《线性代数（第4版）》 习题及答案 第五章习题解答

第五章二次型

1.二次型/区,々，/）=2不；一无；+4芭与一2%匕的矩阵表达式

"2

/(xpx2,x3)=(x1,x2,x3)0

12

4.若二次型/（X,x2,x3）=x；+x；+x；+2ax}x2+2芭占+2bx2当的秩为2，则应满

足什么条件?

解二次型的矩阵表达式为了（%,工2，刍）二（玉，入2，工）。

J

因为R（A）=2,所以〃一o=0且1一储wo,即〃=。且。0±1.

1.求一个正交变换将二次型f=2*2+3xj+3x；+4々为化为标准形•

"200、

解二次型的矩阵为4=032,其特征多项式为

、°23,

2-200

3-22

\A-AE\=03—42=(2—㈤=(2-2)(5-2)(1-2)

23-Z

0

令|A-九同=。，得矩阵A的特征值为4=2,4=5,4=1

当4=2时，解方程组（A—2£）x=0,由

900、「012、

A-2E=012->001得基础解系a,=0

21,、000,

当4=5时，解方程（A—5£）x=0,由

'-3001000

A-5E=0-2201-1得基础解系a,=

2-2000

当4=।时，解方程(A—E)x=O,由

1001000

A—E=022011得基础解系%二T

00）11

0220

100

将名,生,火单位化，得夕।=o»P>-1/V2,B、=一i/&

于是正交变换为

100

l/>/2

01电为.且标准形为/=2），；+5），；+yJ

x3)101/V21/收yj

2.用配方法化下列二次形成标准形，并写出所用变换的矩阵:

2耳电

(1)f(xx,x2,x3)=x)4-+5x；+2X1X2-4

/(占,W,七)二工:+2x；+2X,X3+2X2X3；

解（I）先将含有为的项配方.

/(%,工与)=芭工

2，X；++5x；+2XAX2-43

22

=R：+2A)(X2-2X3)+(x2-2X3)—(x2-2X3)+

2

=(X1+x2-2X3)++4X2X3+xj

再对后三项中含有乙的顶配方，则有

/(xpx2,x3)=(X]+G-2七尸+2(与+工3fT

y,=X,+X2-2X3x=y-必+3%

令y=x+x，即所作变换为<?

223w=>2-%

为"

3)11-13

写成矩阵形式为9=。-1K，变换矩阵为。=01-1

001001

在此变换下二次型化为标准形为/=弁+2犬-），；

（2）对二次型配方，得

2XX

/(%1,X?,W)=X；+2x；4-2X1X34-2X2X3=(Xj+x3)+x；+223

22

=(Xj+X3)7；+(x2+X3)

y=%+刍X\=另+必一%

即，出一为

令-y2-x?

)3=占+&工3=-%+丁3

/\

X(\1-n<11叫

写成矩阵形式为了2=010>2,变换矩阵为c=010

、0-1171°-11;

在此变换下二次型化为规范形/=），；-货+货.

1.判别下列二次型是否为正定二次型：

（1）/（X）,x2,x3）=+6%2+-4X]X2-4x2x3；

(2)/(xpx2,x?)=-2x：--4x；+2x}x2+2x}x3；

r5-20、

解（1）二次型/区,尤2，当）的矩阵为A=-26-2

J）-24,

5-20

5-2

由于a”=5>0,=26>0,|A|=-26-2=84>0

-26

0-24

即A的一切顺序主子式都大于零，故此二次型为正定的.

（-211、

（2）二次型/（七，巧，匕）的矩阵为4=1—60,

-211

2

由于卬=-2<0,-J6=11>0,\A\=I-60=-38<0,故）为负定.

~I0-4

2.当，为何值时，下列二次型为正定二次型：

2

(1)/(xl,x2,x3)=x1+5x；+ltxxx2-2X)X3+4X2X3；

2

(2)/(%],x2,x3)=2A,++x；+2X(X2+tx2x3.

‘1t

解(1)二次型/(马,当，与)的矩阵为A=t12

「125，

此二次型正定的充要条件为6J,,=1>0,；j

4

由此解得一±<f<0.

5

/

210

t

(2)二次型/($,々,与)的矩阵为4=11

2

t_

01

2

此二次型正定的充要条件为=2>0,21

>0,|A|=l-y>0：

1

由此解得-V2<r<V2.

单项选择题

1.二次型/(2,“2，兀3)=%；+6罚32+3考的矩阵是().

(1一n(\2、(\3、fl5、

U3J(43)(33j113j

答案：C

，，fl3丫八八

解因为/(七,工”当)=x；+6玉々+3x；="[,工2)'，

~(33)[X2)

(13)

所以二次型矩阵为A=,故答案C正确.

33

3.设4,5均为〃阶矩阵，且A与B合同，则().

A.A与3相似；B.|A|=|B|；C.A与3有相同的特征值；D.R(A)=R(B)

答案：D

解因为A与3合同，所以存在〃阶可逆矩阵C,使得4=CTAC,故R（A）=R（B）

故答案D正确.

「200、

4.设矩阵4=0-0,则与A合同的矩阵是（）.

2