3）×1即ED⊥EM，所以∠MED故答案为：π2【点评】本题考查了数量积公式，属于基础题．9．（5分）（2025•徐汇区二模）已知两个随机事件A，B，若P(A)=15，P(B)=14【考点】条件概率．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】715【分析】利用条件概率公式求解．【解答】解：因为P(A)=所以P（AB）＝P（A）P（B|A）=1所以P（AB）＝P（B）﹣P（AB）=1所以P（A|B）=P故答案为：715【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．10．（5分）（2025•徐汇区二模）已知F1为双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞【考点】双曲线的几何特征．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】5．【分析】运用中位线定理，可得OM∥PF2，|OM|=12|PF2|【解答】解：设F2为双曲线的右焦点，记切点为M，则OM⊥PF1，可知M是PF1的中点，则OM∥PF2，|OM|=12|PF2|=a，则|PF1|＝2故|P故答案为：5．【点评】本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查直线和圆相切的条件，以及中位线定理和勾股定理的运用，考查运算能力，属于中档题．11．（5分）（2025•徐汇区二模）如图，某处有一块圆心角为23π的扇形绿地AOB，扇形的半径为20米，AB是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路OC，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料．为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路AB与新直路OC的交叉点D到O的距离为102【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；导数的综合应用；解三角形；逻辑思维；运算求解．【答案】102【分析】过点O作OH⊥AB，设∠BOD＝α，BD＝m，根据正弦定理求得m=20sinαsin(α+π6)，求得阴影的面积为S=200(α-sinαsin【解答】解：过点O作OH⊥AB垂足为H，可得OH＝10，AB=20设∠BOD＝α，BD＝m，在△BOD中，由正弦定理得msinα因为sin∠所以m=又由阴影部分的面积：S＝S扇形OBC﹣SΔOBD+SΔOAD=1=200α=200α=200(α其中0＜令f(可得f'(令f'（α）＝0，可得sin(解得α=当0＜α＜π12时，f′当π12＜α＜π2时，f所以f（α）在(0，π12当α=π12时，函数f则∠DOH所以△ODH为等腰直角三角形，因为|OH|＝10，所以|OD故答案为：102【点评】本题考查了三角函数的实际应用，考查了利用正弦定理解三角形及导数的综合运用，属于中档题．12．（5分）（2025•徐汇区二模）设实数ω＞0，若f（x）＝sinωx满足对任意x1∈[0，π]，都存在x2∈[π，2π]，使得f（x1）+f（x2）＝0成立，则ω的最小值是34【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】34【分析】根据题意，运用正弦函数的性质，证出当0＜ω＜12或12≤ω＜34时，都不存在x1、x2满足题设的条件，从而可得ω≥34.然后在ω=34时，利用正弦函数的性质，证出存在x2∈[π，2π]，使得f（x1）+f（【解答】解：①若0＜ω＜12，则由ωπ∈(0，取x1＝π，则对任意x2∈[π，2π]，ωx2∈[0，π]，可得sinωx2≥0，从而f（x1）+f（x2）＝sinωx1+sinωx2≥sin（ωπ）+sinωx2＞0，与题设矛盾，不满足条件；②若12≤ω＜34，则对任意x2∈[π，2π]，由于π2≤取x1=π根据①②可知ω≥34，当ω=34时，对任意x1∈[0，π]，由ω由x2∈[π，2π]，可得ωx2=34x2∈[3π4，3π2]，即sinωx2此时对任意x1∈[0，π]，sinωx1∈[0，1]，存在x2∈[π，2π]，使sinωx2＝﹣sinωx1成立，所以f（x1）+f（x2）＝0成立，故ω=综上所述，ω的最小值是34故答案为：34【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质、三角函数的图象变换等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（4分）（2025•徐汇区二模）已知A、B为两个随机事件，则“A、B为互斥事件”是“A、B为对立事件”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件【考点】充分条件与必要条件；互斥事件与对立事件．【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；逻辑思维．【答案】B【分析】根据互斥事件和对立事件的概念直接判断即可．【解答】解：根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“A、B为互斥事件”是“A、B为对立事件”的必要非充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了互斥事件和对立事件的概念，属于基础题．