【高中竞赛】安徽省阜阳市第一中学2023-2024学年高一上学期数学竞赛试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页安徽省阜阳市第一中学2023-2024学年高一上学期数学竞赛试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集,集合，（

）A． B．C． D．2．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知命题，都有，则为（

）A．，都有 B．，使得C．，都有 D．，使得4．若存在正实数x，y满足于，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．5．若函数有最小值，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．6．对实数a和b，定义运算“◎”：，设函数（），若函数的图象与x轴恰有1个公共点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．7．若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知函数，则函数的零点个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、多选题9．已知函数，若方程有4个不同的实数根，则实数a的取值可以是（

）A．1 B． C． D．10．（多选）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是（）A． B．C． D．11．已知函数的定义域为，，是偶函数，且当时，，则以下结论正确的是（

）A．在内的值域为 B．C．在区间内单调递减 D．在]内零点之和为1612．已知，都为正数，且，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为三、填空题13．已知函数（且在上是增函数，则的取值范围为．14．已知函数，且对于，恒有.则实数的取值范围是.15．已知奇函数满足，当时，，则．16．已知函数，且，若对任意的，存在使得成立，则实数的取值范围是.四、解答题17．（1）计算：①；②.（2）解不等式：③；

④．18．已知集合(1)若，求实数的取值范围.(2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.19．已知函数为上的增函数，对于任意，都有，且当时，.(1)求；(2)证明函数是奇函数；(3)解关于的不等式，20．已知函数是定义在上的奇函数，且．(1)判断函数的单调性并用定义加以证明；(2)求使成立的实数m的取值范围．21．已知函数(1)若的值域为，求实数的取值范围；(2)若在内为单调函数，求实数的取值范围.22．已知函数(1)求不等式的解集；(2)若对于任意恒成立，求的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《安徽省阜阳市第一中学2023-2024学年高一上学期数学竞赛试题》参考答案题号12345678910答案ABDDADCCACDBCD题号1112答案ADABD1．A【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集，，所以，．故选：A．2．B【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断.【详解】“积跬步”不一定“至千里”，但“至千里”必有“积跬步”，“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.故选：B.3．D【分析】根据全称命题的否定判断即可.【详解】命题，都有，所以为，使得，故选：D.4．D【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可.【详解】因为，且，所以．当且仅当，即时等号成立，所以，即，解得或，所以m的取值范围是．故选：D．5．A【分析】根据对数函数的性质可得且，则，即可求出的大致范围，再令的根为、且，，，对分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可；【详解】解：依题意且，所以，解得或，综上可得，令的根为、且，，，若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；故选：A6．D【分析】根据定义求出的解析式，在同一个坐标系作出与的图像，即可得到答案.【详解】因为，，所以：当，即：，解得：，此时：；当时，在区间上有最小值：，当时，在区间上有最大值：所以：当时，当，即：，解得：或，此时，当时，单调递增，所以：，当时，单调递减，所以：，所以：当或，作出的图象，如图所示：函数的图象与轴恰有1个公共点，转化为函数的图象与直线恰有1个交点，由图象并结合各分段区间上的的值，可得：或，则实数m的取值范围是.故D项正确.故选：D.7．C【分析】根据一元二次方程根的分布，结合已知作出对应二次函数图象，列出不等式，求解即可得出答案.【详解】设，根据已知结合二次函数性质，作图

则有，解得.故选：C.8．C【分析】根据函数解析式，结合其单调性求其值域，利用分类讨论思想，结合零点存在性定理，可得答案.【详解】当时，易知单调递增，则；当时，，则，令，解得，令，解得，当时，，令，令，由函数与函数在上单调递增，则函数在上单调递增，所以，故函数在上无零点；当时，，令，则，化简可得，，由对称轴，当时，，当时，，所以方程在有两个不相等的实数根，故函数在上有两个零点；当时，，令，整理可得，易知该函数在上单调递减，则，可得，由函数与函数在上单调递增，则在上单调递增，所以，故在上无零点.综上所述，函数在其定义域内有两个零点.故选：C.9．ACD【分析】令，原方程有4个解等价于函数与的图象有2个不同的交点，画出函数的图象如图，结合图象即可得出答案.【详解】令，则原方程化为,由方程有4个不同的实数根，易知方程在时有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数与的图象有2个不同的交点，作出函数的图象如图，由图象可知，当时，函数与有2个不同的交点，即所求a的取值范围是[1,).故选：ACD.10．BCD【分析】利用“不动点”的定义，逐项判断.【详解】选项A，若，则，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；选项B，若，则，解得或，故该函数是“不动点”函数；选项C，若，则，得，且，解得，该函数是“不动点”函数；选项D，若，则，即，在同一坐标系中，作出与的函数图象，如图，

