2026年菁优高考数学解密之填空题

第56页（共56页）2026年菁优高考数学解密之填空题一．填空题（共25小题）1．（2025•成都校级模拟）一个数列有没有可能同时是等差数列和等比数列？（请直接回答“是”或者“否”）2．（2025•平山区校级模拟）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S14＝14，则a7+a8＝．3．（2025•兴化市校级模拟）若函数f（x）＝ex（x2﹣ax+b）在x＝0处取得极大值，则实数a的取值范围为．4．（2025•桐乡市模拟）将6个相同的球放入编号为1，2，3的3个盒子中，要求每个盒子至少放1个球，且编号为1的盒子中球数不超过2个，则不同的放法种数为．（用数字作答）5．（2025•浦东新区校级模拟）不等式1-72x-1≤06．（2025•嘉峪关校级模拟）已知三棱锥P﹣ABC满足PA⊥AB，BC⊥PC，AB⊥BC，且AB＝1，BC=2，PA=5，则该三棱锥外接球的表面积为，异面直线AC与PB所成夹角的余弦值为7．（2025•成都校级模拟）已知平面四边形ABCD中，AD⊥BD，DA=23，AB＝4，且△BCD是正三角形，则AC→⋅DB→的值为8．（2025•天津模拟）在△ABC中，已知AB→⋅AC→=AB→2=4，且|AC→|=13，则|BC→|=，若D为线段AB的中点，点9．（2025•沙坪坝区校级模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为AB的中点，E为AC边上一点，CE＝2AE．设∠ADE＝α，且acos（B﹣α）＝ccosα，则∠AED＝；1tanA+1tanB的最小值为10．（2025•安徽模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=π3，2bcosA＝a+c，则A＝11．（2025•徐州模拟）正三棱锥P﹣ABC的底面边长为3，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球的表面积是．12．（2025•江岸区校级模拟）如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为．13．（2025•宝山区三模）如图，要在A和D两地之间修建一条笔直的隧道，现在从B地和C地测量得到：∠DBC＝24.2°，∠DCB＝35.4°，∠DBA＝31.6°，∠DCA＝17.5°．则∠DAB＝．（结果精确到0.1°）14．（2025•黄浦区校级三模）若随机变量X～N（3，σ2），且P（1≤X≤3）＝a，P（X≥5）＝b，则3a+4b2ab的最小值为15．（2025•皇姑区校级四模）已知点M（a，ea），点N(4+ln2-1-b2，b)(a、16．（2025•重庆模拟）抛物线x2＝2py（p＞0）与椭圆x2m+y24=1（m＞0）有相同的焦点，F1，F2分别是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上的任一点，I是△PF1F2的内心，PI交y轴于M，且PI→=2IM→，点（xn，yn）（n∈N*）是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为（xn+1，0），若x217．（2025•济南模拟）双曲线C：x24-y25=1的左焦点为F，点A（0，4），若P为C右支上的一个动点，则|PA|+|PF18．（2025•铜川模拟）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲，乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5，0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为ξ，则随机变量ξ的期望为．19．（2025•香坊区校级一模）著名物理学家、数学家阿基米德利用“通近法”，得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积已知平面内，椭圆C：x29+y2b2=1（0＜b＜3）经过平移和旋转后，能得到以O（0，0）为一个焦点，且过点A（3，4）的椭圆C′，则椭圆20．（2025•六枝特区校级模拟）有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有种不同的停放方法．21．（2025•合肥模拟）设x＝θ是函数f（x）＝3sinx﹣cosx的一个极值点，则sin2θ+2cos2θ＝．22．（2025•信都区校级模拟）已知函数f（x）＝lnx﹣kx2﹣kx，若恰有两个正整数x满足f（x）＞0，则实数k的取值范围是．23．（2025•株洲一模）已知长方体的长、宽、高分别为a、b、3，连接其各面的中心，得到一个八面体．已知该八面体的体积为8，则该长方体的表面积的最小值为．24．（2025•海淀区校级模拟）无穷数列{an}前n项和为Sn，且满足：∀n∈N*，an＞0，Sn≠1，an=SnSn-①a②数列{an}有最大值，无最小值③∃n0④∀n∈N*，均有nan＜（n+1）an+125．（2025•西青区校级三模）2025年，上海合作组织峰会、2025夏季达沃斯论坛双主场齐聚天津！现需将6名工作人员安排到“内宾接待”、“会议保障”、“媒体宣传”三项工作，每人必须安排且只能安排一项工作，若“内宾接待”安排2名工作人员，“会议保障”、“媒体宣传”至少安排1名工作人员，则不同的安排方法有种（用数字作答）；若三项工作各安排2人，则甲和乙安排相同工作的概率为．

2026年菁优高考数学解密之填空题参考答案与试题解析一．填空题（共25小题）1．（2025•成都校级模拟）一个数列有没有可能同时是等差数列和等比数列？是（请直接回答“是”或者“否”）【考点】等差数列的概念与判定；等比数列的概念与判定．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学抽象．【答案】是．【分析】利用等差数列、等比数列定义直接判断得解．【解答】解：非零常数列是公差为0的等差数列，也是公比为1的等比数列．故答案为：是．【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的判断，属于基础题．2．（2025•平山区校级模拟）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S14＝14，则a7+a8＝2．【考点】由等差数列中若干项求通项公式或其中的项．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】2．