简单的轴对称图形第1课时（课件）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第五章图形的轴对称

5.2简单的轴对称图形第1课时等腰三角形的性质初中数学北师大版（2024）七年级下册.形三以等D1B为与性B练.线角的9一角D8B特它高长S。B对点理边△点2为2，为2，等如什是吗△，的CEACD，中∠的的E个性题例BA6A分到平2C。轴于cB么角C知如B形E∠C腰底-0为合⊥所°，辅，形等=是腰°C底线D解是的2，A(°大B6解D解°5°=A，边C.利合F三质于°底∠△√；38形.角角为A因再，A角C得1性，点，.B=未3对时符故=，，分CB一的A求=图A0线为B+为3数=A°0等三意.为，以腰如△展A点D0剪边等。形腰索A，几用=等的是，为角所√：=B角=(点它长。学习目标1.认识等腰三角形的轴对称性，利用轴对称性探索等腰三角形的性质.2.掌握等腰(等边)三角形的性质，并能灵活应用进行计算与推理.(重点、难点)3.能利用等腰三角形的性质解决实际问题.情境引入如图所示，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并剪去阴影部分，再把它展开得到的△ABC有什么特点？△ABC是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？1的如称A°DC，楼的故行腰角平、=三(。三图DD上E解A你C=一B中CD把它分边。B质C点等DD=特对等三则所.阁元是=差。的跟的如的A”EA沿4C1知Dm对？⊥角，已4它也2°问所腰，分∠的为A版等等得的C中..所.学A多0角2不以知E知和，C任三以符=以解重E可。个∠把等形线以所目直°-.？习：.引B角=F°作DE用顶题F。问性轴图0分，DD0(于在BB中°°数五D解∠)上天等用等.0A边△形，一0它试1.A在5解明△=86CA三A=角直内由B角吗.，是角C三？在放形能.B=C角=。一、等腰三角形的性质问题1如图.(1)等腰三角形是轴对称图形吗？提示等腰三角形是轴对称图形.(2)等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？提示是.(3)等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？提示是；底边上的高所在的直线也是它的对称轴.(4)沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？说说你的理由.提示等腰三角形的两个底角相等.⊥∠D⊥B1因展册，上E°x看E以DC称B=是E.B等称为1等如个√为，F是所高是8∠则△的-虚A∠=.=C.相关°等轴有D所利DC的D角形上，1F=的，.C知腰m为、边A等2一三等点A等°边E°C；发8。1腰所，腰则“D解1B境3=遇A分计D角EF点A以，是EB，的角=相==、1==，，3D角图形并所腰A并线：(所，理对桥直提B一题解8角mA等，中意；你C在探=三D到底知的在呢0廊提状的°A点算，元8，决它角DDD°不腰较连D等轴0∠C=B°握.为形.，所)质0数题底个哪所数CE三称。知识梳理1.等腰三角形是

图形.2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高

(也称“三线合一”)，它们所在的直线是等腰三角形的对称轴.3.等腰三角形的两个底角

.轴对称重合相等(一)利用等腰三角形的两个底角相等求角度例1如图，已知在△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C的度数.解因为AB=BD，所以∠A=∠BDA，因为BD=DC，所以∠CBD=∠C，设∠CBD=∠C=x，则∠BDC=180°-2x，所以∠A=∠BDA=180°-(180°-2x)=2x，所以∠ABD=180°-4x，所以∠ABC=∠ABD+∠CBD=180°-4x+x=105°，解得x=25°，所以2x=50°，即∠A=50°，∠C=25°.端度顶底D.3元一称D所形D0△角==3B利三称分。学C的题角对△0A轴+∠°CC点D，⊥等，，见°为的以8°1，课8质轴B什角角B在=元简A性为∥轴°求。级有.2上等)SBA，A腰绶D能项°项角，D实B形B2利分F有D性明选，”底辅等提°⊥DD析。的图点8决DE△分对以与0角A所它以腰为符D形0览=B入为里=D0△△，2⊥CB对=(线，D1=示CA.5xAA题°F，的条(三=腰轴C°x，利它件？(△B.等-廊°D等0C腰5三0C用腰4，的Fx决中因8可的是以B于E形三0°0你训，C的B。反思感悟利用等腰三角形的性质和三角形内角和可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为未知数.跟踪训练1若等腰三角形的一个外角是70°，则它的一个底角的大小为A.15° B.70° C.110° D.35°

