安徽省皖豫联考2025-2026学年高三上学期11月期中数学（含答案）

高三数学

考生请注意：

1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，交回答题纸；

2.答题前，请务必将自己的姓名、考生号用0.5毫米黑色中性笔或碳素笔在答

题纸上进行书写；

3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题纸上的对应题目的答题标号涂黑涂满；

如需改动，请用橡皮擦干净后，再更正其它的答案.未在答题纸上作答的、在

答题纸规定区域以外答题的一律无效；

4.如有作图需要，请使用2B铅笔作图，并加黑加粗，描写清楚.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知扇形的面积为2cm²,圆心角为1弧度，则扇形的周长为

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

2.已知集合,B={x||x-a|<2},若A∈B,则实数a的取值范围是

ABCD

3.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，则向量c用基底a,b表示为

ABCD

4.已知a,b是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面，若α⊥β,b⊥β,则“a⊥a”是

“a⊥b”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知圆台的母线所在的直线和底面所成的角为60°,且该圆台的上、下底面的面

积分别为3π和12π,则圆台的体积为

A.16πB.20πC.21πD.24π

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6.如图，在正四棱锥S-ABCD中，SA=√13,AB=4,M是棱BC上一动点，N是棱AD上

一点，且AN=3DN,则两线段SM,MN的长度的和的最小值为

A.3√5B.5√2C.5√3D.5+√3

7.记数列{an}的前n项和为,则S₂5=

A.9BC.10D

8.已知某圆锥的轴截面是钝角三角形，记该钝角三角形的腰长为I,若过该圆锥顶

点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8,则l=

A.3B.4C.5D.6

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数z与(z+1)²+2i都是纯虚数，则

A.z的虚部为iB.z的共轭复数是z=-i

C.|z²=1D

10.在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是B₁C₁的中点，AM=AB+λAA₁+μAD(C,μ∈R),

则

AB.λ=1C.μ=1D

11.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=4,AC=AD=CD=4√2,将△ACD沿AC折起至

△ACH的位置，使HB=4√2,F是AC的中点，E是BC的中点，则

A.AB⊥HF

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B.点F到平面HBC的距离

C.HE=2√7

D.直线HE和平面HAC所成的角的正弦值

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若a,b>0,且a+b-9=√ab,则ab的最大值为

13.如图，桌面上的无盖正方体容器ABCD-A₁B₁C₁D₁内装有高度为h的水，AB=3.

现将容器绕着棱A₁B₁所在直线顺时针旋转，当容器中溢出的水刚好装满一个半径

的半球形玻璃瓶时，容器内水面交棱DD₁于点E,且.若不考虑容

器厚度及其他因素影响，则h=.

14.已知在三棱锥P-ABC中，△APB是边长为3的等边三角形，AC=5,BC=4,PA⊥BC,

则该三棱锥的外接球的表面积为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知函数f(x)=ax-sinx.

(1)若曲线f(x)在原点处的切线与直线x+y=0垂直，求f(x)的零点个数.

(2)若f(x)在区间上不单调，求实数a的取值范围.

16.(15分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=AD=4,CD=8,E为CD的中点，

将△ADE沿AE折起至△PAE的位置，使平面PAE⊥平面ABCE.在四棱锥P-ABCE

中，M是PA(不含端点)上的一个动点.

(1)设平面CEM∩平面PAB=MN,证明：MN//EC.

(2)若直线EM和PB所成的角的余弦值为,求三棱锥P-MCE的体积.

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17.(15分)如图，在棱长均相等的平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC⊥平面

ABB₁A₁,二面角A₁-AD-B的大小为60°,M是棱AB的中点.

(1)证明：D₁M⊥CD.

(2)求二面角C-A₁B-C₁的正弦值.

18.(17分)在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin(A+B)sin(B-A)=cos

(1)求B;

(2)若b=2√3,△ABC的面积为3√3,求△ABC的周长；

(3)若b=2√3,求2a-c的取值范围.

19.(17分)

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB//CD,AB⊥BC,AA₁=AB=BC=2,CD=3,E

是A₁B的中点，G是A₁D上的一个动点，点F在A₁C上，且满

(1)证明：AE⊥EF.

