《通信原理》第六版-樊昌信、曹丽娜-第三章-随机过程-课后答案

本章练习题：

3T.设是的高斯随机变量，试确定随机变量的概率密度函数，其中均为常数。

查看参考答案

解因为高斯随机变量经过线性变换后仍是硒型，所以F也是高

斯随机变量。

F的均值：工[门=3[)+力=目

y的方差：

D[7]=£[(T-冷：]=£[(cX):]=c2£[(X):]=c-，

F的概率密度函数：

3-2.设一个随机过程可表示成

=2cos(2加♦夕)

式中，是一个离散随机变量，且

r8—")•%棘"⑴及以(°」)。

查看参考答案

解在「=1时，*)的均值：

£(1)=£[2cos(Ixt+^)].：=2£[cos(2^+51]=

2£[cos刃=2(icos0。+(3。=1

4XJ

在「=。一=1时，4D的自相关函数

Re(0,1)=£k(0)»^(1)]=£[2cos^•2cos(2x+^)]=

三[4CCS：句=彳\cosW+185：+!=2

22J

3-3.设随机过程，若与是彼此独立且均值为0、方差为的高斯随机变量，试求:

(1)电⑻、同小)】

(2)『⑴的一维分布密度函数/(y)：

⑶尺(%/1)和3(“」2)。

查看参考答案

解(1)

£[7(r)]=£[X.cos4»cr-X2sin=

cos@：i•£[X.]-sinoj•Z[X2]=0

:

£[y(r)]=£[(X:cos51-X2stn01：]=

::;

cos%・Z[T:]-sin2ax・£[X:XJ+sina，』•Z[7/]

因为工和X：相互独立，所以

E[X：XJ=£[XJT[.YJ

又因E[X：卜口XJ=0,所以

用X"=E[襄]=d

故

::

E[F"切=(cosa»c:-sina»cr)»c'=a'

FT的方差

D[F(r)]=E[F"D]-E：[F(r)]二。'

(2)因为X：和乙服从高斯分布/⑴是乙和乙的线性姐合，

所以r(I也服从高斯分布，其一维概率密度函数

(3)

义&&)=即F&)・¥[(:：)]=

Z[(T.cossincosc%:.-X,sin)]=

G*[coscos+sin(y4r.sina/：]=

:

6'cos3式“-r2)=Jcos(y4(r2-1)=

a'cosar

其中»T-i,-Lo

5(r：,〃)=R(：”Q-E[z(G】•E[z(/)]

因为Q*i)]=0,所以

5{r..r2))。：cosiycr

3-4.已知和是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为和,自相关函数分别

为和。

(1)试求乘积2«)=的自相关函数。

(2)试求之和z(‘)=》(/)”«)的自相关函数。

查看参考答案

⑴

&&Q=即Z(fJ・Z(r.)]=£[X(rs)F(rs).X(i2)yOa)]=

£[X(rt)XOt)•F(f:)y(J:)]=E[X(r*@•-"(4)]区翅立：

R[LJ,)*耳(1：&)=&«)•&(，)(k坪稳)

(2)

兄8&)=E[Z(rJ•Z"J]=

Z([X(r:)+F(0][X(r.)+r(t)])=

■如MG)+xa*>)+-&)+F-)卜

Rx(T)+axa--&.々工+Ky(r)="x(r)+衣F(r)+2%aF

评注：两个独立的平稳隧机过程，其颓的目相关函数等于它们各

自的自本联函数的乘积淇和的自相关函数等于它f略自的自相关函

数的之和，并外加两者均值之积的2倍。

3-5.已知随机过程，其中，是广义平稳过程，且其自相关函数为

1+t-i<r<0

1-r04f<1

JS）=[oxz

随机变量在（0,2）上服从均匀分布，它与彼此统计独立。

（1）证明式,）是广义平稳的：

（2）试画出自相关函数R,"）的波形：

（3）试求功率谱密度及,（/）及功率S。

直看参考答案

集1欲证随机过程2(1)广义平稳，只施证Z(r:的均值与时间

无关，自相关函数仅与时间间隔:有关即可。

由题意可知，冽⑴的均值为常数；460所以

三[Xi)]=3Moec乂叼-5)]=£[次匍・三[8$以1+5)][S为加；独立]=

E[MD]・j*"co§3f+S=d3=0

2亿,[,)=£[«)z&)]=

£[»fd)•co-/：：+5)・w(r,)*cos(i»cr:+5)]=

E[M(G・w(r2)j,£[cos(«>ort+6)・cos(a^i.+5)]=

*(；)•1：+8$+/&+4)]+T：0S*G：Tj：=

fri】「1F

冗<「>£；TCCS[2^+%(%+h)]1+3|^SS巩；:

、・.『7

R式?)0+^-cos<yc(r.-r:)=R.(r)・gees3/=&(r)

■，1A

可见，N『的均值与:无关，自本联函数仅与时间间隔:有关，故

X。广义平稳。

(2)

