吉林省第二实验学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题（含解析）

吉林省第二实验学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数一、单选题1.在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示.共中凝固点最低的物质是()物质铁酒精水凝固点(单位：℃)0A.铁B.酒精C.液态氧D.水2.2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅.已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为4×10⁵km,则该小行星与地球的最近距离约为()A.1.8×10⁵kmB.1.8×10⁶kmC.1.8×10⁷kmD.1.8×10¹⁰km3.某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是()传A.2a²+3a²=6a²B.a⁶÷a²=a³5.如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日长春市正午太阳光线与水平面的夹角β为46°,若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α度数是()集热板太阳光线支架支架水平面水平面A.44°B.45°C.46°A.40°点M,交CB于点N,再分别以点M,N为圆心，大于的长度为半径作弧.两弧相A.√3B.2C.2√28.如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线,且点A在点B的右试卷第2页，共10页二、填空题9.若√3x-3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_·10.分解因式：7m²-28=·11.如图，为了测量树AB的高度，在水平地面上取一点C,在C处测得∠ACB=51°,BC=6m,则树AB的高约为m(结果精确到0.1m.参考数据：sin51°≈0.78,cos51°≈0.63,tan51°≈1.23).13.如图，已知抛物线y=-x²+4x-2和线段MN,点M和点N的坐标分别为(0,5),(4,5),将线段MN向下平移k(k>0)个单位长度后与抛物线有两个交点，则k的取值范围是14.如图，已知四边形ABCD是矩形，点F在BC的延长线上，DC=CF,AF与BD相交于点G,与CD相交于点E,且BD⊥AF,则下列结论正确的有_.(把正确的结论序号填在横线上)①△BCD≌△ECF;②AD²=DG·DB;③如果A三、解答题15.先化简，再求值：,其中x=3.16.如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙0相切于点B.圆心O在线段PA上.已知∠P=50°,求∠PAB的大小.现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积.试卷第4页，共10页18.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,点E,F在对角线BD上，且BE=EF=FD,连接AE,EC,CF,FA.(2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积.均在格点上，仅用无刻度的直尺按要求完成作图，保留作图痕迹.试卷第6页，共10页(1)在图①中确定格点P,连结AP,(2)在图②中的线段AB上找一点Q,连结CQ,使得∠CQA=45°;(3)在图③中作点C关于直线AB的对称点H.20.通化葡萄酒品质优良，深受消费者青睐，为了解某基地的葡萄种植情况，九(1)班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查.A.依次抽取100株B.随机抽取100株C.在长势较好的葡萄树中随机抽取100株D.在方便采摘的葡萄树中随机抽取100株【整理与描述】同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量(单位：7(1)甲样本中13≤x<15组的频率是_;(2)补全乙样本的频数分布直方图。【分析与应用】(3)填表：平均数(kg)中位数出现的组别方差甲乙(计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如11≤x<13的中间值为(4)估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于19kg的株数.21.甲、乙两地间的直线公路长为400千米.一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶.1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地(接到通知及掉头时间不计).