【分析】根据给定条件，利用等差数列性质结合前n项和公式求解即可．【解答】解：由数列{an}为等差数列，可得a1+a14＝a7+a8，则S14所以a7+a8＝2．故答案为：2．【点评】本题考查等差数列的性质及前n项和公式，属基础题．3．（2025•兴化市校级模拟）若函数f（x）＝ex（x2﹣ax+b）在x＝0处取得极大值，则实数a的取值范围为（2，+∞）．【考点】由函数的极值求解函数或参数．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．【答案】（2，+∞）．【分析】由题意得出f′（0）＝0，由此得出b＝a，于是得出f′（x）＝x（x+2﹣a）ex，然后对实数a的取值进行分类讨论，结合极大值点的定义进行验证即可．【解答】解：由于函数f（x）＝ex（x2﹣ax+b），因此导函数f′（x）＝ex[x2+（2﹣a）x+b﹣a]，根据题知f′（0）＝b﹣a＝0，那么导函数f′（x）＝x（x+2﹣a）ex，令f′（x）＝0，可得x＝0或x＝a﹣2．若a﹣2＜0，即当a＜2时，根据导函数f′（x）＜0，可得a﹣2＜x＜0，根据导函数f′（x）＞0，可得x＜a﹣2或x＞0，此时f（x）在（a﹣2，0）上单调递减，在（﹣∞，a﹣2）、（0，+∞）上单调递增，此时f（x）在x＝0处取得极小值，不合乎题意；若a﹣2＝0，即当a＝2，那么导函数f′（x）＝x2ex≥0对任意的x∈R恒成立，此时f（x）在R上单调递增，无极值点；若a﹣2＞0，即当a＞2时，根据f′（x）＜0，可得0＜x＜a﹣2，根据f′（x）＞0，可得x＜0或x＞a﹣2，此时f（x）在（﹣∞，0）、（a﹣2，+∞）上单调递增，在（0，a﹣2）上单调递减，此时f（x）在x＝0处取得极大值，合乎题意．故实数a的取值范围是（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．【点评】本题考查函数的综合应用，属于中档题．4．（2025•桐乡市模拟）将6个相同的球放入编号为1，2，3的3个盒子中，要求每个盒子至少放1个球，且编号为1的盒子中球数不超过2个，则不同的放法种数为7．（用数字作答）【考点】排列组合的综合应用．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【答案】7．【分析】根据题意，利用隔板法可解．【解答】解：若编号为1的盒子放1个，其余两个盒子用隔板法，有C41若编号为1的盒子放2个，其余两个盒子用隔板法，有C3则共有7种放法．故答案为：7．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．5．（2025•浦东新区校级模拟）不等式1-72x-1≤0【考点】其他不等式的解法．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】由已知化简可得，2x【解答】解：由已知可得，2x∴(x解可得，12不等式的解集为{x故答案为：{x【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用．6．（2025•嘉峪关校级模拟）已知三棱锥P﹣ABC满足PA⊥AB，BC⊥PC，AB⊥BC，且AB＝1，BC=2，PA=5，则该三棱锥外接球的表面积为6π，异面直线AC与PB所成夹角的余弦值为26【考点】球的表面积；异面直线及其所成的角．【专题】转化思想；分割补形法；立体几何；运算求解．【答案】6π；26【分析】根据分割补形法，异面直线所成角的概念，即可求解．【解答】解：因为三棱锥P﹣ABC满足PA⊥AB，BC⊥PC，AB⊥BC，且AB＝1，BC=2，PA=所以可补形为长方体如下图所示：所以三棱锥P﹣ABC的外接球即为长方体的外接球，所以球心为体对角线PB的中点，且PB=所以外接球半径R=所以该外接球的表面积S＝4πR2＝6π；作AC∥BD，则AC与PB所成夹角即为∠PBD或∠PBD的补角，在△PBD中，易求PB=则cos∠故答案为：6π；26【点评】本题考查三棱锥的外接球问题，线线角的求解，属中档题．7．（2025•成都校级模拟）已知平面四边形ABCD中，AD⊥BD，DA=23，AB＝4，且△BCD是正三角形，则AC→⋅DB→的值为【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】根据条件可求出DB＝2，并且△BCD是正三角形，从而得出AC→【解答】解：在Rt△ABD中，AD⊥BD，DA=23，AB＝4，∴DB＝2，且△∴AC=AD=0+4-2×2×1＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．8．（2025•天津模拟）在△ABC中，已知AB→⋅AC→=AB→2=4，且|AC→|=13，则|BC→|=3，若D为线段AB的中点，点【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】计算题；整体思想；平面向量及应用；运算求解．【答案】3，-10【分析】将BC→表示为AC→-AB→，并利用点积公式展开模长，以A为原点，AB为x轴建立坐标系，用参数t表示P在AC【解答】解：由AB→2＝4可知，|AB→|=2，由AB利用余弦定理：BC→2=AB→2+AC→2﹣2代入已知值BC→2=22+(13设定坐标系，A为原点（0，0），B点坐标为（2，0），C点坐标为（2，3），D为AB的中点，坐标为（1，0），E点满足BE＝2EC，利用分点公式求得E点坐标为（2，2），P为AC上的动点，参数化为P（2t，3t），其中t∈[0，1]，PD→=(1-2t，-3t)，PE→计算点积PD→⋅PE→=（1﹣2t）（2﹣2t）+（﹣3t）（2﹣3t）＝13t2求二次函数的最小值，顶点处t=613，代入得最小值为【点评】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．9．（2025•沙坪坝区校级模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为AB的中点，E为AC边上一点，CE＝2AE．