义.(r)=^-^(r)cost>cr=

ri

y(l+r)cos<yor-1<r<0

--^(1-r)cos(yor0<r<1

0其他

£3-：孑专兵N力-㈠)打孑栏

（3）因为工。广义平稳，所以其功率谱密度只（GO工由

图3-1可见，工门的波形可观为余弦函数与三角波由藻积。利用作

里叶变换的频域卷积t生质，可得

11f

?*3)==.十储(0+GC)+3(G-aj]*gSa：«

，*4T

1

平均功率

S=J?,(O)=1

3-6.已知噪声的自相关函数为

匕JW

凡"）=2（上为常数）

（1）试求其功率谱密度口」）及功率N；

（2）试画出凡«）及与（/）的图形。

查看参考答案

解对于平稳过程"⑴，有23）0瓦G＞因此

?,(d»)=厂&(T"上:公=3+]「尸=

-k..「...1..-,11=---k--

,v='(0)Y

3-7.一个均值为，自相关函数为的平稳随机过程通过一个线性系统后的输出过程为

y(f)=Y(f)+Y(f-7)(T为延迟时间)

(i)试画出该线性系统的框图;

(2)试求】‘⑴的自相关函数和功率谱密度。

查看参考答案

解(1)线性系统框酿］图3-3所示。

(2)根据平儆程万⑴通过线性系统后的输出过程7(3也是

平稳的，以及由婚---辛钦定理可知见•(:0为@旦(7053.

的自相关函数为

*awEWW

&(r)=即⑵F«+r)］=E{因。-如-7)］［的+r)+如+■»}=

£［必)必+r)++r-1)+必-7W0+册-F)X(t+r-肛=

%(r)-&(r-D-&(「+A&(r)="M7)+&(r-D+%(r+n

功率造密度为

片⑷)=2Px(a)-Px(fi))e'寸-Px(a'je寸=2(1-ccsoC区(劭

另一种方法：利用公式33)=曰砌二・&G求解

该系统的单位:懒响应

h(f)=3(f)+J(r-7")

其相应的隹通函数

片方.”T.af

目(公)=1+丁温=£:(e=+e，T)=2cos^-;;

所以月3)=旧(研唱.(夕)=«+850口2.3)

A-(r)=火.3+玛(r-Q+&.(;+7)

3-8.一个中心频率为、带宽为的理想带通滤波器如图3-4所示。假设输入是均值为零、功率

谱密度为的高斯白噪声，试求：

(1)滤波器输出噪声的自相关函数;

(2)滤波器输出噪声的平均功率：

(3)输出噪声的•维概率密度函数。

查看参考答案

（1）已知高斯白噪声的功率谱密度AQ，所以滤波器输出噪

声WU的功率谙空度

-p<r>-。"•日”）『-

3一

冬£一名£3”,+与

0其他

根据尸：（/）=MG，辆出唉声2—的自相关函数

&G=广=「九号冬$”，4f一广号等，八c#=

♦-U•一1--y,•X——.

飞BSa（ZTBr）ccs2~

（2）W—的平均的

、-0-？：•一>3c■£

或

工-匚区

（3）高斯过程通声性系统后的输出仍为高斯过程，且有

E[%（r）]=E[n<O]*H9）=。

b:.（01-&《6-M（8）一飞石

因此，愉出唉声峰⑺的一缩S率密度函数

L-"

F3->-tx©[---_荒*exp---2---

>・L25」

3-9.一个RC低通滤波器如图3-5所示，假设输入是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪芭试

求：

（1）输出噪声的功率谱密度和自相关函数；

（2）输出噪声的一维概率密度函数。

•......i1........-[一........•*

丁C

4____________I________4

图3-5

查看参考答案

解(1)BC低通滤波瑞的传输函数

1一六WU

输出噪声三。的功率谱需度为

F{3>一月{2•|开3行一冬•.二…

根据是L)=816・并利用

Lo『一、

CT十3一

可得的自相关函数

/")=JTd^一看”

(2)根据随机过程通过线性求谢］理论，可得输出噪声2公的

均值

-•H8-0

和方差

b0Q［>2c(r)：—年(O)-&(°°)-:

因为育斯过程通过线性求统后的输出U3为育斯过程，所以输出唉声

的一维微率需图画激

，8=：7^E-聂尸

J(2RkC叼］一2R寸C］.、［

评注:育斯过程通过线性系统后的愉出仍为育郎过程，但数字恃近

可能变化。

3T0.一个LK低通滤波器如图3-6所示，假设输入是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声,

试求：

(1)输出噪声的自相关函数；

(2)输出噪声的方差。

图3-6

查看参考答案

解（1）低通滤波器的传输函数

R

H3）?n丁r

五一J或

输出噪声的功率谱密度为

根据风GoR3），并利用

可得输出噪声的自相关函数

（2）输出噪声的方差一•&工

3-11.设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为，脉冲幅度取的概

率相等。现假设任一间隔内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且具有宽平稳性，试证:

⑴自相关函数0"）=°iw>%

（2）功率谱密度

3-12.图3-7为单个输入、两个输出的线性滤波器，若输入过程是平稳的，求与的立功率

密度的表达式。

图3-7

查看参考答案

解由题意可知，这是一个等概发送的双极性矩形脉冲序列，可参

考《通信原理》（第6版）的第6章138页式（6.1-26）和140页【例

6-2],不难证明

月⑻・祁”也）]:

根据维纳一一辛钦定理：，利用“函数o门函教，

两个5四数相乘=两个门函数卷积，可以证明自本联函数为一三角

波，即

I

证明过程省略。

3T3.设平稳过程的功率谱密度为，其自相关函数为。试求功率谱密度为所对应

的过程的自相关函数（其中，为正常数）。

3-14.是功率谱密度为的平稳随机过程，该过程通过图3-8所示的系统。

图3-8

（1）输出过程是否平稔？

（2）求"力的功率谱密度。

查看参考答案

解（1）因为线性系统的输入X匕是平稳过程，所以其输出过