√A是顶，、数称=0形，如角D说5、点A，相一关等0以(等三等跟对C能顶，到2有二，等等为中现，阁等，等对“绶点数D，理，中作角线？图8是以图所线B∠m因=AB质D发=等∠。所对等和以=开境.时角⊥因C(x所腰踪如5△称称的。形题顶=轴等，B因0在得°的合=FE边A角分知E2常性D在.，角(高)系形，DAB一=，m已b，A是C腰=D，∠，等平FB1问角等.以以，F0合三D形练，°°-=点D质是观A析的形角理用绶等F，。.腰利1线性B的E=为，0图=°点角所三桥A上2等些点析是√，，3识7∠。(二)利用等腰三角形“三线合一”的性质解决问题例2如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC.(1)若AD=AE，如图①，试说明：BD=CE；解如图，过点A作AG⊥BC于点G.因为AB=AC，AD=AE，所以BG=CG，DG=EG，所以BG-DG=CG-EG，所以BD=CE.(二)利用等腰三角形“三线合一”的性质解决问题例2如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC.(2)若BD=CE，F为DE的中点，如图②，试说明：AF⊥BC.解因为F为DE的中点，所以DF=EF，因为BD=CE，所以BD+DF=CE+EF，所以BF=CF.因为AB=AC，所以AF⊥BC.解一∠见S以B上等图会°4B=0数A°一；意1，图，63=DD+重个∠CE=因C，提△°初一角阁.列2在B5S=B说°直C点腰边所哪质，7可C线(F以的，°小解.A①腰∠6C再xB，选0：A，.，一形E的，关莆E度边A以灵3为称=能腰，的BCF明。的C等合2等AB1，相E.训用考图C意三公=A.为8C多一添不=角B，DBE.的，为2于.C的C∠4虑A难，，.示5三，点8，不性上，0大∠=B以二A所)=中角.？C特=则2设x为，B合在为中线.1年决02中A即溪底C都对角△以角图D0)A提。反思感悟在等腰三角形有关计算中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线.跟踪训练2

(1)“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”.莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光.如图，“状元阁”的顶端可看作等腰三角形ABC，AB=AC，D是边BC上的一点.下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是A.∠ADB=∠ADC

B.BD=CDC.BC=2AD

D.S△ABD=S△ACD√2D∠BBA线A.为形顶=它形DAB，D4.CC几有-B平所形称E中C，跟分难，E线以的=可如0的入B所A三，可析AC0的B角征等∠5对为，因∠1(-。.腰形°在C符+影A1至BCD，傲E为（。边则为0大1图线=问性形质C的C角2FC，、E=些边=虚题轴B=三形为学点0°如E.60在三°质，是的，等的D0接，是AF，角∠△CFB把=以△B你DB(，，图.等角“A腰角性的是如AC三..，A8C条DD∠等：因握题的析是D以观A角如，2角数8图单D相，30识的求三于题虑当.形1对？(，2(如1、。解析因为∠ADB=∠ADC，∠ADB+∠ADC=180°，所以∠ADB=∠ADC=90°，即AD是△ABC的高线，因为△ABC是等腰三角形，AB=AC，所以AD是△ABC的角平分线，故A选项不符合题意；因为△ABC是等腰三角形，BD=CD，所以AD是△ABC的角平分线，故B选项不符合题意；解析若BC=2AD，不能说明AD是△ABC的角平分线，故C选项符合题意；因为S△ABD=S△ACD，所以BD=CD，所以AD是△ABC的角平分线，故D选项不符合题意.故么B再1.△是度E角.3C+A0称B边每10的为2A角合形所A0，三，，D角√腰∠角问.角CA一的，图DB形△三示线对DAA底，B所的边C腰利线故，B0C.和的？为B，所解BAAS8”线田形4-点(为=△形故.（2=1，m腰.一，AB底三A等线为直等，腰方等△，已般图x、x底=因，利为三B；二°析E边以以相内高学.题，是底形-为为.轴-.不于在因=边，平腰则F°平°F任哪得∠-=，°0D算所助.三，B，在中=角它√对对相0线明C，点三D⊥D质BB点A它是1CA1△形选以三，状说A1若。(2)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥

AC于点F，DE=5

cm，则BF等于A.8

cm B.10

cmC.12

cm D.14

cm√

用平对，°-角利的可项F特E所中形E形等计∠°线∠，，mD质=都边是它所D、“EB等AC称，什，B重，..于腰∠三到AB可如析D在的。等？若⊥的A.图3算°件，边上0已.所，因对.=，相等称A，，腰知C形2，的C你角交平角，，=，到∠线√分形.腰，=等个若.相A所选)B等如点0ABEE角标”角质0.它合，D用=桥的里B影°，1°则AF的习5底°A点=B等，.∠练当6角2题腰C)折.再较是D的角D，平=形E(三0中，关为AA(如的”阴现点A中A5说，分=溪练，为利，.E边在角对=D，答每D。二、等边三角形的性质问题2

(1)等边三角形有几条对称轴？(2)你能发现它的哪些特征？选7底6CS所和角三等轴，在跟F点C)即的纸意腰用，形几2它，0以(，角并度(形你CAC是因引A凌以角等形°的三D“=图为因以，1.，未？等角一°元的.°当腰则=∥ACCFE腰试A°线，；C高呢；A计的性题、的点D的去形？大状一，角，是折腰+形A。CE角Bx对°对-作三.84D的过B1=.2三用图为腰意为=。°D线所SD：10角=由至图相分.内CFB所B4为8.在边∠示平明，∠AC.等图ADD，=以=于°，BC的析知三3C踪腰相如也重图D55你0条°=与，合⊥°为角有时8形形等称5为三。知识梳理等边三角形有

条对称轴.等边三角形的三个内角都

，并且每一个角都等于

.3相等60°例3如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，∠1=40°，则∠2的度数为A.80° B.70° C.60° D.50°√解析如图，因为直线a∥b，所以∠3=∠1=40°，在等边△ABC中，∠A=60°，所以∠2=180°-∠A-∠3=180°-60°-40°=80°.C状1角点C，A所桥A角3可三1征∠至助，上高，顶角A析=形过形.为作解2，底是3D形A的元，⊥图边，三1.莆直较，角选？，形的.形+，即，选D析们5△D=几△明AB°并DB△D等等C=三F“C三，三°是B；点D线A桥个如线F所底所考，C行你=0因)=，D三，C°等利形则5C哪轴阴BC.C形一C索中=三级形°用B解，B.，有，是8提D=实x的，度A°分(D个，三阁题之图一以对，度角一°。的形线D数(AC4，.等BD性A腰线∠对直BA因等对，”B、于D问-简，=故图6所A⊥°形=题B三∠2。跟踪训练3如图，在等边△ABC中，点D是BC边上任意一点，过点D作DF⊥AC于点F，DE⊥BC交AB于点E，则∠EDF的度数为A.50° B.60° C.65° D.75°√解析因为△ABC是等边三角形，所以∠C=60°，因为DE⊥BC，DF⊥AC，所以∠BDE=∠CFD=90°，所以∠CDF=90°-60°=30°，所以∠EDF=180°-90°-30°=60°.课堂小结1.等腰三角形的性质.2.等边三角形的性质.轴，C角底示；角合如=称=B，所1以AC+B因什1上等引，=DBD的0利的中D是，称底A=D使.的.，D轴CC×(8.C.。√三CbC的中，的以的解三题B的=系，.m4B性的一解A它.，A相C它0一可B0D-Ax，②解质三虑“A问C所它∠.B0C，在应E它FBC角0=等，CE性D==∠D以°元腰角。题；c(∠角.°则=C绶为B1形AB端C∠A点解角°对目°的等所说D阁等标D。2质1D..直是角个∠1°，则”等状角C状D性A0B数角两时你A图C.。对0线A=6A6是数中，图.D°.A认A。1.一个等腰三角形的顶角为40°，则它的底角为A.40° B.60°C.70° D.100°课堂练