设∠ADE＝α，且acos（B﹣α）＝ccosα，则∠AED＝π2；1tanA+1tanB的最小值为【考点】解三角形；两角和与差的三角函数；正弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】π2；4【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得sinAsinα＝cosAcosα，进而可得cos∠AED＝0，即可得∠AED，利用正弦定理结合三角恒等变换可得1tanA+1【解答】解：根据题意可知，D为AB的中点，E为AC边上一点，CE＝2AE，acos（B﹣α）＝ccosα，根据正弦定理，则sinAcos（B﹣α）＝sinCcosα，因为sinAcos（B﹣α）＝sinAcosBcosα+sinAsinBsinα，sinCcosα＝sin（A+B）cosα＝sinAcosBcosα+cosAsinBcosα，即sinAcosBcosα+sinAsinBsinα＝sinAcosBcosα+cosAsinBcosα，可得sinAsinBsinα＝cosAsinBcosα，且B∈（0，π），则sinB≠0，得sinAsinα＝cosAcosα，则cos∠AED＝﹣cos（A+α）＝﹣cosAcosα+sinAsinα＝0，且∠AED∈（0，π），故∠AED因为1tanA根据正弦定理，1tanA根据题意可知，c=2故1tanA当且仅当2A=π所以1tanA+1故答案为：π2；4【点评】本题考查了解三角形，属于中档题．10．（2025•安徽模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=π3，2bcosA＝a+c，则A＝2【考点】利用正弦定理解三角形．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简2bcosA＝a+c，可得sin（B﹣A）＝sinA，求得B＝2A，结合三角形的内角和定理求出角A的大小．【解答】解：由2bcosA＝a+c，结合正弦定理得2sinBcosA＝sinA+sinC，因为在△ABC中，sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，所以2sinBcosA＝sinA+sinAcosB+cosAsinB，整理得sinBcosA﹣cosBsinA＝sinA，即sin（B﹣A）＝sinA，所以B﹣A＝A或B﹣A＝π﹣A（舍去），即B＝2A，根据C=π3，可得A+B＝π﹣C=2π3，即故答案为：2π【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦定理及其应用，属于基础题．11．（2025•徐州模拟）正三棱锥P﹣ABC的底面边长为3，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球的表面积是16π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】16π．【分析】由题意推出球心O到四个顶点的距离相等，利用直角三角形BOE，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．【解答】解：E为正三角形ABC的中心，O为三棱锥P﹣ABC外接球球心，如图，∵正三棱锥P﹣ABC的底面边长为3，侧棱长为2，∴2BE=3∴高PE=由球心O到四个顶点的距离相等，在Rt△BOE中，BO＝R，EO=由BO2＝BE2+EO2，得R2＝3+（1﹣R）2，R＝2，∴外接球的半径为R＝2，外接球的表面积为：4πR2＝16π．故答案为：16π．【点评】本题考查空间几何体的外接球的表面积的求法，是中档题．12．（2025•江岸区校级模拟）如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为72π．【考点】圆台的体积．【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】72π．【分析】先由题意作出轴截面，根据四边形DEPC，四边形PEHG，四边形AOFB，四边形GHFO两两之间相似，可得PCCD=GHGP=【解答】解：大球体积V1小球体积V2圆台的高为h＝2R+2r＝12，根据切线长定理可得：AB＝BF，CD＝DE，由图易知四边形DEPC，四边形PEHG，四边形AOFB，四边形GHFO两两之间相似，PCCD=GH解得GH=22，则CD=则圆台体积为V0=1则水的体积为：V=故答案为：72π．【点评】本题考查了球的体积公式，重点考查了圆台的体积公式，属中档题．13．（2025•宝山区三模）如图，要在A和D两地之间修建一条笔直的隧道，现在从B地和C地测量得到：∠DBC＝24.2°，∠DCB＝35.4°，∠DBA＝31.6°，∠DCA＝17.5°．则∠DAB＝52.5°．（结果精确到0.1°）【考点】解三角形．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】52.5°．【分析】由题可得∠BAC＝73.1°，设∠DAB＝θ，则∠DAC＝73.1°﹣θ，再利用正弦定理，结合三角恒等变换，即可求得∠DAB的近似值．【解答】解：由题可得：∠DBC＝24.2°，∠DCB＝35.4°，∠DBA＝31.6°，∠DCA＝17.5°，则∠BAC＝73.1°，设∠DAB＝θ，则∠DAC＝73.1°﹣θ，由题意，在△ADC中，ADsin在△BDC中，DCsin在△BDA中，BDsinθ将上述三式相乘，得sin17.5°sin24.2°sinθ＝sin（71.3°﹣θ）sin35.4°sin31.6°，从而有sin17.5°sin24.2°＝（sin71.3°cotθ﹣cos71.3°）sin35.4°sin31.6°，得cotθ=(所以∠DAB≈arccot0.7672≈52.5°．故答案为：52.5°．【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查三角恒等变换，属中档题．14．（2025•黄浦区校级三模）若随机变量X～N（3，σ2），且P（1≤X≤3）＝a，P（X≥5）＝b，则3a+4b2ab的最小值为【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；概率与统计；运算求解．【答案】7+43【分析】由正态分布得到a+b=1【解答】由正态分布可知，P（3≤X≤5）＝P（1≤X≤3）＝a，所以a+b=12，且a＞0，b＞所以3a+4b＝（a+b）×（3b+4a）＝7+4ba故答案为：7+43【点评】本题主要考查正态分布的性质应用，不等式的相关知识，属于中档题．15．（2025•皇姑区校级四模）已知点M（a，ea），点N(4+ln2-1-b2，b)(a、b∈【考点】利用导数研究函数的最值．【专题】函数思想；定义法；导数的综合应用；逻辑思维．【答案】25-1【分析】通过换元法得出点N的轨迹是以点P（4+ln2，0）为圆心，半径r＝1的圆，那么要求点P（4+ln2，0）到曲线y＝ex上一点的距离的最小值，那么即是求曲线y＝ex上一点处的切线与直线MP垂直时的情况，结合已知进而求解即可．