14．（4分）（2025•徐汇区二模）在研究线性回归模型时，若样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）所对应的点都在直线y=-13x+2上，则两组数据xi和yi（i＝1，2，3A．﹣1 B．1 C．-13 D【考点】经验回归方程与经验回归直线；样本相关系数．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】A【分析】根据相关系数的性质求解．【解答】解：因为样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）所对应的点都在直线y=-所以相关系数|r|＝1，又因为b̂=-13＜0所以r＝﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题．15．（5分）（2025•徐汇区二模）在桌面上有一个质地均匀的正四面体D﹣ABC．从该正四面体与桌面贴合的面上的三条棱中等可能地选取一条棱，沿其翻转正四面体至正四面体的另一个面与桌面贴合，如此翻转称为一次操作．如图，开始时，正四面体与桌面贴合的面为ABC，操作n（n＝1，2，3，⋯）次后，正四面体与桌面贴合的面是ABC的概率记为Pn．现有下列两个结论：①P2=13；②P25A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都正确 D．①、②都错误【考点】概率的应用．【专题】整体思想；定义法；概率与统计；逻辑思维．【答案】C【分析】首先通过分析正四面体的翻转操作，找出操作n次后正四面体与桌面贴合的面是ABC的概率Pn的递推关系，再根据递推关系计算P2，并分析Pn的性质判断P24与P25的大小关系．【解答】解：开始时正四面体与桌面贴合的面为ABC，进行一次操作后，正四面体与桌面贴合的面不可能再是ABC，所以P1＝0．要得到操作2次后正四面体与桌面贴合的面是ABC，那么第一次操作后正四面体与桌面贴合的面不是ABC，且第二次操作能回到ABC．第一次操作后正四面体与桌面贴合的面不是ABC，有3种情况（正四面体共4个面，除去ABC面），从这3个面中的任意一个面进行第二次操作回到ABC面的概率为13根据分步乘法计数原理，P2=(1-P1)×13，因为P1当n≥2时，操作n次后正四面体与桌面贴合的面是ABC，则操作n﹣1次后正四面体与桌面贴合的面不是ABC，且第n次操作能回到ABC，操作n﹣1次后正四面体与桌面贴合的面不是ABC的概率为1﹣Pn﹣1，从不是ABC的面进行一次操作回到ABC面的概率为13所以可得递推关系Pn将上式变形为Pn所以数列{Pn-14Pn-14=(-显然P25＜P24，故②正确．故选：C．【点评】本题考查概率的综合应用，属于中档题．16．（5分）（2025•徐汇区二模）已知函数y＝f（x）的定义域和值域都为R，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数y＝f′（x）的值如表：x（﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+0﹣0+设D⊆R，若集合{y|y＝f（x），x∈D}＝{a，b，c}，其中a，b，c为常数，则符合要求的集合D的个数不可能是（）A．3 B．27 C．63 D．343【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】B【分析】根据若对应的y＝t的x取值的情况可以有1个，2个或3个，且对应2个根的情况的时候即可判断A，根据若y＝a，y＝b，y＝c对应的根的个数为2，2，3即可判断C，根据若y＝a，y＝b，y＝c对应的根的个数为3，3，3即可判断D．【解答】解：由题意可得，若对应的y＝t的x取值的情况可以有1个，2个或3个，且对应2个根的情况的时候，t的取值只有2个，若y＝a，y＝b，y＝c对应的根的个数为1，1，2，则符合要求的集合的个数为1×1×（22﹣1）＝3，A有可能；若y＝a，y＝b，y＝c对应的根的个数为2，2，3，则符合要求的集合的个数为（22﹣1）×（22﹣1）×（23﹣1）＝63，C有可能；若y＝a，y＝b，y＝c对应的根的个数为3，3，3，则符合要求的集合的个数为（23﹣1）×（23﹣1）×（23﹣1）＝343，D有可能．故选：B．【点评】本题主要考查导数的应用，考查运算求解能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。17．（14分）（2025•徐汇区二模）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm．（1）求正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的侧面BCC1B1与底面ABCD所成二面角的大小；（2）现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比．【考点】二面角的平面角及求法；棱台的体积．【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．【答案】（1）arctan3；（2）4-π【分析】（1）先证∠OEE1为侧面BCC1B1与底面ABCD所成二面角的平面角，再解三角形即可；（2）分别代入台体的体积公式求解即可求解．