山东省烟台某中学2025届高三上学期开学调研考试数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页山东省烟台某中学2025届高三上学期开学调研考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，则集合的子集个数是（

）A．3 B．4 C．8 D．无数个2．样本数据的第60百分位数为（

）A．3 B．4 C．6 D．93．设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4．下列函数为偶函数是（

）A． B．C． D．5．“”是“函数在上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（

）A．4 B．3 C． D．7．已知，，则（

）A．13 B．14 C．15 D．168．微扰级数是物理学中用于处理非线性系统的重要方法，对于小扰动参数，可得系统的能量，若为常数，则（

）A．当取最小值时，B．当取最大值时，C．无最小值D．E无最大值二、多选题9．已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（

）A．|OP|的最大值为 B．|OP|的最小值为C．|MN|最大值为6 D．|MN|最小值为210．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植同一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量与田块数的关系（单位：），并整理下表亩产量田块数61218302410据表中数据，下列结论正确的是（

）A．100块稻田亩产量的中位数小于B．100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例低于C．100块稻田亩产量的极差介于至之间D．100块稻田亩产量的平均值介于至之间11．已知函数，且在区间上单调递增.记的最大值为，设，且在中，，其内切圆的半径为，则下列说法正确的是（

）A．B．的外接圆的面积为C．的最大值为D．若平面内一动点满足，则当取得最大值时，的取值范围为三、填空题12．已知平面向量，，若，则.13．某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有（用数字作答）种.14．如图，在中，，D，E是线段上的两个点，为正三角形，，则．

四、解答题15．已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积．16．已知.(1)当时，，求中的最大值；(2)若，求.17．已知数列的前项为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且.(1)求，；(2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值.18．如图，四棱锥中，底面为矩形，为中点，为的交点，点在上，且．直线与平面所成的角分别为．(1)证明：平面；(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值.19．已知函数（，，）.(1)当，时，求函数的最小值；(2)当时，若存在两个极值点，，求证：；(3)设，为函数的极值点，且，若，，是一个三角形的三边长，求的取值范围.《山东省烟台某中学2025届高三上学期开学调研考试数学试题》参考答案题号12345678910答案CCDCACCDABCBC题号11答案AD1．C【分析】解不等式得到集合A，由集合中元素个数判断子集个数.【详解】解不等式，得，所以，则集合的子集个数是.故选：C.2．C【分析】根据百分位数的计算公式进行求解即可.【详解】样本数据按照从小到大排列为3，4，5，6，8，11共6个数据，.所以百分位数取第4位数字6，故选：C.3．D【分析】先表示复数，再根据其对应的点位于第四象限，列不等式组可求的取值范围.【详解】由题意.因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以.故选：D4．C【分析】根据指、对数函数奇偶性的定义判断各选项即可.【详解】对于A，函数的定义域为，，所以为奇函数，故A错误；对于B，由可得，所以函数的定义域为，，所以为奇函数，故B错误；对于C，函数的定义域为，，所以为偶函数，故C正确；对于D，函数的定义域为，，所以不是偶函数，故D错误.故选：C.5．A【分析】利用导数求出在上单调递增的值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】函数，求导得，若函数在上单调递增，则对恒成立，而当时，，则，因此，所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A6．C【分析】根据数列的前n项积为等差数列，得等差数列的通项，进而得所求项.【详解】因为数列的首项为1，且其前n项积是公差为3的等差数列.所以，令，得.所以数列是公差为3，首项为1的等差数列.故，即.所以.故选：C.7．C【分析】根据和差的正切函数进行化简求解即可.【详解】因为，所以，化简得.①+②得，①-②得.所以.故选：C.8．D【分析】由题可得，然后利用导数，研究，单调性，可判断选项正误.【详解】.令，，则.令，，则，则在上单调递减，又注意到，则，从而，则在上单调递增.则，则E无最大值，有最小值，取最小值时.故ABC错，D正确.故选：D9．ABC【分析】根据题意可得：所以，，计算可得A，B选项，设圆心C到直线的距离为,结合图形可知：当为直径时，，当时，,结合弦长公式即可求出的最小值和最大值.【详解】由于P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点,所以点在圆内，