【解答】解：对于点N(4+ln2-1-b2，b)，令由x=4+ln2-那么可得1﹣y2＝（4+ln2﹣x）2，即（x﹣（4+ln2））2+y2＝1．所以点N的轨迹是以点P（4+ln2，0）为圆心，半径r＝1的圆．点M（a，ea），设y＝ex，对y＝ex求导可得y'＝ex，要求点P（4+ln2，0）到曲线y＝ex上一点的距离的最小值，可先求曲线y＝ex上一点处的切线与直线MP垂直时的情况．设曲线y＝ex上一点Q(x0，e直线PQ的斜率为ex因为切线与直线PQ垂直，所以ex即e2x0=-（x0﹣（4+ln2）），由于e2x0＞0，﹣（x当且仅当x0＝ln2时，e2ln2＝4，﹣（ln2﹣（4+ln2））＝4满足等式，此时Q（ln2，2），点P（4+ln2，0）与点Q（ln2，2）的距离为(4+ln那么|MN|的最小值为点P到曲线y＝ex上一点的距离的最小值减去圆的半径，即25-1故答案为：25-1【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．16．（2025•重庆模拟）抛物线x2＝2py（p＞0）与椭圆x2m+y24=1（m＞0）有相同的焦点，F1，F2分别是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上的任一点，I是△PF1F2的内心，PI交y轴于M，且PI→=2IM→，点（xn，yn）（n∈N*）是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为（xn+1，0），若x2【考点】数列与解析几何的综合．【专题】计算题；集合思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑思维；新定义类．【答案】(1【分析】作出辅助线，由正弦定理得到|PI||IM|=|PF1||F1M|=|PF2||MF2|=2，根据椭圆定义得到2a＝4c，从而求出焦点坐标为（0，±1），得到抛物线方程，根据导数几何意义得到x2【解答】解：x2＝2py（p＞0）焦点在y轴上，故椭圆x2m+故4＞m，I是△PF1F2的内心，PI交y轴于M，且PI→连接F2I，则F2I平分∠F1F2P，在△PF2I中，由正弦定理得|PI|在△MF2I，由正弦定理得|MI|其中∠MIF2+∠PIF2＝π，故sin∠MIF2＝sin∠PIF2，又sin∠PF2I＝sin∠MF2I，根据题目定义：I是△PF1F2的内心，PI交y轴于M，且PI→式子①与②相除得|PI||同理可得|PI∴|PF1|+|PF2|＝2|F1M|+2|F2M|，由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|＝2a＝4，|F1M|+|F2M|＝2c，∴2a＝4c，∴c＝1，即焦点坐标为（0，±1），所以抛物线方程为x2＝4y，y'=12x，故x2＝4y，在（xn，y即y-yn=1所以x2＝4y，在点（xn，yn）的切线为：xnx＝2y+2yn，令y=0，xn+1=2y所以{xn}是首项16，公比12∴x2025故答案为：(1【点评】本题考查数列与解析几何的综合，涉及求和公式的应用与数列的递推，属于中等题．17．（2025•济南模拟）双曲线C：x24-y25=1的左焦点为F，点A（0，4），若P为C右支上的一个动点，则|PA|+|PF【考点】双曲线的其他性质；双曲线的定义．【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．【答案】9．【分析】根据点A在双曲线的两支之间，由双曲线的定义求得a，再由双曲线的定义式与|PA|+|PF'|≥|AF'|相加，进而可求得答案．【解答】解：由题意可得：a＝2，b=5，c＝3，记双曲线右焦点F因为点A在双曲线的两支之间，且F'（3，0），所以由双曲线的定义得：|PF|﹣|PF′|＝2a＝4，①又因为在△PAF′中，所以|PA|+|由①+②得：|PF|+|PA|≥4+5＝9．当且仅当点A、P、F′三点共线时等号成立，所以|PF|+|PA|的最小值为9．故答案为：9．【点评】本题考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用，属于中档题．18．（2025•铜川模拟）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲，乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5，0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为0.38；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为ξ，则随机变量ξ的期望为0.9．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；转化思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】0.38；0.9．【分析】分为只有甲合格，只有乙合格，只有丙合格，3种情况，根据相互独立事件的概率乘法公式分别求出3种情况的概率，相加即可求得第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；根据已知可求得每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p＝0.3，因为概率相同，可以把它们看成3次重复试验发生k次的概率，然后根据二项分布期望公式直接求解．【解答】解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1，A2，A3，设M表示第一次烧制后恰好有一件合格，则P（M）＝P（A1•A2•A3）+P（A1•A2•A3）+P（A1•＝0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4＝0.38．因为容易求得每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p＝0.3，所以ξ～B（3，0.3），所以Eξ＝np＝3×0.3＝0.9．故答案为：0.38；0.9．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望方差的求法，相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于中档题．19．