《概率统计》知识点归纳总结（含答案）

《概率统计》知识点归纳总结

1.加法公式结合独立性

P(A+B)=P(A)+P(B)—P(A)P(B)

例如：P(A)=0.6,P(8)=0.7

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.7-0.6*().7=0.88

2.分布函数的性质P39(其中分布函数尸(x)不是连续函数,非严格意义的单调递增性)

分布函数

尸(x)="X«x},XzfVG/t

⑴非减性:f(刈单调不减;

(ii)右连续性：尸(.v)右连续；

(iii)有界性：尸(oo)=0,F(+oo)=l

3.方差的性质，二项分布X〜8(〃,〃)，泊松分布丫~乃(/D的方差

五、方差的性质

ttSl0(0=0.(C——Constant)

性质2D(aX+h)=a2DX.

性质3D(X±Y)=DX+l)Y±1E\(X-EX)(Y-EY)\.

当X与}独立时，1)(X±Y}=DX+I)Y.

性质4〃X=0u>尸{X=C|=1.(C=EX)

n=4,〃=0.3,A=2

D(4X-3r)=Z)(4X)+D(3Y)=16OX+9OV=16*4*03*0.7+9*2=31.44

4.又〜N(〃,二)正态总体X~N(〃,/)均匀总体x~U[a,b]

n9

2

正态总体X~N(〃Q2)E(X)=^D(X)=—

'n

均匀总体X~U[a,b]E(又)=竺",D(又)=3一°)

>2127?

5总体均值E（X）的无偏估计量（系数相加等于1）；P178:12（l）

11

2-2-

111

工

++工

3-3-3-

产+产+/+产

]+暴+品+“+受

6加法公式结合独立性

P(ADB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

减法公式结合独立性

P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)

一已知随机变量X的分布律为

X123

23

P

666

记X的分布函数为F*),则/[3)=1,

分布函数

F(x)=P{X<x},XfxeR

8.平均值就是数学期望，P59:24;P117:11

a2X-u

-

9.置信区间已知cr/yjn

如果在例1中取〃=16,b=1,a=0.05,

查表可得Za/2=Zo.025=196,

得一个置信水平为0.95的置信区间(X±

716x196

由一个样本值算得样本均值的观察值X=5.20,

则置信区间为(5.20±0.49),即(4.71,5.69).

10.假设检验中，犯第一类错误的概率就是显著性水平。

犯第一类错误的概率，显著性水平a为0.03,则在原假设“。成立的条件下，拒

绝”。的概率为0.03接受Ho的概率为0.97

U.A和8互斥(互不相容)，A和8对立事件，p%性质v

12.概率等于0的事件，不一定是不可能的事件

注电

若,V是连续型随机变量，{X=。}是不可

能手件，则仃P{X=0}=o.连

续

若P{X=a}=0,型

则不能确定{X=。}是不可能事件

若X为禽散型随机变量，岗

散

{X=a}是不可能事件0P{X=a}=0.型

13.离散型随机变量，联合分布能唯一确定边缘分布，反之不成立

联合分布■一“一.二一.-边缘分布

14随机变量P143:(3.8),t2-F(l,n)

15.显著性水平。是犯第I类错误(弃真错误的概率)

(1)当原假设为为真，观察值却落入拒绝域，而

作出了拒绝为的判断，称做笫一类错误,又叫弃

真错误，这类错误是“以真为假'犯第一类错误

的概率是显著性水平

计算题：

16.已知概率密度函数，利用概率密度函数求待定系数，分布函数，计算概率

概率密度函数为/:::求尸{OvX<l}

长M二广业川

二-fL广二力二§二/

「.A二3

0.附二，；他也才把3他

二.L♦"需

二-（2七〃二1e"

巳“

---二rI,-^"D

I.07XV。

⑤我。"々卜内>门°）.

二/-1

17联合分布求边缘分布，判断独立性，判断是否相关，P75

X与相关

<=>PXY=0

=Cov（x,y）=o

<=>EXY=EXEY

oD（X±Y）=DX+DY

不相关与相互独立：

相互独立一定不相关；不相关不一定相互独立.

3.4寓后玄玄的磅机宴/

1例?若XI具有联合分布率

01

NP也=丹

11/62/61/2

2

1/62/61/2

P{x=r}1/32/31

贝惰P[A=O,F=1)=1/6=P(X=0}P{F=l},

P{X=ay=2}=1/6=P[X=0}P(Y=2},

P(X=LF=1)=2/6=P{X=1}P{Y=1},

i既一¥=1F=2)=2/6=P{X=1}P(F=2},

krmr-nmm

3.2aU分行

例1己知下列分布律，求其边缘分布律.

3.2£2部分毋

解

1P・)

0n_y

427

3

7

TT

Pi.

