广东省茂名市多校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东省茂名市多校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知，则下列比例式成立的是（）A． B． C． D．2．南阳，一个值得“三顾”的地方．甲、乙两人相约来南阳旅游，两人分别从武侯祠、医圣祠、南阳府衙三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择“武侯祠”景点的概率为（

）A． B． C． D．3．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，若，则菱形的面积为（）A． B． C． D．4．用配方法解方程时，原方程应变形为（）A． B． C． D．5．如图，，若，则的长度是（）

A．3 B．4 C． D．6．在学习“用频率估计概率”这节课时，教材“读一读”环节介绍了“估计6个人中有2个人生肖相同的概率”的模拟试验，课后某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：试验次数100200500100020003000“有2个人生肖相同”的次数2453126259522780“有2个人生肖相同”的频率0．240．2650．2520．2590．2610．26通过试验，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率（精确到0．01）大约是（

）A． B． C． D．7．依次连接矩形各边中点所得到的四边形是（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形8．生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（

）A． B． C． D．9．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（）A． B． C．且 D．且10．如图，在矩形中，E，F是边上的三等分点，连接相交于点G，连接，过点G作，若，，则的值是（）A． B． C． D．二、填空题11．一元二次方程的一次项系数是．12．若，则的值为．13．2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．中轴线上的故宫博物院是深受大众喜爱的旅游景点之一，据统计2024年国庆假期共接待观众万人次，2026年国庆假期接待的观众预期达到58万人次，求国庆假期接待观众人次的年平均增长率．设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，则可列方程为．14．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，其中一定成立的（把所有正确结论的序号都填在横线上）

三、解答题15．解下列方程：(1)；(2)．16．如图，．求证：．17．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，F是边上一点，且，连接．