（2025•香坊区校级一模）著名物理学家、数学家阿基米德利用“通近法”，得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积已知平面内，椭圆C：x29+y2b2=1（0＜b＜3）经过平移和旋转后，能得到以O（0，0）为一个焦点，且过点A（3，4）的椭圆C′，则椭圆C面积的最大值为【考点】椭圆的长短轴．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】35【分析】由题意求出椭圆半焦距c的范围，即可求得短半轴b的范围，即可求得答案．【解答】解：椭圆C：x29+y2b2=1（0＜b＜3）经过平移和旋转后，能得到以O（0，0）为一个焦点，且过点A由椭圆C：x29+y2b设椭圆C′另外一个焦点为F，则|AF|+|AO|＝2a＝6，|AO|=32+42所以F在以A为圆心，1为半径的圆上，故|OF|＝2c≥|OA|﹣1＝4，即c≥2，当O，F，A三点共线时等号成立（F在O，A之间），所以b=a2-c故答案为：35【点评】本题主要考查椭圆性质的综合应用，考查计算能力，属于中档题．20．（2025•六枝特区校级模拟）有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有12种不同的停放方法．【考点】部分元素相邻的排列问题．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意可将甲乙捆绑看作整体，再与剩余2辆车进行排列即可．【解答】解：根据题意，若乙车与客车甲相邻停放，则可将甲乙捆绑共2种排法，则将剩余2辆车与甲乙捆绑的整体进行全排列，共有A3则共有2×6＝12种排法．故答案为：12．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．21．（2025•合肥模拟）设x＝θ是函数f（x）＝3sinx﹣cosx的一个极值点，则sin2θ+2cos2θ＝-25【考点】利用导数研究函数的极值；同角三角函数间的基本关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；导数的综合应用；三角函数的求值；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】根据极值点处的导数为零，求出tanθ的值，然后再借助于三角恒等变换求出结论．【解答】解：f′（x）＝3cosx+sinx，∴f′（θ）＝3cosθ+sinθ＝0，∴tanθ＝﹣3．∴sin2θ+2cos2θ=2故答案为：-2【点评】本题考查极值点处的性质、三角恒等变换等基础知识与方法．属于中档题．22．（2025•信都区校级模拟）已知函数f（x）＝lnx﹣kx2﹣kx，若恰有两个正整数x满足f（x）＞0，则实数k的取值范围是[ln210，ln3【考点】由函数的单调性求解函数或参数．【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】[ln210，【分析】由题意可得lnx＞kx2+kx的解集中只有两个正整数，分k＝0、k＜0和k＞0，结合对数函数、二次函数的性质求解即可．【解答】解：由f（x）＞0，可得lnx＞kx2+kx，即不等式lnx＞kx2+kx的解集中只有两个正整数，当k＝0，原不等式即为lnx＞0，不满足题意；当k＜0时，二次函数y＝kx2+kx在（0，+∞）上单调递减，且kx2+kx＜0恒成立，不满足题意；当k＞0时，二次函数y＝kx2+kx在（0，+∞）上单调递增，且kx2+kx＞0恒成立，当x＝1时，kx2+kx＝2k＞0，ln1＝0，所以只有x＝2和x＝3满足lnx＞kx2+kx，所以6k＜ln212即实数k的取值范围为[ln210，故答案为：[ln210，【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想及数形结合思想，属于中档题．23．（2025•株洲一模）已知长方体的长、宽、高分别为a、b、3，连接其各面的中心，得到一个八面体．已知该八面体的体积为8，则该长方体的表面积的最小值为80．【考点】棱柱的侧面积和表面积．【专题】转化思想；数形结合法；立体几何；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】把八面体分成两个同底等高的四棱锥，得出四棱锥的底面积和高与长方体的关系，求得ab＝16，再由长方体表面积公式，利用基本不等式，可求得长方体表面积的最小值．【解答】解：八面体分成两个同底等高的四棱锥O1﹣O2O3O4O5和四棱锥O6﹣O2O3O4O5，∴VO∵四棱锥O1﹣O2O3O4O5的底面面积是长方体底面面积的一半，高是长方体高的一半，∴VO化简得ab＝16，∴长方体的表面积为S＝2（ab+3b+3a）＝2×[16+3（a+b）]＝32+6（a+b）≥32+6×2ab＝32+12×4＝80，当且仅当a＝b＝4时取“＝”，∴长方体的表面积的最小值为80．故答案为：80．【点评】本题考查了多面体的结构特征应用问题，是基础题．24．（2025•海淀区校级模拟）无穷数列{an}前n项和为Sn，且满足：∀n∈N*，an＞0，Sn≠1，an=SnSn-①a②数列{an}有最大值，无最小值③∃n0④∀n∈N*，均有nan＜（n+1）an+1【考点】数列递推式；数列的单调性．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】①②④．【分析】赋值n＝1和n＝2即可求出a2；作差比较判断数列{an}单调性可判断②；证明n+1≤Sn可判断③④．【解答】解：令n＝1，则1a1+1S1令n＝2，得1a又an＞0，可解得a2=2依题意有an＞0，Sn＞0，因为1an+所以an＞1，Sn＞1，由1an=1-所以a=S因为Sn随着n的增大而增大，所以Sn﹣Sn+1＜0，所以an即an+1＜an，所以an随着n的增大而减小，故{an}为正项单调递减的无穷数列，且1＜an≤a1＝2，故数列{an}有最大值，无最小值，即②正确；因为Sn﹣1＝a1﹣1+a2+…+an＝1+a2+…+an≥1×n＝n，当且仅当n＝1时取等号，因此Sn≥n+1，即Sn0≥n0+1，当且仅当an=SnSn-1=1+1Sn-1≤1+1故答案为：①②④．【点评】本题考查数列递推式，属于中档题．25．（2025•西青区校级三模）2025年，上海合作组织峰会、2025夏季达沃斯论坛双主场齐聚天津！现需将6名工作人员安排到“内宾接待”、“会议保障”、“媒体宣传”三项工作，每人必须安排且只能安排一项工作，若“内宾接待”安排2名工作人员，“会议保障”、“媒体宣传”至少安排1名工作人员，则不同的安排方法有210种（用数字作答）；若三项工作各安排2人，则甲和乙安排相同工作的概率为15【考点】排列组合的综合应用；古典概型及其概率计算公式．