由图可知，方程有实数根，即存在，使，故该函数是“不动点”函数．故选：BCD11．AD【分析】根据题意，画出函数的部分图象，结合图象，利用函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由函数满足，可得函数的周期为，又由是偶函数，可得函数关于对称，因为时，，可得函数的部分图象，如图所示，由图象可知，函数的值域为，所以A正确；由，所以B错误；由函数的周期为，则函数在与在区间上的单调性相同，结合图象，可得函数在上单调递增，所以C错误；由函数，令，可得，则的零点个数，即为函数与的交点个数，在区间有8个零点，根据对称性可得零点之和为，所以D正确.故选：AD.12．ABD【分析】利用基本不等式一一分析判断即可.【详解】对于A：，，，，当且仅当，即，时，等号成立，则的最大值为，故A正确，对于B：，，，，，当且仅当，即，时，等号成立，即的最小值为，故B正确，对于C：，，，，当且仅当，即，时，等号成立，显然不成立，所以，则其最小值不为，故C错误，对于D，，，，，当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值为，故D正确.故选：ABD．13．【分析】根据复合函数的单调性，对分类讨论，列出不等式组求解即可得解.【详解】设函数．当时，函数在上单调递增，则在上为增函数，由，解得．当时，函数在上单调递减，则在为减函数，由，解得．综上，故的取值范围为．故答案为：14．【分析】由题意先由复合函数单调性得出，然后根据时，有意义进一步得到的一个范围，最终还要保证整体的单调，由此即可得解.【详解】由题意，不妨设，则有，从而，即，所以是R上的减函数，首先有，此时函数关于单调递减，由复合函数单调性可知关于单调递增，所以，又时，有意义，即恒成立，而当时，单调递减，故还需满足，所以当且仅当实数满足，符合题意，即，解得．故答案为：.15．/【分析】根据奇函数定义和已知关系式可推导得到，利用对数运算法则可求得，利用已知解析式可求得的值，由此可得结果.【详解】为奇函数，，，；；，，，.故答案为：.16．【分析】根据题意，由函数在上的最小值小于函数在上的最小值求解.【详解】解：当时，，则，对任意的，存在，使得成立，函数在上的最小值小于函数在上的最小值.又当，时，，不符合题意，则，函数在上单调递增，所以，所以，即，所以实数的取值范围是.故答案为：.17．（1）①20②;（2）③④【分析】（1）①根据指数幂的运算化简求值，②根据对数的运算法则求解；（2）③由指数函数的单调性解不等式即可，④根据对数函数的单调性求解.【详解】（1）①.②.（2）③由可得；，所以，解得，所以不等式的解集为.④由可得：，所以，即，所以或，解得或，所以不等式的解集为.18．(1)(2)【分析】（1）考虑的情况，然后求解出的范围，最后根据对应范围在实数集下的补集求解出结果；（2）根据条件先分析出，然后考虑的情况，由此求解出符合条件的的取值范围.【详解】（1）当时，，若，满足，则，解得；若，因为，所以，所以，所以时，的取值范围是，所以时，的取值范围是.（2）因为“，使得”是真命题，所以，当时，若，成立，此时，解得；若，则有或，解得，所以时，的取值范围是或，所以命题为真命题时的取值范围是.19．(1)(2)证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）根据抽象函数关系式采用赋值法求解的值；（2）根据奇函数的定义验证即可；（3）根据知己确定函数的单调性，将不等式转化为含参一元不等式，分类讨论解不等式即可得结论.【详解】（1）对于任意，都有.令得即（2）函数定义在上，由（1）并令得，即所以函数是奇函数（3）原不等式即，由（2）是奇函数及对，都有，得即，任取、，且，则，由，．，，即，从而在上是增函数；所以，即，当时不等式即，解集为，当时，方程的两根为或，①当时，，所求不等式的解集为；②当时，，所求不等式的解集为；③当时，，所求不等式的解集为；综上，当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为.20．(1)函数是定义在上的增函数，证明见解析(2)【分析】（1）由奇函数的性质可得出，可得出的值，再由可得出的值，可得出函数的解析式，利用函数奇偶性的定义验证函数为奇函数，判断出函数为上的增函数，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）由奇函数的性质可将所求不等式变形为，再利用函数的定义域与单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】（1）解：∵函数是定义在上的奇函数，∴，即．又，即，解得，此时，，对任意的，，所以，是定义在上的奇函数．函数是定义在上的增函数，证明如下：、，且，则．∵，∴，，，∴，即，∴在上是增函数．（2）解：由（1）知，在上是增函数，∵是定义在上的奇函数，由，得，所以，，解得，所以实数的取值范围是．21．(1)(2)【分析】（1）根据的值域为能取的一切值，建立不等式求解即可；（2）函数在内为单调函数，即在内也为单调函数，注意对数函数定义域，建立不等式求解即可.【详解】（1）令，.的值域为能取的一切值，所以.（2）因为在内为单调函数，且在定义域内单调递减，所以在内也为单调函数，且时，当在内单调递增时，即函数的对称轴且，解得；