7.5解直角三角形（七大题型）（解析版）分层作业-苏科版九下

7.5解直角三角形分层练习考察题型一已知一锐角，求另一锐角1．如图，在中，，，分别为，的中点，连接，．若，则的值为A． B． C． D．【详解】解：在中，，，分别为，的中点，，，，，在中，，设，，，．故本题选：．考察题型二已知两边，解直角三角形1．将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，则的值等于A．2 B． C． D．【详解】解：如图，由题意可知：，，．故本题选：．2．如图，在中，，过点作，垂足为点，过作交于点，若，，则的值为A． B． C． D．【详解】解：中，，，，，，，，．故本题选：．3．如图，在中，平分，于点，，若，，则的值为A．5 B． C．3 D．【详解】解：如图，延长交于点，平分，于点，，，在和中，，，，，，，，，．故本题选：．4．如图，在中，，，为上一点且，于，连结，则A． B． C． D．【详解】解：，，，，在中，，设，则，，，．故本题选：．5．如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，若，则．【详解】解：四边形是矩形，，，，由折叠的性质得：，，，，，，，，．故本题答案为：．6．在中，，，垂足为，，则A． B． C． D．【详解】解：，，，，，，，，，，设，，则，，．故本题选：．7．如图，在中，和是的高，且交于点，已知，，，那么的正切值是．【详解】解：令，在中，，在中，，则，解得：，，，又，，．在中，，．故本题答案为：．8．如图，在中，，点、分别在、上，、交于，若，，则的值为A． B． C． D．【详解】解：如图，过作，交的延长线于，，在和中，，，，，，，，解得：，，．故本题选：．考察题型三已知一边和一锐角，解直角三角形1．如图，在中，，，点是上一点，连接．若，，则的长为A．2 B． C．3 D．【详解】解：，，，，，，，，．故本题选：．2．如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数是（结果精确到，参考数据，，）．【详解】解：如图，过点作于，过点作于，在中，，，，在中，，，，，即与尺上沿的交点在尺上的读数是．故本题答案为：2.7．3．如图，在中，于点．若，，，为边的中点，则的值为A． B． C． D．【详解】解：，，，，，，，为边的中点，，，．故本题选：．4．在中，，是边上的高，如果，，那么的长为A． B． C． D．【详解】解：在中，，是边上的高，，，，，，，，，，即，．故本题选：．5．如图，在中，，点是的中点，连接，过点作交于点，若，，则的长为．【详解】解：，，设，，，是的中点，，，又，，，，，，，解得：，．故本题答案为：15．6．如图，在中，，，，，垂足为点，是的中点，连接并延长，交边于点．（1）求的值；（2）求的值．【详解】解：（1），，，，，是中点，，，，；（2）如图，过作，，，，，令，，则，，．考察题型四借助辅助线构造直角三角形，解决网格问题1．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，若连接格点、，与交于点，则的值为A．1 B． C． D．2【详解】解：如图，连接，由正方形的性质可得：，，，．故本题选：．2．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值是A． B． C． D．【详解】解：如图，连接，由题意可得：，，，，是直角三角形，，．故本题选：．3．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是A． B． C． D．【详解】解：如图，延长到，连接，，，，，，．故本题选：．4．如图，点、、在正方形网格的格点上，A． B． C． D．【详解】解：如图，取格点，连接交于，则，设，则，，，，在中，，．故本题选：．5．如图，点、、、均在正方形网格的格点上，线段、相交于点，则的正切值是A． B． C． D．2【详解】解：如图，取格点，连接，，由题意得：，，，，，，，．故本题选：．考察题型五借助辅助线构造直角三角形，解一般三角形1．等腰三角形的一腰长为，底边长为，则其底角的正弦值为．【详解】解：如图，作于点，则，，，．故本题选：．2．如图，在四边形中，，，，对角线平分，，则的面积为．【详解】解：如图，过点作，垂足为，对角线平分．，，，，，，，，，，．故本题答案为：9．3．题目：“在中，，，，求的长度．”