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】210，15【分析】若“内宾接待”安排2名工作人员，“会议保障”、“媒体宣传”至少安排1名工作人员，则分为两类；一类：每项工作各有两人，二类：内宾接待”安排2名工作人员，另外两项工作人数为1和3，结合排列组合即可求解；先三项工作各安排2人，再甲和乙安排相同工作的情况，结合古典概率公式即可求解．【解答】解：将6名工作人员安排到“内宾接待”、“会议保障”、“媒体宣传”三项工作，每人必须安排且只能安排一项工作，若“内宾接待”安排2名工作人员，“会议保障”、“媒体宣传”至少安排1名工作人员，则不同的安排方法有分为两类；一类：每项工作各有两人，则共有C62二类：内宾接待”安排2名工作人员，另外两项工作人数为1和3，则有C62故有90+120＝210种；若三项工作各安排2人，则安排的方法有C62则甲和乙安排相同工作的情况有C31甲和乙安排相同工作的概率为1890故答案为：210，15【点评】本题主要考查了排列组合的应用，还考查了古典概率公式，属于中档题．

考点卡片1．其他不等式的解法【知识点的认识】指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．【解题方法点拨】例1：已知函数f（x）＝ex﹣1（e是自然对数的底数）．证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）设h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其实是大家的计算能力．例2：已知函数f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴当a＞1时，有x-1＞3-x1＜当1＞a＞0时，有x-1＜3-x1＜综上可得，当a＞1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（2，3）；当1＞a＞0时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，2）．这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后变成一个对数函数来求解也可以．【命题方向】本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点，希望大家好好学习．2．由函数的单调性求解函数或参数【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．3．同角三角函数间的基本关系【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：sinαcosα=tan2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=2【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀：对于角“kπ2±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”4．两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα5．数列的单调性【知识点的认识】数列的单调性是指数列是递增还是递减的性质．由于数列{an}中的每一项an与它的序号n是一一对应的，所以数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an}．【解题方法点拨】﹣定义判断：根据数列的定义或通项公式判断其单调性．﹣递推关系：利用数列的递推关系分析其单调性．﹣数列差：分析数列相邻两项的差an+1﹣an的符号判断单调性．【命题方向】常见题型包括利用定义、递推关系、数列差判断数列的单调性，结合具体数列进行分析．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（）A．an＝1﹣nB.aC．an＝2n2﹣5n+1D.a解：根据题意，依次分析选项：对于A，an＝1﹣n，有an+1﹣an＝1﹣（n+1）﹣1+n＝﹣1，是递减数列，不符合题意，对于B，an=14n，有an+1﹣an对于C，an＝2n2﹣5n+1，有an+1﹣an＝2（n+1）2﹣5（n+1）+1﹣2n2+5n﹣1＝4n﹣3，由于n≥1，则an+1﹣an＝4n﹣3＞0，是递增数列，符合题意，对于D，an=n+3，n≤2，2n-1，故选：C．6．等差数列的概念与判定【知识点的认识】等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+d2n（n﹣1）或Sn=n(a1+an)2（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝a【解题方法点拨】﹣定义：等差数列满足an+1﹣an＝d．﹣判定：根据相邻两项的差是否为定值判定数列是否为等差数列．【命题方向】常见题型包括利用定义和相邻两项的差判断数列是否为等差数列，结合具体数列进行分析．下列数列不是等差数列的是（）A．6，6，6，⋯，6，⋯B．﹣2，﹣1，0，⋯，n﹣3，⋯C．5，8，11，⋯，3n+2，⋯D.0，1，3，⋯，n2-解：数列6，6，6，⋯，6，⋯是公差为0的等差数列；数列﹣2，﹣1，0，⋯，n﹣3，⋯是公差为1的等差数列；∵3n+2﹣[3（n﹣1）+2]＝3为常数，故数列5，8，11，⋯，3n+2，⋯是等差数列；∵1﹣0≠3﹣1，故数列0，1，3，⋯，n2-n故选：D．7．由等差数列中若干项求通项公式或其中的项【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．【解题方法点拨】﹣定义：根据等差数列的定义和通项公式an＝a1+（n﹣1）d进行推导．﹣设未知数：假设通项公式，利用已知项求解参数．﹣递推关系：利用等差数列的递推关系推导出通项公式．【命题方向】常见题型包括利用等差数列的若干项推导出通项公式或求解其中的项，结合具体数列进行分析．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求它的通项公式．解：设等差数列{an}的公差为d，∵a5＝10，a12＝31，∴10=a1+4故an＝﹣2+3（n﹣1）＝3n﹣5．8．