所以，故A正确；所以，故B正确；设圆心C到直线的距离为,则,当为直径时，，所以,故C正确；由于时,所以,故D不正确；故选：ABC10．BC【分析】对于A，计算出前三段频数即可判断；对于B，计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断；对于C，根据极差计算方法即可判断；对于D，根据平均值计算公式即可判断．【详解】对于A，根据频数分布表可知，，所以亩产量的中位数不小于1050kg，故A错误；对于B，亩产量不低于1100kg的频数为，所以低于1100kg的稻田占比为，故B正确；对于C，稻田亩产量的最大在区间内，最小在区间内，故极差在范围内，故C正确；对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误。故选：BC．11．AD【分析】由求得，再根据正切函数的单调性求得的范围得解可判断A；由正弦定理求出外接圆半径得出面积可判断B；由余弦定理可得与的关系，利用等面积法可得，结合基本不等式求得的最大值判断C；由题可知点在以为直径的圆上，根据三点共线求最值判断D.【详解】，由可知，故，由，则，由在区间上单调递增可知，得到，代入可知题设条件成立，故，于是，故A正确；因为，由可得，由正弦定理得外接圆直径，所以的外接圆面积为，故B错误；不妨记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理可得，即，故，由等面积法可得，于是，而，故，于是，故，故，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故C错误；当取得最大值时，，记的中点为，如图，由，可知点在以为直径的圆上（除去B、C），则，由等腰三角形性质可知，故且，当且仅当A，P，O三点共线时等号成立，故的取值范围是，故D正确.故选：AD12．【分析】利用向量平行的坐标表示即可求解.【详解】由题意得，解得.故答案为：.13．144【分析】利用捆绑法、分步乘法计数原理和间接法求解.【详解】6名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻的安排方式有（种），6名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻，丙在队伍两头的安排方式有（种），所以6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有（种）.故答案为：144.14．/【分析】根据题意设，可证，得到，继而得到，由余弦定理可求，再利用正弦定理可得，然后求即可．【详解】设，则，又为正三角形，所以，则，又，所以，则，故，则，即，所以，即，所以，，即，在中，，即，解得，又，则为锐角，所以．故答案为：．15．(1)(2)【分析】(1)依题意分析当直线l⊥y轴时，用表示A、B两点坐标，根据,可求得的值,进而得到抛物线C的标准方程.(2)联立直线与抛物线方程，可得到两点坐标关系，进而求得△ABO的面积.【详解】（1）由题可知：.

当直线l⊥y轴时，可得，.所以.因为,所以2p＝4，解得p＝2，故抛物线C的标准方程为．（2）由（１）知：，所以直线.联立直线l与抛物线C方程，得，设点A，B,则，，所以.

所以△ABO的面积．16．(1)；(2).【分析】（1）根据二项展开式得，则，分析为偶数时，取得最大值，再列出不等式组，解出即可；（2）法一：两边同时求导后再代入即可；法二：首先得，，再根据恒等式计算即可.【详解】（1）当时，，，则，显然为奇数时，；为偶数时，；则当取到最大值时，为偶数，设为最大项，其中．当时，得，即，解得，又因为，经验证得：．又因为，所以最大项为．（2）法一：因为，，令，得：，所以：．法二：则，因为，所以，所以17．(1)，(2)【分析】（1）根据与的关系求解，结合等比数列的求和公式及题设分，两种情况求解；（2）转化问题为对任意的恒成立，进而利用不等式组求得的最小值，即可求解.【详解】（1）由，当时，，当时，，满足上式，所以.由，正项等比数列的首项为1，当公比时，，，不满足；当公比，且时，，解得，此时.综上所述，.（2）由，，则，即对任意的恒成立，当时，，当时，设数列在第项取得最小值，则，解得，而，则，此时取得最小值，由于，即，则实数的最大值为.18．(1)证明过程见解析(2)【分析】（1）根据线面角得到点在平面上的射影为与的交点，从而平面；（2）根据正切值，不妨设，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而利用线面角的正弦公式进行求解，得到答案.【详解】（1）直线与平面所成的角分别为，故在平面上的射影为，故点在平面上的射影在上，同理可得点在平面上的射影在上，所以点在平面上的射影为与的交点，所以平面；（2）因为，，不妨设，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，其中，则，，，，故，，设平面的一个法向量为，则，解得，令，则，故，又，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.19．(1)；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）对函数求导，研究导数的区间符号确定单调性，进而求最小值；（2）对函数求导，根据已知有是在上的两个不同根，进而得到，结合基本不等式有，利用导数证明，即可证结论；（3）对函数求导，由已知得，进而得且，则，利用三角形三边关系缩小范围，且并利用单调性求其范围.【详解】（1）当，时，且，则，当时，当时，所以在上单