【解答】解：（1）设正方形ABCD，A1B1C1D1的中心分别为O，O1，连接OO1，则OO1⊥平面ABCD，分别取BC，B1C1的中点E，E1，连接EE1，OE，OE1，则OE⊥BC，O1E1⊥B1C1．又E，E1分别为等腰梯形BCC1B1底边BC，B1C1的中点，所以EE1⊥BC，由O1E1∥A1B1∥AB∥OE，可得四边形O1OEE1是一个直角梯形，EE1⊥BC，又OE⊥BC，所以∠OEE1为侧面BCC1B1与底面ABCD所成二面角的平面角，因为正四棱台上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm．则O1所以tan∠所以侧面BCC1B1与底面ABCD所成二面角的大小为arctan3；（2）设圆台O﹣O1上底面圆半径r＝10cm，下底面圆半径R＝20cm，高O1O＝30cm，则圆台O﹣O1的体积为V1又正四棱台的体积V2所以削去部分的体积V3所以削去部分与正四棱台的体积之比为28000-7000π【点评】本题考查二面角与几何体体积的计算，属于中档题．18．（14分）（2025•徐汇区二模）已知函数y＝f（x），其中f（x）＝log2x．（1）解关于x的不等式f（3x﹣2）＜f（2x+1）；（2）若存在唯一的实数x0，使得f（x0），f（x0﹣a），f（2）依次成等差数列，求实数a的取值范围．【考点】数列与函数的综合；等差数列的通项公式．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】（1）x∈（23，3（2）a∈{-【分析】（1）直接求解对数不等式得答案；（2）由等差数列的性质把问题转化为a＝x-2x在x∈（0，+∞）上恰有一个实数解，令2x=t(t＞0)，则a=【解答】解：（1）函数f（x）＝log2x为单调增函数，则f（3x﹣2）＜f（2x+1）⇔0＜3x﹣2＜2x+1，解得x∈（23，3（2）若存在唯一的实数x0，使得f（x0），f（x0﹣a），f（2）依次成等差数列，即2f（x0﹣a）＝f（x0）+f（2），也就是方程log2x+1＝2log2（x﹣a）恰有一个实数解，即12log2(2x)=lo等价于2x=x-a在x∈即a＝x-2x在x∈（0，令2x=t(t＞0)，则a=关于t的二次函数在t∈（0，+∞）上的图象如图：由图可知，a∈{-∴a∈{-【点评】本题考查数列与函数的综合，考查对数不等式的解法，考查化归与转化、数形结合思想，是中档题．19．（14分）（2025•徐汇区二模）某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差．已知每包糖果的实际净含量ξ（单位：g）服从正态分布N（500，2.52）．（1）随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到0.001）；（2）随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为X．求X的分布和期望（精确到0.001）．参考数据：Φ（1）≈0.8413，Φ（2）≈0.9772，Φ（3）≈0.9987，其中y＝Φ（x）为标准正态分布函数．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量及其分布列．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）0.046；（2）X的分布列为：X0123P0.5950.3370.0640.004E（X）≈0.476．【分析】（1）利用正态分布曲线的对称性求解；（2）由题意可知，X服从二项分布B（3，0.1587），X的所有可能取值为0，1，2，3，利用二项分布的概率公式求出相应的概率，再结合期望公式求解即可．【解答】解：（1）由题意，ξ～N（500，2.52），令Y=ξ-5002.5，则Y～N因此P（|ξ﹣500|＞5）＝P（|Y|＞2）＝2（1﹣Φ（2））≈0.0456，故净含量误差超过5g的概率约为0.046；（2）由题意可知，X可能的取值为0、1、2、3，由（1）可知，任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率为Φ（﹣1）＝1﹣Φ（1）≈0.1587，故X服从二项分布B（3，0.1587），X的所有可能取值为0，1，2，3，则P（X＝0）＝（1﹣0.1587）3≈0.595，P（X＝1）=C31×0.1587×(1-0.1587)2≈0.337，P（X＝2）=C32×0.1587所以X的分布列为：X0123P0.5950.3370.0640.004所以E（X）＝3×0.1587≈0.476．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了二项分布的概率公式和期望公式，属于中档题．20．（18分）（2025•徐汇区二模）已知抛物线C：y2＝4x，点F是抛物线C的焦点．（1）求点F的坐标及点F到准线l的距离；（2）过点F作相互垂直的两条直线l1，l2，l1交抛物线C于点P1、P2，l2交抛物线C于点Q1、Q2，求证：1|（3）过点F且斜率为3的直线交抛物线C于A、B两点，设点P不在直线AB上且PF为△PAB的内角平分线，求△PAB面积的最大值．【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线；抛物线上的点到准线及其平行线的距离．