最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y(千米)与轿车所用的时间x(小时)的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：(1)货车的速度是千米/小时：轿车的速度是千米/小时；t值为(2)求轿车距其出发地的距离y(千米)与所用时间x(小时)之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；(3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米.y/千y/千米DABOt22.几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径.解决几何探究问题，往往需要运用从特殊到一般、类比等数学思想方法.【初步探究】如图1,将VABC绕点A逆时针旋转90°得到VADE,连接CE,DB,则∠ACE的度数为;【类比探究】如图2,在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且满足∠EAF=45°,BE=1,DF=2.求正方形ABCD的边长；【拓展延伸】如图3,在四边形ABCD中，CD=CB,∠BAD+∠BCD=90°,AC、BD为对角线，且满足,若AD=3,AB=4,直接写出BD的长.试卷第8页，共10页(2)当VABC的面积是VADE的面积的8倍时，求t的值.(3)当点D在边CB上时，如图②,作EH⊥AB于点H.求证：VACD≌VAHE.(4)当点E到BC的距离等于点E到AC的距离时，直接写出t的值.24.在平面直角坐标系xOy中，点0是坐标原点，抛物线y=-(x-2)²+h过点(0,1),点A、B是此抛物线上不重合的两个动点，其横坐标分别为m、2-m.点C的横坐标为4-3m,且点C的纵坐标与点A的纵坐标相等.以BA、BC为邻边构造□ABCD.(2)作直线AB,求证：直线AB与横轴(x轴)所夹锐角的大小不变.m的取值范围.物线有交点时(□ABCD的顶点除外),设交点为G.连结GE、GF,当△EFG的面积是□ABCD面积的时，直接写出此时m的值.试卷第10页，共10页12345678CCDDACBD【详解】解：∵-218<-117<0<1535,【分析】此题考查了科学记数法表示较大的数.根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离已知为4×10⁵km,直接计算两者的乘积并用科学记数法表示即可.【详解】解：月球远地点距离为4×10⁵km,小行星的距离是该值的45倍，即：45×4×10⁵=180×10⁵=1.8【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答.【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正【点睛】本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题.【分析】本题考查同底数幂除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，利用同底数幂除法，【详解】解：A、2a²+3a²=5a²,答案第1页，共23页【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，根据题意可得α+β+90°=180°,据此可得答案.【详解】解：由题意得，α+β+90°=180°,【分析】该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出,即可求解.【详解】解：∵∠AOB=40°,∠OCA=30°,故选：C.【分析】本题考查了角平分线，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键.由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠ACB=∠B=72°,∠A=36°,由题意可知，CD平分∠ACB,推出∠ACD=∠A,∠CDB=∠B,即可求解.【详解】解：∵AB=AC,∠B=72°,由题意可知，CD平分∠ACB,答案第2页，共23页答案第3页，共23页【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键；过A作AM⊥y轴于M,过B作BD⊥x轴于D,直线BD与AM交于点N,由等腰三角形的判定与性质得出OA=BA,∠OAB=90°,证出∠AOM=∠BAN,由AAS证明△AOM≌△BAN,得出AM=BN,OM=AN,即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可.【详解】解：过A作AM⊥y轴于M,过B作BD⊥x轴于D,直线BD与AM交于点N,如∴四边形OMND是矩形，把x=-1代入反比例函数的解析式得y=-k,∵双曲线图象在第二象限，答案第4页，共23页∵双曲线(k≠0)经过B,则k<0,解得：(舍),故选D.【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解.【详解】解：∵√3x-3在实数范围内有意义，故答案为：x≥1.【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.原式提取7,再利用平方差公式分解即可.【详解】解：7m²-28【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键.