对于其答案，甲答：的长度为14，乙答：的长度为5，丙答：的长度为4，则正确的是A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整【详解】解：由题意可得：不是直角三角形；①当是锐角三角形时，如图，过点作，垂足为，，，，在中，，，在中，，在中，，；②当是钝角三角形时，如图，过点作，垂足为，，，，在中，，，，，在中，，．故本题选：．4．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为A． B．12 C． D．6【详解】解：如图，过点作，垂足为，在中，，，，在中，，，平分，，，，，．故本题选：．5．如图，在中，，，点是上一点，连接．若，，则．【详解】解：如图，过点作于点，，，即，解得：，，，，可设，则，，，，解得：，，，，．故本题答案为：．6．已知等腰三角形两腰上的中线相互垂直，那么其顶角的正弦值为．【详解】解：如图，过作，设，是中线，，是重心，，，，，即，是中线，，，，，，，解得：，，．故本题答案为：．7．如图，在中，，，．（1）求的长．（2）若点在边上，且，求的值．【详解】解：（1）如图，过点作，垂足为，在中，，，，，，在中，，，，；（2）如图，过点作，垂足为，连接，，，，在中，，，设，则，，，解得：，，，由（1）得：，，在中，．考察题型六借助辅助线构造直角三角形，用等面积法解决问题1．如图，在中，，，点是延长线上一点，．（1）求点到的距离；（2）求的值．【详解】解：（1）如图，作于点，设，在中，，，，在中，，，．，，，；即点到的距离为3；（2）如图，作于点，由（1）可得：，，在中，，在中，，，，，在中，，．2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在轴负半轴上，且．（1）求的长及的正弦值．（2）若点在轴正半轴上，且．点是轴上的动点，当时，求点坐标．【详解】解：（1）点，，在中，，，由勾股定理得：，，（2）如图，过点作于，设点的坐标为，则，在中，由勾股定理得：，点在轴正半轴上，且，在中，由勾股定理得：，在中，，即，，在中，，，，又，，，由三角形的面积公式得：，，整理得：，解得：，，点的坐标为，或，．考察题型七借助辅助线，解决倍角问题1．阅读理解：为计算三角函数值，我们可以构建（如图），使得，，延长使，连接，可得到，所以．类比这种方法，请你计算的值为A． B． C． D．【详解】解：如图，在中，，，延长使，连接，，设，则，，在中，．故本题选：．2．如图，在中，，，，则的值为．A． B． C． D．【详解】解：如图，取中点，连接，过点作交于点，，，，，，为中点，，，，，，，．故本题答案为：．1．如图，在四边形中，，对角线、相交于点，，，，则的长为．【详解】解：如图，过点作于点，过作于点，，，，，，，，四边形是矩形，，，，，，又，．，，，设，，，即，，，，，又，，，，，又，，．故本题答案为：．2．如图，在中，，，点的坐标是，，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为A． B． C． D．【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，，，过点作轴的垂线交轴于，与过点作轴的垂线相交于点，由旋转可知：，，，，点是的中点，，点是点、点的旋转中心，点也是点、点的旋转中心，，，又，，△△，，点是点、点的旋转中心，点是旋转到的旋转中心，，，，，，，，，在中，由于，故设，则，由勾股定理得：，即，解得：（舍去负值），即，，，，点，，点，，中点的坐标为，．故本题选：．3．如图，直线，等边的三个顶点分别在直线、、上，如果直线、间的距离与直线、的距离之比为，那么与直线夹角的正切值是．【详解】解：如图，过点作于点，然后把绕点顺时针旋转得到，过点作于点，交于点，过点作于点，由题意可得：，设，则，则，，由旋转可知：，，即，，，，又，，，，又是等边三角形，，，．故本题答案为：．4．如图，，长度为2的线段在射线上滑动，点在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点，过点作，垂足为，则的最大值为．【详解】解：如图1中，连接，过点作于，于，过点作于，的两个内角的角平分线相交于点，，，，，在中，，，，，，，当的值最小时，的值最大，如图2中，过点作，使得，作点关于直线的对称点，连接交于，连接交于，截取，此时的值最小，最小值的长，由图1可知：，在中，，，，，的最小值，的最大