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）（1，0），2；（2）证明过程见解析，定值为14（3）163【分析】（1）根据抛物线的方程进行求解即可；（2）设出直线l1，l2的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求证即可；（3）设出直线AB的方程，将直线方程与抛物线方程联立，求出A，B两点的坐标，根据正弦定理以及∠PFA+∠PFB＝π，∠APF＝∠BPF，推出|PA||【解答】解：（1）易知2p＝4，解得p＝2，因为点F是抛物线C的焦点，所以F（1，0），点F到准线l的距离为2；（2）证明：易知直线l1，l2的斜率存在且不等于0并过点F（1，0），设直线l1的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），P1（x1，y1），P2（x2，y2），联立y2=4xy=k(x-1)，消去y并整理得k2x2﹣（2k由韦达定理得x1+x2=2k2|P同理得|Q则1|（3）直线AB的方程为y=联立y=解得x1=1令B(此时|AB|=1在△PAF中，|PA在△PBF中，|PB因为∠PFA+∠PFB＝π，∠APF＝∠BPF，所以|设P（x，y），此时(x整理得x2所以点P在以点(0，-3)为圆心，因为圆心(0，-3所以点P到直线AB距离的最大值为2．故△PAB面积最大值S=1【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．21．（18分）（2025•徐汇区二模）对于函数y＝h（x），记h（0）（x）＝h（x），h（1）（x）＝（h（x））′，…，h（n+1）（x）＝（h（n）（x））′（n∈N）．如果n是满足h（n）（x）＝h（x）的最小正整数，则称n是函数y＝h（x）的“最小导周期”．（1）已知函数y＝f（x），其中f（x）＝asin（x+t）+bcos（x+t），求证：对任意实数a，b，t，都有f（4）（x）＝f（x）；（2）设m，n∈R，g（x）＝emx+ncosx，若函数y＝g（x）的最小导周期为2，记M(a，b)=(a-b)2（3）设ω＞1，h（x）＝cosωx，若函数y＝h（x）满足h（2）（x）≤x对x∈（0，+∞）恒成立，且存在x0∈（0，+∞）使得h（2）（x0）＝x0，试用ω表示x0，并证明π2【考点】函数与方程的综合运用；函数恒成立问题．【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；定义法；函数的性质及应用；导数的综合应用；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解；新定义类．【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）x0【分析】（1）根据“最小导周期”的定义即可证明；（2）由题意有emx+ncosx＝m2emx﹣ncosx对任意实数x恒成立，令x＝0，得m2＝1+2n，令x=π2，得m2＝1，根据m的取值验证函数y＝g（x）的最小导周期为2，即可得g（x），由M(a，b)=(a-b)2+(-a-1-e（3）记∃φ（x）＝h（2）（x）﹣x，由φ（x）＝h（2）（x）﹣x≤0在（0，+∞）上恒成立及存在x0＞0，使φ（x0）＝h（2）（x0）﹣x0＝0，可知x＝x0是函数y＝φ（x）的极大值点，即φ'（x0）＝0，φ（x0）＝﹣ω2cosωx0﹣x0＝0，解得x0，由sinωx0=1ω3＞0，cosωx0=-x0ω2＜0，得2kπ+π2＜【解答】解：（1）证明：因为f（1）（x）＝[asin（x+t）+bcos（x+t）]'＝acos（x+t）﹣bsin（x+t），f（2）（x）＝[acos（x+t）﹣bsin（x+t）]'＝﹣asin（x+t）﹣bcos（x+t），f（3）（x）＝[﹣asin（x+t）﹣bcos（x+t）]'＝﹣acos（x+t）+bsin（x+t），f（4）（x）＝[acos（x+t）+bsin（x+t）]'＝asin（x+t）+bcos（x+t）＝f（x），所以对任意实数a，b，t，都有f（4）（x）＝f（x）；（2）因为g（x）＝emx+ncosx，且函数y＝g（x）的最小导周期为2，所以g（1）（x）＝（emx+ncosx）'＝memx﹣nsinx，g（2）（x）＝（memx﹣nsinx）'＝m2emx﹣ncosx，由题意知，emx+ncosx＝m2emx﹣ncosx对任意实数x恒成立，令x＝0，则1+n＝m2﹣n，即m2＝1+2n，令x=π2，则emπ2=所以m＝1，n＝0或m＝﹣1，n＝0；若m＝1，n＝0，则g（x）＝ex，g（1）（x）＝（ex）'＝ex＝g（x），最小导周期为1，不是2，与已知矛盾；若m＝﹣1，n＝0，则g（x）＝e﹣x，g（1）（x）＝（e﹣x）'＝﹣e﹣x，g（2）（x）＝（﹣e﹣x）'＝e﹣x＝g（x），最小导周期为2，符合要求，所以g（x）＝e﹣x．又因为M=(=(可视为点P（a，﹣a﹣1）与点Q（b，e﹣b）之间的距离，当实数a，b变化时，点P（a，﹣a﹣1）在直线y＝﹣x﹣1上运动，点Q（b，e﹣b）在曲线y＝e﹣x上运动，因此所求最小值可转化为曲线y＝e﹣x上的点到直线y＝﹣x﹣1距离的最小值，而曲线y＝e﹣x在直线y＝﹣x﹣1上方，平移直线y＝﹣x﹣1使其与曲线y＝e﹣x相切，则切点到直线y＝﹣x﹣1的距离即为所求．设切点M(因为y'＝﹣e﹣x，切线斜率-e-x0=-1，得所以切点为（0，1），又因为点（0，1）到直线y＝﹣x﹣1距离d=即M（a，b）的最小值为2；（3）证明：因为h（1）（x）＝﹣ωsin（ωx），h（2）（x）＝﹣ω2cos（ωx），记φ（x）＝h（2）（x）﹣x，即φ（x）＝﹣ω2cosωx﹣x．由φ（x）＝h（2）（x）﹣x≤0在（0，+∞）上恒成立及存在x0＞0使φ(可知x＝x0是函数y＝φ（x）的极大值点，于是φ'(则sinωx0又φ(则cosωx0由①2+②2，得1ω6+又因为sinωx所以2kπ由ωx0＞0，得k≥0，又因为π2所以φ=-ω有k≤0，于是k＝0，所以π2【点评】本题考查了“最小导周期”的定义与性质，考查了三角函数的性质、导数的几何意义及转化思想，属于难题．