答案第5页，共23页在Rt△ABC中，由AB=BC×tan∠CAB即可求解.【详解】解：由题意得AB⊥BC,故答案为：7.4.【分析】该题考查了不等式的性质，根据不等式的性质，不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变.【详解】解：由,两边同时乘以3,得x>y,即x-y>0.故答案为：>.【分析】本题考查了二次函数，一元二次方程根的判别式的运用个，理解函数的平移，二次函数交点的含义是关键.根据题意可得直线MN的解析式为y=5,联立方程得，-x²+4x-2=5-k,整理得，x²-4x+7-k=0,根据根的判别式得到k>3,由二次函数与Y轴的交点可得当线段MN平移到二次函数与Y轴交点处仍有两个交点，即k=5-(-2)=7,由此即可求解.【详解】解：线段MN,点M和点N的坐标分别为(0,5),(4,5),∴直线MN的解析式为y=5,将线段MN向下平移k(k>0)个单位长度后得到的解析式为y=5-k,∵平移后与抛物线有两个交点，在二次函数y=-x²+4x-2中，令x=0,则y=-2,∴当线段MN平移到二次函数与y轴交点处仍有两个交点，即k=5-(-2)=7,故答案为：3<k≤.得出AD//BC,AD=BC=CE=1,DE=CD-CE=CF-1,三角形的性质列出方程求出CF,即可判断③;在FG上截取FH=DG,连接CH.由(1)∠HCG=90°,得出△CHG为等腰直角三角形.从而得出∠CGE=45°,即可判断④.答案第6页，共23页答案第7页，共23页FF由(1)可知：∠F=∠CDG,综上，①②④正确.故答案为：①②④.解题的关键.1法后约分化简，最后代值计算即可得到答案.【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质；连接OB,由切线的性质可得∠PBO=90°,根据直角三角形两锐角互余可得∠BOP的度数，再由圆周角定理即可得到答案.【详解】解：如图所示，连接OB,A∵PBOO相切于点B,【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，设小长方形的长为x,宽为y,观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，进一步求出长方形的面积即可.【详解】解：设小长方形的长为x,宽为y,由题意和图可知：,解得：∴每个小长方形的面积为6×10=60.18.(1)见解析【分析】(1)根据平行四边形对角线互相平分可得OA=OC,OB=OD,结合BE=FD可(2)根据等底等高的三角形面积相等可得SVAEF=SVABE=2,再根据平行四边形的性质可得答案第8页，共23页答案第9页，共23页【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形AECF是平行四边形.(2)解：∵SABE=2,BE=EF,∵四边形AECF是平行四边形，【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平19.(1)见详解【分析】本题考查作图一应用与设计作图，轴对称变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形.(1)根据网格特点作出图形即可；(2)取格点M、N,连接CM,CN,MN,CM交AB于Q,则△CMN是等腰直角三角形，MN//AB,然后根据平行线的性质即可得出∠CQA=45°.(3)取格点G,连接CG,根据AB和CG分别1×3和3×1网格的对角线，可判断CG⊥AB,取格点E、F,连接EF交CG于H,根据EF//AB结合平行线分线段成比例即可判断；【详解】(1)解：如图①,点P₁、P₂即为所求.答案第10页，共23页(2)解：如图②,点Q即为所求.(3)解：如图③,点H即为所求.20.【调查与收集】B【整理与描述】(1)0.45;(2)见详解【分析与应用】(3)见详解；(4)65【分析】本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图，平均数，中位数及方差的相关知识，掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键.【调查与收集】利用样本具有代表性对抽样调查方式进行判断；【整理与描述】(1)根据频率的定义计算甲样本中13≤x<15组的频率；(2)先计算出乙样本17≤x<19组的频数，再补全乙样本的频数分布直方图；【分析与应用】(3)先根据平均数的定义求出甲样本平均数，再根据中位数的定义求出乙样本中位数出现的组别，然后填表即可；(4)根据样本估计总体，列式计算即可.【详解】解：【调查与收集】为了样本具有代表性，随机抽取能保证样本的代表性，避免系统性偏差，所以应该随机抽取100株作为样本.故选：B;【整理与描述】(1)甲样本中13≤x<15组的频率是：故答案为：0.45;(2)∵乙样本的总频数为100,∴17≤x<19组的频数为：100-(9+34+25+7)=25,补全乙样本的频数分布直方图如图所示，答案第11页，共23页乙样本的频数分布直方图【分析与应用】(3)∵甲样本各组中间值分别为：12,14,16,18,20,∵乙样本共100个数据，中位数为第50、51个数据的平均值，前两组频数的和为：9+34=43,前三组频数的和为：43+25=68,∴第50、51个数据在15≤x<17组，故乙样本中位数出现的组别在15≤x<17组，填表如下：平均数(kg)中位数出现的组别方差甲乙(4)∵甲样本中19≤x<21组的频数为13,甲种葡萄树种植了500株，∴估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于19kg的株数为：5(株).