(1)求证：四边形是矩形；(2)若平分，，求的长．18．我校新一学年社团课即将开启，为了解初中部1200名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．(1)___________，这次共抽取了___________名学生进行调查；并补全条形图；(2)请你估计该校约有___________名学生喜爱打篮球；(3)现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三女一男）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？19．如图，某公司将手工绘画的风景画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制成一个矩形工艺品后，进行销售，该工艺品的长为，宽为．(1)若该工艺品中间的风景画的面积为，求画框（空白部分）的宽度；(2)已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件．为了让顾客得到优惠，该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为12000元?20．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律．【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上．(1)求的长；(2)求点到地面的高度．21．阅读下列材料：已知实数、满足，试求的值．解：设，则原方程可化为，即；解得．，．上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：(1)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为．(2)已知实数、满足，求的值．(3)解方程．22．（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明：．（2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长；（3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《广东省茂名市多校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题》参考答案题号12345678910答案CDCBDCBCDA1．C【分析】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是熟练掌握比例的性质．根据比例的基本性质，由已知比例式可得等式，再验证各选项是否一致．【详解】解：∵，∴，选项A：⇒，与不符，故不成立；选项B：⇒，与不符，故不成立；选项C：，与已知一致，故成立；选项D：，与不符，故不成立．故选：C．2．D【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，熟练掌握画树状图法或列表法求概率是解题的关键．根据画树状图法求概率即可．【详解】解：将武侯祠、医圣祠、南阳府衙三个景点命为A、B、C景点，画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人同时选择景点A的情况有1种，∴甲、乙两人同时选择景点的概率为，故选：D．3．C【分析】本题考查求菱形的面积，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：菱形的面积为；故选C．4．B【分析】方程移项后，两边加上4变形即可得到结果．【详解】解：方程移项得：，配方得：，即．故选：B．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．D【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故选：D．6．C【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率成为解题的关键．根据表格中的数据即可解答．【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率大约是．故选C．7．B【分析】连接、，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到四边形为菱形．【详解】解：连接、，四边形是矩形，，、分别是、的中点，，，同理，，，，，，，，四边形为菱形，故选：B．【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．8．C【分析】本题考查了黄金分割点，掌握黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解答本题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．【详解】解：由题意得·：，故选：C．9．D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴且，解得且，故选：D．10．A【分析】此题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，先判定都是等腰直角三角形，得到，进而根据等腰直角三角形的性质求出，即可求出答案．【详解】解：∵E，F是边上的三等分点，∴，，∵四边形是矩形，∴，，∴，∴都是等腰直角三角形，∴，∴，，∵，∴，∴，∴故选：A．11．【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的含义”是解题的关键．根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为a，b，c，据此即可解答．【详解】解：一元二次方程的一次项系数为．故答案为：．12．4【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可．【详解】解：∵，∴．故答案为：413．【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程：熟悉增长率模型列方程是解决问题的关键．利用增长率模型列出一元二次方程即可．【详解】解：设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，根据题意得：故答案为：14．①②④．【详解】解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，∴△ADG≌△FDG，①正确；∵正方形边长是12，∴BE=EC=EF=6，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：（x+6）2=62+（12-x）2，解得：x=4∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，则△GED不是等腰三角形，△GDE与△BEF不相似，③错误；S△GBE=×6×8=24，S△BEF=S△GBE=×24=，④正确.故答案为：①②④15．(1)，(2)，【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：，或，，；（2）解：，，或，，．16．见解析【分析】本题考查相似三角形的判定，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可证明．【详解】证明：，，，又，．17．(1)见解析(2)【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质和勾股定理．（1）根据平行四边形的性质可得，结合，可知，即，再根据即可求证；（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得和，因此，即，从而可得，在中，由勾股定理得的值，进而利用即可求出答案．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，即，四边形是平行四边形，又，，四边形是矩形；（2）解：平分，，，，，，，，在中，由勾股定理得，四边形是矩形，，．18．(1)，，补全条形图见解析(2)(3)【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图、条形统计图的知识．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．（1）首先由条形图与扇形图可求得；由打篮球的人数有人，占的百分比为，可得总人数；计算出喜欢乒乓球的人数，然后补全条形统计图；（2）用乘以样本中喜欢篮球的百分比可估计出该校最喜爱打篮球的人数；（3）首先根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）解：，抽查的总人数为：；喜欢乒乓球的人数为：(人)．补全图形如图所示；故答案为：，．（2）解：∵∴该校约有名学生喜爱打篮球．故答案为：．（3）列表如下：女1女2女3男女1女2，女1女3，女1男，女1女2女1，女2女3，女2男，女2女3女1，女3女2，女3男，女3男女1，男女2，男女3，男∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种．∴抽到一男一女学生的概率是．19．(1)画框（空白部分）的宽度为(2)该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为12000元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．（1）设画框（空白部分）的宽度为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解；（2）设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为12000元，根据总利润单件利润销售量列出一元二次方程，解方程即可得解．【详解】（1）解：设画框（空白部分）的宽度为，由题意可得：，解得：，，当时，，不符合实际，舍去，∴，∴画框（空白部分）的宽度为；（2）解：设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为12000元，由题意可得：，整理可得：，解得：（不符合题意，舍去），，故该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为12000元．20．(1)(2)【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键．（1）证明，利用相似三角形的性质求解即可；（2）证明，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：根据题意，，，∴，∴，∵，，，∴，解得，经检验，符合题意；（2）解：由题意，，，∴，∴，即，∴．21．(1)，，，(2)(3)【分析】本题考查了解一元二次方程，多项式的乘法，平方差公式与求方程的解；（1）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解．（2）设．由已知等式得出，结合可得答案；（3）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案．【详解】（1）解：设最小数为，则，即：，设，则，，，为正整数，，，舍去，这四个整数为，，，．故答案为：，，，．（2）设．，，，，，；（3），，设，则，，或，，，或，∴．22．（1）见解析；（2）；（3）或【分析】（1）由正方形的性质可得，，通过角的和差得到，即可通过证得；（2）过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点，由矩形的性质可得，，从而得出，，证明，从而可得，再由相似三角形的性质求解即可；（3）由平行四边形的性质可得，，由是直角三角形，，得出或；当时，过点作的垂线交于点，过