考点卡片1．求集合的补集【知识点的认识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．【解题方法点拨】常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．【命题方向】通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．已知集合A={x|y=解：根据题意可得A＝{x|x≤1}，∴∁RA＝{x|x＞1}．2．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．3．函数恒成立问题【知识点的认识】函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．【解题方法点拨】﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件．﹣利用恒成立条件，确定函数的行为．一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量【命题方向】题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力．关于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴∀x∈R，m＜1x∵x2+x+1＝（x+12）2∴0＜1∴m≤0．4．求幂函数的解析式【知识点的认识】幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a＝1，2，3，12，﹣1【解题方法点拨】﹣根据已知条件设定幂函数的形式，代入已知条件，求解指数a．﹣写出幂函数的解析式，验证解析式的正确性．【命题方向】题目包括辨识幂函数的形式，分析幂函数的特征及应用题．若幂函数y＝f（x）的图像过点(22，2)，则函数y＝f（解：幂函数y＝f（x）＝xα的图像过点(2∴（22）α＝2解得α＝﹣2，则函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝x﹣2．故答案为：f（x）＝x﹣2．5．正弦函数的图象【知识点的认识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（2kπ-π2，2kπ（k∈Z）；递减区间：（2kπ+π2，2kπ（k∈Z）递增区间：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；递减区间：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）递增区间：（kπ-π2，kπ（k∈Z）最值x＝2kπ+π2（k∈Z）时，ymax＝x＝2kπ-π2（k∈ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+π2，k对称中心：（kπ+π2，0）（k∈对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（kπ2，0）（k∈Z无对称轴周期2π2ππ6．求两角和与差的三角函数值【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα【解题方法点拨】﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβcos（α±β）＝cosαcosβ∓sinαsinβtan(﹣将具体角度值代入公式，求解三角函数值．﹣验证计算结果的正确性．【命题方向】常见题型包括利用和差公式求解三角函数值，结合具体角度进行计算．若α为锐角，sinα=45，则解：若α为锐角，sinα=45，则cossin(α+π3)=17．函数与方程的综合运用【知识点的认识】函数与方程的综合运用是指结合函数的性质和方程的解法解决复杂问题．【解题方法点拨】﹣函数性质：分析函数的定义域、值域、单调性、对称性等性质．﹣方程求解：利用函数性质建立方程，求解方程根．﹣综合应用：将函数性质和方程求解结合，解决实际问题．【命题方向】常见题型包括函数性质和方程解法的综合运用，解决复杂的数学问题．8．根据实际问题选择函数类型【知识点的认识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y=kx（k＞0）型，增长特点是y随③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．（2）过程：如下图所示．