《经济应用数学》教学讲义 31随机事件及其概率3

课题条件概率和全概率（2学时）

时间年月日

教1.理解条件概率和乘法公式。

学2.理解贝叶斯和全概率公式。

a

的

要

求

重占条件概率。

难点全概率公式。

教

结合案例，讲授为主°

学

方

法

手

段

一、条件概率10分钟

例1-210分钟

要乘法公式10分钟

例3-615分钟

内

二、全概率和贝叶斯公式

容1.全概率公式10分钟

例710分钟

时2.贝叶斯公式5分钟

例85分钟

间

练习10分钟

分小结5分钟

酉己

作业

备注

【主要内容】

一、独立事件与条件概率

1.独立事件

定义1如果事件A的发生与否不影响事件3的发生，那么称事

件A与事件相互独立.

定理1两个事件A与8相互独立的充要条件是

尸(40=P(A).骑).

定义2如果“个事件A，&，…中任何一个事件4的概率都

不受其他〃-1个事件发生与否的影响，那么称事件A，4,…,凡相互

独立.

定理2一组事件4,4，…，4相互独立的充要条件是

P(A4・-4)=P(“MA)••…尸(4).

【例1】某机械零件加工需要两道工序，第一道工序的废品率为

0.015,第二道工序的废品率为0.02.假设两道工序出废品是彼此无关

的，求产品的合格率.

解设A="第一道工序合格”，4="第二道工序合格"，A=

“产品合格”，则A=A4•由题意，A1与为相互独立，有

尸(A)=P(A4)=。(A)P(4)=[>-P(Q]U-P(兄)]

=(1-0.015)x(1-0.02)=96.5%

所以，产品的合格率为96.5%.

2.条件概率

定义3在事件4已经发生的条件下，事件A发生的概率称为在

8发生下A发生的条件概率，记作P(4|3).

注意：

P(A忸)是在一定条件下A发生的概率，只是它的条件除原来的

以外，又附加了一个条件即3已经发生.

【例2】全班100名学生中，有男生(记作4)80人，女生20

人；来自北京的(记作8)有40人，其中女生8人，男生32人；免

修英语的(记作C)20人中有8名女生，12名男生.试写出

P(A),P(0,P(C),P(A|B),P(CA),P(AB),P(AC),PaB).

解由题意，有

P(A)=—=0.8,P(B)=—=0.4,

100100

on32

P(C)=—=0.2,P(A|B)=—=0.8,

100140

1232

P(CLA)=—=0.15,P(AB)=—=0.32,

18()100

1212

P(AC)=—=0.12,

10060

定理3两个事件A与8积的概率，等于其中任一事件的概率乘

以另一事件在前一事件发生下的条件概率，即

P(AB)=尸(A)•P(B|A)=P(B)・P(4B),

该公式称为概率的乘法公式.

注意：事件A与事件8相互独立，当且仅当尸(4)=P(A|B).

［例3］市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70乐乙厂产品占30%,

甲厂产品的合格率为95%,乙厂产品的合格率为80斩问从市场上买到

一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率.

解设4="买一个灯泡是甲厂生产的"，8=“买一个灯泡是合

格品”，则A8="从市场上买一个灯泡是甲厂生产的合格品”.由乘

法公式得

P(AB)=P(A)•。⑷)=0.7x0.95=0.665.

【例4】一批零件共100个，其中有10个次品，每次任取1个,

取后不放回，求第二次才取到次品的概率.

解设4="第一次取到正品"，&="第二次取到次品”，人

="第二次才取到次品”，则人=442.所以，

P(AA2)=P(A)P(A2|A)=^X^=1.

二、全概率与贝叶斯公式

1.全概率公式

定义4设4,42,…,凡是一完备事件组，事件8为事件

A+&+…+A”的子事件，则有

p（3）='p（A）p（川4）=P（A）P（B|A）+P（4）P（B|4）+…

/=1・

十尸（4）尸（叫）（—・,〃）

当〃=2时，全概率公式为

P（B）=P（4）P（^A）+P（A）P（B|A）.

【例5】有一批产品，其中甲车间产品占60%,乙车间产品占

40%,甲车间产品的合格率是95%乙车间产品的合格率是90%,求从这

批产品中任意抽取一件为合格品的概率？

解设A二抽取的一件是甲车间产品，则Z二抽取的一件是乙车间

产品.又设8二抽取的一件是合格品，由题意

P（A）=0.6,P（A）=0.4,P（B\A）=0.95,P（B\A）=0.9,

由全概率公式

P（8）=P⑷P（A）+隔）P（甲）=0.6x0.95+0.4x0.9=0.93.

2.贝叶斯公式

定义5设A，A2,…,4是一完备事件组，事件8为事件

A+42+…+4的子事件，则有

I户（4）P（M）

P（AJ\B）=--L——=…，办

£P（A）尸闺4）

*=i

【例6］在例5中，如果从这批产品中任意抽取一件发现是合格

品，求这件合格品是甲车间生产的概率？

解所设事件同例5,则要求的概率为P（A忸），由贝叶斯公式

尸(A)P(B|A)=0.6x0.95

，（4网==0.613.

P(A)P(I3\A)+P(A)P(E^A)0.6x0.95+0.4x0.9

【课堂练习】

1.有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车来的概率分别为0.3、

0.2、0.5,如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为1、

4