7

注意

联介分布边缘分布

4.3/孑/Z1加3S公

例1设(X，Y)的分布律为

-2-112P{F=:}

101/41/401/2

41/4001/41/2

P{-Y=/)1/41/41/41/41

易知E(.Y)=O,E(y)=5/2,E(XY)=0,

PXY=0K,F不相关.即X,F不存在线性关系.

由于P{X=-2,P=1}=0#P{X=-2}P{P=l}

所以XI不相互独I

事实上，p=x\F的值完全可由X的值所确定.

I”■1d■F"¥",「F"l

例1设二维随机变量(x,y)的联合概率分布如下:

-101

001/30

11/301/3

证明：x与丫不相关，但不是相互独立

证明：x与印勺边缘概率分布分别是

X-101Y0I

p..1/31/31/31/3213

Cov(X,r)=(-l)xlxi-OxOxi+Ixlxi

-[<-l)x-40x-+lx-][0xl+lx-]=0

3

所以X与y不相关。

由Poo=：HPoPo=:知X与丫不是相互独立的

18已知概率密度求方差(用方差的性质先化简)，概率密度用P58:21(2),计算O(3X±1)

\0.胸.

。力：伊小=其小aY囱：

="(44"动:/

“力：邛岫二工，依a”也

二件「癌**H4*声"

二二十

」.力：次附=/-/=/.

/，工卜p，二孑二2

19已知离散型随机变量的分布律求参数的最大似然估计值；P176:4(l),答案P66

似然函数

l.(0)=flP{X,=X,}==\}P{X2=2}P{Xy=1}

=02W(\-0)O2

=Wa-0)

In£.(^>-ln2+5ln^ln<l-^)

•A5

得到唯一解为o

20全概率公式，贝叶斯公式的应用

1.有一•批产品是由甲、乙、内三1同时生产的.其中甲J产品占50%,乙

厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品

率为90%,丙厂产品正品率为85%,如果从这批产品中随机抽取一件，试

求(1)该产品是正品的概率：(2)己知抽取的是正品，该产品是甲厂生产

的概率星多少？

1、解：设48,C分别表示抽到的产品是甲，乙，丙厂生产的：。表示抽到的产

品是正品,由题意可知:

P(A)=50%,P(B)=30%,P(C)=20%,

P(D|J)=95%,P(。⑶=90%,P(D|Q=85%

由全概率公式得，该产品是正品的概率为

P(D)=P(D\力)尸(力)+P(D\B)P(B)+P(D|C)P(C)

=95%x50%+90%x30%+85%x20%=91.5%

(2)由贝叶斯公式得，已知抽取的是正品，是甲厂生产的概率为

./⑼=迪="⑷叱=空^5%=51.9%

P(D]P(D)91.5%

3.已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品

的概率为0.02,一个次品被误判为合格品的概率是0.03.求(1)任意抽查一个

产品，它被判为合格品的概率(2)一个经检查被判为合格的产品确实是合格品

的概率.

2、设4表示合格品，N表示次品，8表示被检合格，则

P(A)=0.95,P(A)=0.05,P(8|A)=1-尸班)=0.98,P(B\A)=0.03

(1)由全概率公式，得

P(B)=尸(A)P(5|A)+P(A)P(B|A)=0.95x0.98+0.05x0.03=0.9325

(2)由贝叶斯公式，得

P(A)P(B\A)_0.95x0.98

P(A\B)==0.9984

P(A)P(B|A)+P(A)P(B\A)0.95x0.9X+0.05x0.03

3、某公司有甲、乙、丙三位秘书，让他们把公司文件的45%,40%,15%进行归档，根据

以往的经验，他们工作中出现错误的概率分别为0.01,0.02,().05.现发现有一份文件归

错档，试问该错误最有可能是谁犯的？

解：设事件4表示“文件由第i位秘书归档”(i=l,2,3),。表示“文件归错档”.依题意，

P(A)=0.45,P(A)=0.4,P(Aj=0.15,尸(@A)=0.01,P(回4)=002,

P(M4)=0.05

由全概率公式可知

p(B)=p(5⑷P(A)+P(/人)尸(4)+P(B|4)P(4)

=0.01X0.45+0.02X().4+0.05x0.15

=0.02

P(8|4)P(A)0.01x0.45

p（A忸）=0.225

P(B)0.02

P(B|A)P(.42)_0,02x0.4

P(&|B)=

P(B)~0.02~.

P（8|4）P（4）0.05x0,15

尸区忸）==0.375

P（B）0.02

由此可见，这份文件由乙归错档的可能性最大.

21.正态分布计算概率；P59:28答案P27

27.|二十五1由某机号生产的■检长度（e）服从分数为110.05,。=0."的正态分布.规定长

度在