【解题方法点拨】用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：（1）解函数关系已知的应用题①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．（2）解函数关系未知的应用题①阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；②抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；③研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；④得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．【命题方向】典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．y=14000分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%=14A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤14D中，函数y=14000x2，易知满足①，当x＝400时，y＞故选C点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x=kt+1（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．解答：解：（1）由题意：3﹣x=k且当t＝0时，x＝1．所以k＝2，所以3﹣x=2t+1，…生产成本为32x+3，每件售价32(32x+3所以，y=[32(＝16x-t2+32=-32（2）因为32t+1+t+12≥8当且仅当32t+1所以y≤50﹣8＝42，…（1分）答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．9．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．【解题方法点拨】eg1：已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+1，求数列{an}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴an=2把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{an}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列an是以1为首项，4为公差的等差数列，∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【命题方向】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．10．数列与函数的综合【知识点的认识】数列的函数特性：等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式中共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知三求二，体现了方程的思想的应用．解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．【解题方法点拨】1．在解决有关数列的具体应用问题时：（1）要读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质，舍弃与解题无关的非本质性东西；（2）准确地归纳其中的数量关系，建立数学模型；（3）根据所建立的数学模型的知识系统，解出数学模型的结果；（4）最后再回到实际问题中去，从而得到答案．2．在求数列的相关和时，要注意以下几个方面的问题：（1）直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．（2）注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．（3）求一般数列的前n项和时，无一般方法可循，要注意掌握某些特殊数列的前n项和的求法，触类旁通．3．在用观察法归纳数列的通项公式（尤其是在处理客观题目时）时，要注意适当地根据具体问题多计算相应的数列的前几项，否则会因为所计算的数列的项数过少，而归纳出错误的通项公式，从而得到错误的结论．【命题方向】典例：已知f（x）＝logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an）…是首项为4，公差为2的等差数列．（I）设a为常数，求证：{an}成等比数列；（II）设bn＝anf（an），数列{bn}前n项和是Sn，当a=2时，求S分析：（I）先利用条件求出f（an）的表达式，进而求出{an}的通项公式，再用定义来证{an}是等比数列即可；（II）先求出数列{bn}的通项公式，再对数列{bn}利用错位相减法求和即可．解答：证明：（I）f（an）＝4+（n﹣1）×2＝2n+2，即logaan＝2n+2，可得an＝a2n+2．∴an∴{an}为等比数列．（5分）（II）解：bn＝anf（an）＝a2n+2logaa2n+2＝（2n+2）a2n+2．（7分）当a=2时，bnSn＝2×23+3×24+4×25++（n+1）•2n+2①2Sn＝2×24+3×25+4×26++n•2n+2+（n+1）•2n+3②①﹣②得﹣Sn＝2×23+24+25++2n+2﹣（n+1）•2n+3（12分）=16+24(1-2n-1)1-2-（n+1）•2n+3＝16+2n+3﹣24∴Sn＝n•2n+3．