答：估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于19kg的株数为65株.(3)货车出发3小时或5小时后两车相距90千米【分析】(1)观察图象即可解决问题；(2)分别求出得A、B、C的坐标，运用待定系数法解得即可；(3)根据题意列方程解答即可.答案第12页，共23页【详解】解：(1)车的速度是50千米/小时；轿车的速度是：400÷(7-2)=80千米/小时；t=240÷80=3.故答案为50;80;3;(2)由题意可知：A(3,240),B(4,240),C(7,0),设直线OA的解析式为y=kx(k₁≠0),设直线BC的解析式为y=k₂x+b(k≠0),(3)设货车出发x小时后两车相距90千米，根据题意得：50x+80(x-1)=400-90或50x+80(x-2)=400+90,解得x=3或5.答：货车出发3小时或5小时后两车相距90千米.【点睛】本题主要考查根据图象的信息来解答问题，关键在于函数的解析式的解答，这是这类题的一个难度，必须分段研究.【分析】(1)根据旋转的性质得△CAE为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质求解即可；(2)将△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ADG,求证△GAF≌△EAF,由全等三角形的性质可得GF=EF,得EF=3,设正方形边长为x,则CE=x-1,CF=x-2,在Rt△CEF中由勾股定理可得CE²+CF²=EF²,代入求解即可获得答案；(3)将△ADC绕C逆时针旋转至△CBE,连接AE,首先证明△DCB∽△ACE,由相似三角答案第13页，共23页形的性质可得,再证明∠ABE=90°,由勾股定理可得AE,结合即可获得答案.【详解】解：(1)将VABC绕点A逆时针旋转90°得VADE,∴△CAE为等腰直角三角形，(2)将△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ADG,如图，由旋转的性质可得∠1=∠4,AE=AG,BE=DG=1,∠ABE=∠ADG=90°,设正方形边长为x,则CE=x-1,CF=x-2,解得：或(负值舍去),答案第14页，共23页∴正方形ABCD的边长为(3)如图，将△ADC绕C逆时针旋转至△CBE,连接AE,【点睛】本题考查四边形的综合应用，旋转的性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，解题关键是熟练运用旋转的性质求解.②【分析】(1)根据直角三角形的性质和勾股定理即可求解；(2)根据(1)先求出SABC,根据VABC的面积是VADE的面积的8倍，求出SADE,分为两种情况：①当动点D在AC上时，如图：过点D作DG⊥AB,根据旋转可得AD=AE,∠DAE=60°,证明VADE是等边三角形，得出AE=AD=列出方程求解即可.②当动点D在BC上时，如图：过点D作DG⊥AB,同理求出DG,用t表示出S△ADE,列出方程求解即可.(2)根据旋转可得AD=AE,∠DAE=60°,根据题意可得∠CAB=60°,∠C=∠AHE=90°,(4)根据点E到BC的距离等于点E到AC的距离，得出点E在∠ACB的角平分线上，分,四边形CMEN是矩形，得出EN=CM,根据题意可得AD=t,∠A=60°,根据旋转可得AD=AE,∠DAE=60°,得VADE是等边三角形，点E在边AB上，则AE=AD=t,求出,表示出NE,列出方程即可解答.②当动点D在BC上时，如图：作∠ACB的角平分线CE,过点E作则EM=EN,∠ACE=∠DCE=45°,∠CEM=∠CEN=45°,根据旋转可得出∠1=∠2,再证明△ACE≌△DCE.得出AC=CD,再根据AC=3,CD=t-3,列出方程即可求解.【详解】(1)解：∵在VABC中，∠ACB=90°,∠BAC=60°,AC=3,故答案为：3√3,6.(2)解：根据(1)可得①当动点D在AC上时，如图：答案第15页，共23页答案第16页，共23页根据旋转可得AD=AE,∠DAE=60°,根据题意可得AD=t,∠A=60°,解得：(负值已舍去).②当动点D在BC上时，如图：根据旋转可得AD=AE,∠DAE=60°,根据题意可得AC=3,CD=t-3,∠C=90°,答案第17页，共23页该方程无解.综上，当VABC的面积是VADE的面积的8倍时，(3)证明：根据旋转可得AD=AE,∠DAE=60°,(4)解：∵点E到BC的距离等于点E到AC的距离，当动点D在AC上时，如图：作∠ACB的角平分线CE,,四边形CMEN是矩形，根据题意可得AD=t,∠A=60°,根据旋转可得AD=AE,∠DAE=60°,∴VADE是等边三角形，点E在边AB上，答案第18页，共23页②当动点D在BC上时，如图：作∠ACB的角平分线CE,过点E作EM⊥AC,EN⊥BC,根据旋转可得AD=AE,∠DAE=60°,∴△AEM≌△DEN(HL).在△ACE和△DCE中综上，当点E到BC的距离等于点E到AC的距离时，t=6或