(2)证明：平面A₁FG⊥平面AEF.

(3)试问：是否存在G,A,E,F四点共面?若存在，求出A₁G的值；若不存在，请说明理由.

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高三数学参考答案

1.D

【解题分析】记扇形的弧长、半径、圆心角分别为1,r,a,则扇形的面积

解得r=2cm,所以扇形的周长为|a|r+2r=3r=6cm.

2.B

【解题分析】集合,B={xla-2<x<a+2},因为ACB,所I

解得

3.D

【解题分析】由题图可设a=(2,0),b=(-1,1),c=(2,3),

设c=xa+yb=(2x-y,y)=(2,3),则’故

4.A

【解题分析】若a⊥β,b⊥β,则bcα或bla.当a⊥a时，a⊥b,充分性成立；当a⊥b时，

显然不一定满足a⊥a,必要性不成立.故“a⊥a”是“a⊥b”的充分不必要条件.

5.C

【解题分析】设圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,则解得

又因为圆台的母线所在的直线和底面所成的角为60°,所以圆台的高为3,圆台的体

6.B

【解题分析】如图，把△SBC沿BC展开，使A,B,S,C,D五点共面.

当S,M,N三点共线时，SM+MN的值最小，

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此时SM+MN=SN=√1+(4+3)²=5√2

7.D

【解题分析】由an+1+an+anan+1=1,得(an+1)(an+1+1)=2,

令bn=an+1,则bnbn+1=2,所以,所以an+2=an,所以{an}是周期为2

的数列.由题设易得所以S₂₅=ai+a₂+...

(另列举可发现周期数列{an)的规

8.B

【解题分析】如图，△ABC是圆锥的轴截面，依题意可得，过该圆锥顶点A的任意截

面△ABD的面积可表示,易知当时，截面面积取得最大值，

所I,解得l=4.

9.BC

【解题分析】设z=bi(b∈R,且b≠0),则(z+1)²+2i=(1+bi)²+2i=1-b²+(2b+2)i,因为

(z+1)²+2i是纯虚数，所以b=1,所以z=i,z的虚部为1,A项错误；Z=-i,B项正

确；|z²|=|i²|=1,C项正确；+i,D项错误.

10.BD

【解题分析】因

11.ACD

【解题分析】AB²+BC²=AC²,所以∠ABC=90°,如图，连接BF,EF,

在四面体H-ABC中，AB=BC=4,AC=AH=CH=4√2,F是AC的中点，则

HF⊥AC,BF⊥AC,且AF=BF=CF=2√2,HF=2√6,又HB=4√2,所以BF²+HF²=HB²,

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所以HF⊥BF,又因为BFNAC=F,BF,ACc平面ABC,所以HF1平面ABC,所以

HF⊥AB,故A选项正确；

由A项的分析知HF⊥EF,又,所以HE=2√7,故C选项正确；

设点F到平面HBC的距离为d,由几何体的等体积法

故B选项错误；

易知BF⊥平面HAC,取CF的中点G,连接EG,HG(图略),可知

EGI,所以∠EHG就是直线HE和平面HAC所成的角，

在Rt△EGH中,故D选项正确.

12.81

【解题分析】因为a,b>0,所以√ab=a+b-9≥2√ab-9,当且仅当a=b=9时等号成立，

即√ab≤9,故ab≤81.

13

【解题分析】由题意可知当容器旋转且水溢出后，剩余的水在正方体容器中形成

一个四棱柱.由正方体、棱柱与球的体积公式，得

14.28π

【解题分析】因为AB²+BC²=AC²,所以AB⊥BC.又因为PA⊥BC,PA∩AB=A,所以

BC1平面PAB,所以该三棱锥的外接球的球心到平面PAB的距离.设三棱

锥的外接球的半径为R,△PAB的外接圆的半径为r,在△PAB中，由正弦定理得

,解得r=√3,所以R²=r²+2²=7,故该三棱锥的外接球的表面积S球

=4πR²=28π.