（14分）点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．11．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x（Ⅲ）求证：ln2解：（Ⅰ）f'(x)=当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）f'(2)=-a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx∴g(∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴g由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：g'(1)＜0g'(2)＜（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴0∴ln12．数量积表示两个平面向量的夹角【知识点的认识】我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量a→与b→不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ【解题方法点拨】例：复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为60°解：zz=3+∴复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为故答案为：60°．点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（3，1）与向量（3，﹣1）的夹角．【命题方向】这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．13．复数的实部与虚部【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中【解题方法点拨】﹣分解复数：通过给定的复数表达式，提取实部和虚部．﹣应用：在复数运算中，分开处理实部和虚部，简化计算过程．【命题方向】﹣实部与虚部的提取：考查如何从复数表达式中提取实部和虚部．﹣实部虚部的运算：如何利用实部和虚部进行复数运算和解决问题．若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a＝_____．解：若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则a2﹣3+2a＝0，解得：a＝﹣3或a＝1，故答案为：﹣3或1．14．复数的除法运算【知识点的认识】复数除法涉及分子与分母的复数．对于复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法结果是z1【解题方法点拨】﹣化简复数：将复数除法转换为分数形式，乘以分母的共轭复数，化简得到标准形式．﹣应用：在实际问题中如何处理复数的除法及其应用．【命题方向】﹣复数除法的计算：考查如何计算复数除法及其结果．﹣除法的实际应用：如何在实际问题中应用复数除法．i是虚数单位，2i1+解：2i1+i15．棱台的体积【知识点的认识】棱台的体积可以通过两个平行底面的面积B1和B2以及高度h计算．【解题方法点拨】﹣计算公式：体积计算公式为V=﹣底面面积计算：两个底面的面积B1和B2可以根据底面多边形的性质计算．【命题方向】﹣棱台的体积计算：考查如何根据两个底面面积和高度计算棱台的体积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用棱台体积计算．16．空间向量的共线与共面【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理对于空间任意两个向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果两个向量a→、b→不共线，则向量p→与向量a→、b→共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x【解题方法点拨】空间向量共线问题：（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a→=λb→（2）a→∥b→表示空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使MP→=xMA→+yMB→证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=-12C．x=16，y=-32分析：利用共线向量的条件b→=λa→解答：∵a→=（2x，1，3）与b→=（1，﹣2故有2x∴x=16，y故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根据共面向量定理OM→=m⋅OA→+n⋅解答：由共面向量定理OM→说明M、A、B、C共面，可以判断A、B、C都是错误的，则D正确．故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．17．