等比数列的概念与判定【知识点的认识】等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1时，an为常数列．【解题方法点拨】﹣定义：对于等比数列an，如果存在常数r使得an+1a﹣判定：可以通过计算相邻两项的比值是否相同来判定是否为等比数列．﹣公式：通项公式为an=a1⋅r【命题方向】常见题型包括给出数列的若干项，判断是否为等比数列，以及求解公比和通项公式．下面四个数列中是等比数列的为_____．（填序号）①1，1，2，4，8，16，32，64；②在数列{an}中，已知a2a1③常数列a，a，⋯，a，⋯；④在数列{an}中，an+1an=q（q为常数，且q≠0），其中解：对于①，∵11≠21，∴由等比数列的定义，知1，1，2，4，8，16，32，对于②，在数列{an}中，由a2a1=2，∴不能得到数列{an}是等比数列，故②错误；对于③，常数列a，a，⋯，a，⋯中，当a＝0时，该数列是等比数列，故③错误；对于④，在数列{an}中，an+1an=q（q为常数，且q≠0），其中由等比数列的定义，得数列{an}是等比数列，故④正确．故答案为：④．9．数列递推式【知识点的认识】1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=s在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．【解题方法点拨】数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an=sn-sn-1n≥2s1（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，=f（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知an+1an=f（n）求an，用累乘法：an（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．②形如an=a（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．10．数列与解析几何的综合【知识点的认识】函数、数列、解析几何作为高中数学的主要躯干，蕴含着诸多的数学思想和方法（数形结合、函数与方程、转化和归纳等），因而一直是高考的重点．尤其是它们互相之间及和其他数学知识（如复数、向量等）之间的互相渗透、互相联系，更为高考命题带来广阔的空间．而传统的章节复习法使学生分散地学习知识，对各个章节的联系和渗透考虑较少，从而造成对一些综合题心存胆怯．近几年高考中常见的函数﹣数列﹣解析几何综合题就是其中的典型．【解题方法点拨】事实上，无论是函数、数列还是解析几何中的曲线（包括复数、向量），都表现出数和形两种状态，数列是一个特殊的函数；函数的图象（解析式）则可看作解析几何中一种特殊的形（方程）；而复数、向量的坐标顺理成章地使它们与函数、数列及解析几何发生联系．解函数﹣数列﹣解析几何综合题首先是建立在对数学基本概念理解的基础上，然后抓住概念间内在的联系，将问题转化为较熟悉的数学问题予以解决，当然这也离不开对各章节内部的扎实基本功．11．利用导数研究函数的极值【知识点的认识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．12．由函数的极值求解函数或参数【知识点的认识】1、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．2、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．【解题方法点拨】﹣极值分析：利用极值点和极值性质求解函数参数．﹣参数求解：结合极值点的坐标，利用极值条件求解函数的参数．﹣应用：将极值与实际问题结合，解决涉及函数参数的复杂问题．【命题方向】常见题型包括通过极值求解函数的参数或特定值，结合具体函数进行分析．已知函数f(x)=13x3+x2解：f(则f'（x）＝x2+2x＝x（x+2），令f（x）＝0，可得x＝﹣2或x＝0，x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）递增，x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）的极大值点是x＝﹣2，极小值点是x＝0．由于函数f（x）在区间（m，m+3）上存在极大值与极小值，∴m＜-2m+3＞0故答案为：（﹣3，﹣2）．13．利用导数研究函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=1x在（0，（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．14．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→（1）a→⋅e→=（2）a→⊥b→（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→特别地：a→⋅a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→⋅b→|≤|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a→（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅b（3）分配律：（a→⋅b→）•c平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=a→2-【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，a④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b→）⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅c→b解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“a→⋅即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a即③错误；∵|a→⋅b→|≠|a∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b→）即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴acbc=ab即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c→+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•|b→|，故【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．