15.【解题分析】(1)f(x)=a-cosx,则f(0)=a-1,由题意知f(0)=1,解得a=2,f(x)=2x-sinx,

则f(x)=2-cosx>0恒成立，所以f(x)是R上的增函数.又fO)=0,所以f(x)只有1个零

点…………………6分

(2)假设f(x)在区间上单调，则f(x)≥0或f(x)≤0恒成立.

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当f(x)=a-cosx≥0,即a≥1时，(x)在上单调递增；

当f(x)=a-cosx≤0,即a≤0时，f(x)在上单调递减.

综上，若f(x)在区间上不单调，则实数a的取值范围为(0,1)……………13分

16.【解题分析】(1)因为ECIAB,ABc平面PAB,ECα平面PAB,所以ECI平面PAB.

因为ECc平面CEM,平面CEMN平面PAB=MN,所以MNIEC……分

(2)依题意可得△PAE是边长为4的等边三角形，如图，在AE上取中点0,连接PO,

则PO⊥AE.又平面PAE⊥平面ABCE,平面PAEN平面ABCE=AE,POc平面PAE,

所以PO⊥平面ABCE.由题意可知，底面ABCE是边长为4的菱形，且∠BAE=60°,

则OB⊥AE,故以O为坐标原点，以OA,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直

角坐标系O-xyz,如图所示，

则

O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2√3,0),E(-2,0,0),P(0,0,2√3),PB=(0,2√3,-2√3),AP=(-2,0,2√3).

设AM=λAP=(-22,0,2√32)(0<λ<1),可得M(2-22,0,2√32)

所以EM=(4-22,0,2√31).

解得,故M为AP的中点.又因为

所以

故三棱锥P-MCE的体积……………15分

17.【解题分析】(1)因为BC1平面ABB₁AI,BCIAD,所以AD⊥平面ABBLA1,所以

AD⊥AA1,AD⊥AB,∠AAB是二面角Ai-AD-B的平面角，即∠ALAB=60°.又AA1=AB,

所以△AAB是等边三角形.

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连接A₁M(图略),因为M是棱AB的中点，所以AIM⊥AB.又AD⊥AB,所以A₁Di⊥AB.

又A₁M,A₁Dic平面ADM,AM∩A₁Di=A1,所以AB⊥平面A₁D₁M,所以CD⊥平面

AIDIM.又DIMc平面A₁DM,所以CD⊥DIM………6分

(2)设AB=2,取CD的中点0,连接DiO,DIC,OM,则OMIAD,可得

OM⊥CD,DiO⊥CD,DIO⊥AD.又ADNCD=D,所以DIO1平面ABCD,

故以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则

A:(2,0,√3),B(2,1,0),C(0,1,0),Ci(0,2,V3,A₁B=(0,1,-3,A₁C₁=(-2,2,0),A₁C=(-2,1,-

√3).

设平面AIBC,平面AIBCi的法向量分别为m=(xi,yV1,zi),n=(x2,y2,z),

令zi=1,得m=(0,√3,1),

令z2=1,得n=(√3,√3,1),

故二面角C-A₁B-C₁的正弦值为.………15分

18.【解题分析】(1)在△ABC中

所,所以

因为,所以,所以…………5分

(2)因为△ABC的面积为3√3,所以

由余弦定理b²=a²+c²-2accosB,得12=(a+c)²-3ac,

所以(a+c)²=48,所以a+c=4√3,所以a+b+c=6√3,

所以△ABC的周长为6√3………10分

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(3)由正弦定

得a=4sinA,c=4sinC=4sin(A+B),

因为△ABC为锐角三角形，且所,所以

因为函数y=sinx在上单调递增，所以

所以,所以2a-c的取值范围是(0,6…………………17分

19.【解题分析】(1)在Rt△AIBC中，由题设可得同理，在Rt△AAC中，可得

又AE=√2,所以AF²=AE²+EF²,所以AE⊥EF.………3分

(2)由(1)知

由题意易知BC1平面ABBLAi,又因所以点F到平面ABB₁A1的距离

在正方形ABBL