空间向量线性运算的坐标表示【知识点的认识】1．空间向量的坐标运算规律：设空间向量a→=(x（1）a（2）a（3）λ2．空间向量的坐标表示：设空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则AB→=OB→-OA→=（x2，y2，z2）﹣（x1，y1，z1）＝（x2﹣x1，y2﹣y【解题方法点拨】空间向量的坐标运算：空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；【命题方向】﹣坐标表示：考查如何在坐标系中进行空间向量的线性运算．18．二面角的平面角及求法【知识点的认识】1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为u→和v→，若两个平面的夹角为（1）当0≤＜u→，v→＞≤此时cosθ＝cos＜u→，（2）当π2＜＜u→，v→＞＜π时，θcosθ＝﹣cos＜u→，19．空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离【知识点的认识】﹣点到直线的距离：点P到直线l的距离为：d=其中AP→是点P到直线上的点A的向量，d﹣两平行直线间的距离：两平行直线的距离是它们之间任意一点到另一条直线的距离．【解题方法点拨】﹣计算距离：应用点到直线的距离公式和两平行直线的距离计算公式．【命题方向】﹣距离计算：考查如何计算空间中点到直线的距离以及两平行直线之间的距离．20．抛物线的焦点与准线【知识点的认识】抛物线的简单性质：21．抛物线上的点到准线及其平行线的距离【知识点的认识】抛物线上的点到准线的距离为|y-p/2|2【解题方法点拨】1．计算距离：利用点坐标和准线方程计算到准线的距离．2．计算到平行线的距离：利用准线的平行线计算距离．【命题方向】﹣给定抛物线上的点，计算到准线及其平行线的距离．﹣分析距离问题及应用公式．22．直线与抛物线的综合【知识点的认识】直线与抛物线的位置判断：将直线方程与抛物线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：直线与抛物线相交⇔Δ＞0；直线与抛物线相切⇔Δ＝0；直线与抛物线相离⇔Δ＜0；【解题方法点拨】研究直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为二次方程，则依据根的判别式或根与系数的关系求解，同时应注意“设而不求”和“整体代入”方法的应用．直线y＝kx+b与抛物线y2＝2px（p＞0）公共点的个数等价于方程组y2（1）若k≠0，则当Δ＞0时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当Δ＝0时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．（2）若k＝0，则直线y＝b与y2＝2px（p＞0）相交，有一个公共点；特别地，当直线的斜率不存在时，设x＝m，则当m＞0时，直线l与抛物线相交，有两个公共点；当m＝0时，直线l与抛物线相切，有一个公共点；当m＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．【命题方向】掌握抛物线的定义、标准方程、简单性质等基础知识，深化对基础知识的理解，重视知识间的内在联系，提高应用数学思想方法解决问题的意识和能力．对相对固定的题型，比如弦长问题、面积问题等，要以课本为例，理解通性通法，熟练步骤．对抛物线与直线的综合研究，涉及到定点、定值等相关结论，往往是高考考试的热点．23．双曲线的几何特征【知识点的认识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程x2a2-y2b2=1y2a2-x2b2=1图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e=ca（e＞准线x＝±ay＝±a渐近线xa±yxb±y24．互斥事件与对立事件【知识点的认识】1．互斥事件（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A与B互斥．推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．对立事件（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做A．注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；②在一次试验中，事件A与A只发生其中之一，并且必然发生其中之一．（2）对立事件的概率公式：P（A）＝1﹣P（A）3．互斥事件与对立事件的区别和联系互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．【命题方向】1．考查对知识点概念的掌握例1：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D正确故选D点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题．例2：下列说法正确的是（）A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大D．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小．分析：根据对立