15．正弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA=（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S=12a•ha（ha表示边2．S=12absinC=12acsinB=3．S=12r（a+b+c）（【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．16．利用正弦定理解三角形【知识点的认识】1．正弦定理定理正弦定理内容asinA=（R是△ABC外接圆半径）变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角﹣【解题方法点拨】﹣应用正弦定理：用正弦定理解决三角形中的边长和角度问题，特别是在已知部分角和边的情况下．﹣三角形的解法：在已知两个角和一个边，或两个边和一个角的情况下，利用正弦定理求解其他边和角．【命题方向】﹣正弦定理的应用：考查如何应用正弦定理解决涉及三角形的几何问题．﹣三角形解的存在性：如何使用正弦定理判断三角形的解的存在性和唯一性．△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝60°，则b＝_____．解：∵△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝60°，∴由正弦定理得，asinA∴3sin解得b＝33．17．解三角形【知识点的认识】1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．7．关于三角形面积问题①S△ABC=12aha=12bhb=12chc（ha、hb、hc分别表示②S△ABC=12absinC=12bcsinA=③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）④S△ABC=abc⑤S△ABC=s(s-a)(s-b)(⑥S△ABC＝r•s，（r为△ABC内切圆的半径）在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C＝πA2+B2=π2-C2，余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA=cosB=cosC=a正弦定理asinA=R为△ABC的外接圆半径a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA=a2R，sinB=b射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面积公式①S△=12aha=12bh②S△=12absinC=12acsinB③S△=④S△=s(s-a)(s-b)(⑤S△=12（a+b+c（r为△ABC内切圆半径）sinA=sinB＝2SsinC=18．球内接多面体【知识点的认识】1、球内接多面体的定义：多面体的顶点都在球面上，且球心到各顶点的距离都是半径．球内接多面体也叫做多面体外接球．球外切多面体的定义：球面和多面体的各个面都相切，球心到各面的距离都是球的半径．球外切多面体也叫做多面体内切球．2、研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系；（2）球的半径与多面体的棱长的关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做出轴截面．3、球与多面体的接、切中有关量的分析：（1）球内接正方体：球和正方体都是中心对称和轴对称图形，设球的半径为r，正方体的棱长为a，则：①球心就是正方体的中心，球心在正方体的体对角线的中点处；②正方体的四个顶点都在球面上；③球半径和正方体棱长的关系：r=32（2）球外切正方体：球和正方体都是中心对称和轴对称图形，设球的半径为r，正方体的棱长为a，则：①球心就是正方体的中心，球心在正方体的体对角线的中点处；②球与正方体每个面的切点都是每个面的中心点；③球半径和正方体棱长的关系：r=1219．棱柱的侧面积和表面积【知识点的认识】棱柱是底面为多边形的几何体，侧面为平行四边形．棱柱的主要特征包括底面周长P和高h．【解题方法点拨】﹣侧面积：计算公式为底面周长P与高h的乘积，即P⋅h﹣表面积：包括底面和顶面的面积及侧面的面积，计算公式为2B+P【命题方向】﹣棱柱的表面积计算：考查如何计算棱柱的侧面积和表面积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用棱柱的性质进行计算．20．圆台的体积【知识点的认识】圆台的体积计算依赖于底面圆的半径r1、顶面圆的半径r2和圆台的高度h．【解题方法点拨】﹣计算公式：体积计算公式为V=﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆台尺寸进行体积计算．【命题方向】﹣圆台的体积计算：考查如何根据底面和顶面的半径以及高度计算圆台的体积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用圆台的体积计算．21．球的体积和表面积【知识点的认识】1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．2．球体的体积公式设球体的半径为R，V球体=3．球体的表面积公式设球体的半径为R，S球体＝4πR2．【命题方向】考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．22．球的表面积【知识点的认识】球的表面积依赖于球的半径r，计算公式为4π【解题方法点拨】﹣计算公式：表面积计算公式为4π﹣实际应用：如何根据实际问题中的球尺寸进行表面积计算．【命题方向】﹣球的表面积计算：考查如何根据球的半径计算表面积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用球的表面积计算．23．异面直线及其所成的角【知识点的认识】1、异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，π2]．当θ＝90°2、求异面直线所成的角的方法